Некоторые свойства предельных траекторий

Мы уже встречались с такими свойствами, связанными с наличием некоторого возвраш ения траекторий, как топологическая транзитивность (определение 1.3.1), минимальность (определение 1.3.2) и топологическое перемешивание (определение 1.8.2). Топологический тип замыкания множества Рег(/) всех периодических точек представляет собой другой инвариант того же типа. Кроме того, из определения 1.6.2 нам известны понятия ш-пре-дельного и а-предельного /-инвариантного множества х для каждой точки X. Некоторые инварианты топологического сопряжения можно получить, изучая топологический тип совокупности а-и w-предельных множеств например, топологическая транзитивность эквивалентна тому факту, что одно из этих множеств содержит все пространство. Объединение всех а-или w-предельных множеств не обязано быть замкнутым. Топологический тип [c.138]

В физической оптике волновыми или корпускулярными представлениями. Геометрическая оптика есть предельный случай физической оптики. Картины корпускулярная и волновая, вообще говоря, существенно различны, но при исследовании геометрических свойств оптического луча приводят к одним и тем же результатам. Луч может быть истолкован и как нормаль к некоторой волновой поверхности, и как траектория потока световых частиц. Математический формализм теории и в том, и в другом случае один и тот же. Уже в этом заключена идея оптико-механической аналогии. [c.816]

Предельные состояния могут быть связаны не только с прочностными свойствами конструкции. Например, на рис. 9.7 показана ракета, траектория движения которой не должна выходить за допустимую трубку траекторий (для каждого момента t — это некоторая расчетная замкнутая предельная область Dq ). Поэтому система управления ракеты должна обеспечить выполнение условия [c.373]

Такой предельный вариант задачи проще общего. Особенно просто обстоит дело в плоском случае. Свойства траекторий могут быть исследованы весьма детально. Порой эти свойства оказываются очень любопытными. Для примера на рис. 1 и 2 приводятся два типа ограниченных траекторий. Ограниченные траектории лежат в области, ограниченной поверхностями некоторых параболоидов, а в плоском случае — в области между двумя параболами. На рис. 1 изображен случай, когда возмущающее ускорение довольно мало и движение, как видно, легка описать в терминах оскулирующих элементов (мало меняющийся за оборот эллипс). На рис. 2 нарисована ограниченная траектория для случая большого ускорения. Видно, что с оскулирующим эллипсом траектория не имеет ничего общего. [c.40]

I. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории. Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы — к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории, стремя- [c.410]

Отметим еще одно простое, но весьма важное свойство грубых систем качественная структура разбиения на траектории всякой грубой системы может быть установлена путем приближенного построения всех особых траекторий (состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис). Точность приближения, с которой особые траектории должны быть построены, определяется некоторой величиной — мерой грубости [31]. [c.464]

Фазовые траектории, начинающиеся в области притяжения странного аттрактора, постепенно приближаются к нему, причем изображающая точка, попав в зону странного аттрактора, далее уже не выходит из нее, по вместо повторяющегося движения, типичного для предельного цикла, совершает в этой зоне хаотическое движение, лишенное свойства повторяемости. В понятии странного аттрактора причудливо сочетаются свойства неустойчивости и устойчивости. С одной стороны, движение изображающей точки в зоне странного аттрактора неустойчиво, с другой стороны, условно можно сказать, что система в зоне странного аттрактора обладает свойством устойчивости в целом если после некоторого начального возмущения изображающая точка вышла за пределы странного аттрактора, но остается в области его притяжения, то фазовая траектория вернется в эти пределы (тем более, если изображающая точка после начального возмущения не выведена за пределы странного аттрактора, то она и далее будет оставаться в этих пределах). [c.237]

Некоторые свойства предельных траектории. Излагаелп>ге здесь свойства также характерны для траекторий динамических систем в плоской области и на сфере. Прежде, чем переходить к ним, отметим еще одно свойство дуги без контакта. [c.109]

Напомним некоторые свойства предельных траекторий, установленные в п. 5 4. Пусть 0 — отличная от состояния равновесия траектория, предельная для полутраектории Ь, входящая, следовательно, в состав некоторого континуума Кш- Пусть Мо — точка этой траектории и 1(, — проведенная через точку Мо и содержащая ее внутрп дуга без контакта. В силу следствия 1 из леммы 2 3 п. 4 на дуге кроме точки Мд не может лежать больше уже ни одной точки траектории В силу следствия 2 из той же леммы точки пересечения полутраектории с дугой 1 расположены либо все на части этой дуги, лежащей по положительную сторону Ьд, либо все на части этой дуги, лежащей по отрщательную сторолу Ьд. [c.412]

Автоколебательный характер некоторых простейших систем с одной степенью свободы может быть иногда обнаружен из рассмотрения уравнений движения системы. Существуют многочисленные критерии, позволяющие по некоторым свойствам коэффициентов дифференциального уравнения системы доказать возможность существования в этой системе незатухающих периодических колебаний. Ограничимся здесь формулировкой двух таких критериев — Льенара и Бендиксона >, сделав предварительно следующее замечание. На фазовой плоскости периодические движения автоколебательной системы с одной степенью свободы изображаются замкнутыми траекториями, которые, по соображениям, приведенным дальше, называются предельными циклами. [c.503]

Отметим еще раз, что геометрическая оптика, как показал Гамильтон, сводится к одному и тому же аналитическому аппарату, независимо от того, пользуемся мы в физической оптике волновыми или корпускулярньши представлениями. Геометрическая оптика есть предельный случай физической оптики. Картины корпускулярная и волновая, вообще говоря, существенно различны, но при исследовании геометрических свойств оптического луча приводят к одним и тем же результатам. Луч может быть истолкован и как нормаль к некоторой волновой поверхности, и как траектория потока световых частиц. Математический формализм теории и в том и в другом случае один и тот же. Уже в этом. заключена идея оптико-механической аналогии. [c.210]

С предельными линиями тока на поверхности, представляющими векторное поле, можно связать фазовый портрет вектора вязких напряжений. Если отображение одного фазового портрета на другой сохраняет траектории, то фазовые портреты имеют одну и ту же топологическую структуру. Топологические свойства не меняются при отображениях, которые сохраняют траектории. Под топологическими свойствами понимают число и тип особенностей, траектории, соединяющие особые точки. Топологические свойства образуют структуру. Фазовый портрет является структурно устойчивым, если при изменении некоторого параметра (например, числа Рейнольдса) топологическая картина не меняется. Если небольшие возмущения при изменении параметра стремятся к нулю при /- оо, то течение асимптотически устойчиво. Асимптотическая не-З стойчивость приводит к бифуркации топологической картины, нарушению симметрии, диссипативным структурам. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...