Фигура родственная

Рассмотрим эллипс как фигуру, родственную окружности. Построим прямую линию J2, 12 пересечения разноименных проекций прямых линий плоскости, в плоскости аЬс, а Ь с построим прямые линии Зс, З с и 4с, 4 с, одноименные проекции которых взаимно перпендикулярны. Они строятся следующим образом. [c.151]

На рис. 449 показано построение касательной к эллипсу в точке Ki. Здесь эллипс рассматривается как фигура, родственная окружности. [c.323]

Построить фигуру, родственную ок-ружности т, если соответствие определено двойной прямой с1 и парой родственных точек А А (черт. 175). [c.50]

Мы видели, что для решения аналогичных задач, в которых требовалось рассечь данную призматическую или цилиндрическую поверхность так, чтобы в сечении получилась фигура, подобная наперед заданной фигуре, родственной плоской направляющей поверхности, необходимо было заданную поверхность поставить в положение, при котором ребра или образующие поверхности были бы перпендикулярны к одной из плоскостей проекций (см. рис. 45—47, 48—50, 51—53). Посмотрим, целесообразно ли применить способ преобразования комплексного чертежа для решения и данной задачи. Полностью выполнить вышеназванное требование для пирамидальной поверхности невозможно, однако можно одно из ее ребер поставить в положение, перпендикулярное к одной из плоскостей проекций. [c.63]

Пусть даны оси А В = 2а и D = 2Ь эллипса (рис. 14). Будем считать, что эллипс является фигурой, родственной окружности с центром 0=0 и диаметром АВ, совпадающим с осью А В эллипса. Тогда второй оси D эллипса соответствует диаметр D круга. Таким образом, родство эллипса и соответствующей окружности определяется осью родства А В АВ и парой соответственных точек, например, С и С. [c.18]

Посмотрим, какая линия является фигурой, родственной эллипсу, или иначе, какова параллельная проекция эллипса на какую-либо плоскость проекций П" при произвольном направлении проектирования. [c.38]

Покажем, как можно строить точки эллипса, если даны его оси. Пусть на чертеже (рис. 34) даны оси А В =2а и С В = 2Ь эллипса. Будем считать, что эллипс является фигурой, родственной окружности с центром 0=0, и диаметром АВ, совпадающим с осью А В эллипса. Тогда второй оси СО эллипса соответствует диаметр СП круга. Таким образом, родство эллипса и соответствующей окружности определяется осью родства А В =АВ и парой соответственных точек, например С и С. [c.40]

Тень может быть построена как фигура, родственная треуголь- [c.397]

Описанным выше способом можно решить задачи на пересечение многогранников и линейчатых поверхностей плоскостью, причем при определении фигуры, родственной данной, многократно выполняются геометрические построения, представленные на рис. 396 и 397, где для данной точки В найдена родственная ей точка В . [c.286]

Умея строить родственные точки, можно построить фигуру, родственную любой заданной фигуре. [c.358]

Фигура, родственная окружности, будет вообще эллипсом, причем взаимно перпендикулярные диаметры окружности переходят в сопряженные диаметры эллипса. [c.359]

Какая фигура родственна окружности [c.364]

Рассмотрим некоторые примеры родственных соответствий. На рис. 155 приведена схема известного приема построения эллипса по его осям АВ и D. Большая ось эллипса совмещена с диаметром АВ родственной окружности и принята за ось родства т. Соответственными являются точки n ,D п D. Возьмем на родственной окружности произвольную точку М. Чтобы построить точку эллипса, проведем направление родства ММ перпендикулярно оси. Соединим точку М с точкой О, отметим точку пересечения К, из которой проведем прямую, параллельную большой оси эллипса до пересечения в точке М, принадлежащей эллипсу. Таким образом, эллипс-фигура, родственная окружности. [c.119]

Пересечение поверхности второго порядка и плоскости. В случае, когда дана по- верхность 2, например, трехосный эллипсоид и нужно найти линию ее пересечения с плоскостью АВС (рис. 331), можно воспользоваться родственным преобразованием. Заключим фронтальную проекцию эллипсоида в прямоугольник со сторонами, соответственно параллельными и перпендикулярными линиям проекционной связи и проведем диагональ i>2 прямоугольника. Взяв на диагонали произвольную точку L, проведем через нее горизонтальную плоскость 2, которую будем рассматривать как плоскость родства. Прямую Ьз, родственную прямой Ьз, проведем под углом 45° к прямой 2г. Направление двойных прямых примем параллельными линиям проекционной связи. Теперь родство задано. Фигурой, родственной эллипсу — фронтальной проекции эллипсоида, будет окружность (почему. ), а сама поверхность преобразуется в эллипсоид вращения с осью, перпендикулярной плоскости Па. Построим фронтальную проекцию преобразованной плоскости АВС, для этого через точки Аз, Вз и Сз проведем прямые, параллельные Ьз, а через точки их пересечения с прямой 1 а — прямые, параллельные Ьз- Построив двойные прямые, проходящие через точки Аз, Вз и Сз, отметим точки их пересечения с соответствующими прямыми, проведенными, под углом 45° к плоскости родства.При таком построении фронтальная проекция фигур будет не только сжатой в направлении двойных прямых, но и перевернутой (точка 42 была выше точки Сз, на преобразованной же проекции точка Лг ниже точки Са). Для дальнейших построений это не имеет значения. Такого перевертывания можно избежать (см. рис. 298). [c.219]

Аксонометрическая и вторичная проекции плоской фигуры родственны друг другу. [c.331]

Фигурой, родственной эллипсу, является эллипс, фигурой, родственной параболе — парабола, родственной гиперболе — гипербола. [c.20]

В частном случае /53/ фигурой, родственной эллипсу, может быть окружность (сравните с /50/). [c.20]

Родство преобразует поверхность второго порядка в другую поверхность второго порядка того же вида. В частности, фигурой, родственной эллипсоиду вращения, может быть сфера (вытекает из /52/, /53/ и /130/). [c.102]

Покажем, что, и обратно, произвольное родственное соответствие на эпюре, в котором направление родства перпендикулярно к оси проекций, определяет некоторую плоскость в пространстве, причём пары точек, прямых и произвольных фигур, родственных в данном соответствии, будут являться парами проекций точек, прямых и соответствующих фигур, лежащих в этой плоскости. [c.21]

Примером родственных фигур могут служить данная фигура и тень от нее на некоторую плоскость. На черт. 14 показано построение тени фигуры, принадлежащей плоскости П, на наклонную плоскость П. Тень точки А на плоскости П была задана (точка А ). Имея две соответственные точки А и А ч ось родства — прямую т, не представляет труда найти точки В, С, D, родственные точкам В, С и D, При определении этих точек были повторены построения, показанные на черт, 12. Так, точка С родственная С, найдена с помощью прямых СС и и СцС, соответственно параллельных прямым АА и АаЛ. Аналогично построены тени остальных точек. [c.12]

I л л При построении горизонтальной про- екции сечения призмы в задаче 138 использовать родственное соответствие фигуры сечения и фигуры A B D основания. [c.45]

Родственное преобразование плоских фигур [c.45]

Родственное соответствие параллельных проекций плоской фигуры. [c.45]

Родственное соответствие между двумя параллельными проекциями плоской фигуры задается так же, как на эпюре плоскость, и, в частности, двумя п ами пересекающихся (или параллельных) прямых (черт, 172) или парой родственных точек и двойной прямой, называемой часто осью родства (черт. 173). Чтобы найти точку К, родственную заданной в плоскости точке К(К"), на черт. 172 через точку К" проведена прямая k", параллельная заданной прямой Ь". С помощью точки [c.46]

Две ортогональные проекции плоской фигуры на эпюре тоже родственны, так как их можно считать параллельными проекциями, полученными на одной плоскости. [c.46]

В проективной геометрии подробно разработаны основные инварианты любого параллельного проецирования, вопросы об основных свойствах перспективно-аффинного соответствия фигур, о приведении в родственное соответствие плоскостей и основных свойствах точечных полей таких плоскостей, о различии между перспективно-аффинным (родственным) соответствием, с одной стороны, и общим аффинным соответствием, с другой, об эллипсе как фигуре, аффинно соответствующей окружности, и другие положения и теоремы, без знания которых немыслимо решение многих вопросов, встречающихся при исследовании и проектировании строительных и машиностроительных объектов. [c.3]

Построить плоскость, на которую данная плоская фигура ортогонально или по любому заданному направлению проецируется в виде фигуры, подобной заданной родственной фигуре. [c.4]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

В частном случае, когда одна фигура может быть параллельной проекцией другой, соответствие между ними принимает характер родства. Так, например, эллипс, являющийся параллельной проекцией окружности, находится в родственном соответствии с последней. [c.6]

В проективной геометрии доказывается следующее если две любые фигуры порознь аффинно соответствуют третьей фигуре, то они состоят в аффинном соответствии между собой. Например, если данная фигура состоит в родственном соответствии с одной фигурой и в подобном соответствии с другой, то все эти фигуры в любом сочетании являются аффинно-соответственными [9]. [c.6]

Отсюда возникает следующий план решения задачи в отыскиваемую плоскость треугольника, положение которой в пространстве устанавливается, следует вписать окружность, пользуясь которой, построить в горизонтальной плоскости проекций родственный окружности эллипс. Построенный эллипс однозначно определит положение искомой плоскости, общей для окружности и треугольника. Для достижения поставленной цели в качестве посредника можно воспользоваться только окружностью, так как кроме окружности нет другой фигуры, по горизонтальной проекции которой можно было бы определить положение плоскости, в которой лежит эта фигура. Но имеется ли возможность вписать окружность в действительно существующую плоскость, положение которой относительно плоскостей проекций неизвестно Оказывается, не зная положения ни треугольника, ни плоскости, в которой он лежит, можно вписать окружность в плоскость отыскиваемого треугольника. Для этого необходимо выполнить вспомогательные построения, которые вытекают из нижеприведенных рассуждений. [c.13]

В дополнение к отмеченному следует напомнить, что подобные фигуры, а следовательно, и плоскости, определяемые подобными фи- гурами, обладают не только теми инвариантами, которые присущ вообще аффинно-соответственным фигурам и плоскостям, но и еще одним весьма ценным свойством равенством углов между парами лю бых соответственных прямых, лежащих в этих плоскостях. Эти соображения приводят к выводу любой паре взаимно перпендикулярных,, равных между собой и выходящих из одной точки отрезков прямых, лежащих в одной из подобных плоскостей, однозначно соответствует в другой плоскости единственная и вполне определенная, родственная пара подобных и подобно расположенных, взаимно перпендикулярных, выходящих из одной точки и равных между собой отрезков прямых. Каждая пара этих отрезков может быть принята за сопряженные радиусы соответствующих окружностей, лежащих в этих плоскостях. [c.14]

I леу Родственное соответствие задано дJвyмя парами параллельных прямых к, к, I, I и направлением родства s (черт 158). Построить фигуру, родственную данному квадрату AB D. [c.45]

Впишем в любом месте искомой плоскости Q окружность произвольного радиуса ( катализатор ), Поля плоскостей Р и Q находятся в родственном соответствии, определяемом родством фигур AB ... и AqBq q..., лежащих в этих плоскостях. Фигурой, родственной окружности, лежащей в плоскости Q, будет эллипс, лежащий в плоскости Р. Может ли заданная фигура АВС..., лежащая в плоскости Р, ортогонально проецироваться на искомую плоскосгь Q в виде фигуры, подобной заданной фигуре AqBo q... Может, для этого необходимо найти такое направление проецирования по отношению к плоскости Р, при котором эллипс, лежащий в плоскости Р, изобразится на искомой плоскости Q в виде окружности. Определение направления проецирования, при котором эллипс проецируется на плоскость, перпендикулярную этому направлению, в виде окружности, задача элементарная. Отсюда видим, что для решения задачи необходимо в плоскости Р заданной фигуры построить эллипс, родственный окружности, лежащей в плоскости Q, и построить направление проецирования, при котором этот эллипс проецируется на плоскость, перпендикулярную этому направлению в виде окружности. Тогда любая плоскость, перпендикулярная найденному направлению, будет искомой плоскостью. [c.94]

Рассматривая фигуру, родственную заданной фигуре, мы замечаем, что величина углов вообще не сохраняется (см., например, рис. 491 углы четырехугольника abed не равны соответствующим им углам в родственном четырехугольнике ЛоВоСоЬо). [c.358]

На рис. 491 выполнено построение четырехугольника AaBa Jio (натурального его вида) как фигуры, родственной проекции abed. След Рд фронтально-проецирующей п,поскости, в которой находится данный четырехугольник, служит осью родства направление родства перпендикулярно к Pf . Находим обычным [c.360]

Для решения используем родство (см. /47/), задав его осью , совпадающей с большой осью эллипса, и направлении двойных прямых, параллельным малой оси, и двумя родственными точками А и А или Н и Н. Проведем 02сружи0сти диаметров, раз. ных осям эллипса с центром в точке О. Построим прямую Ь, родственную Ь. Для этого через точку Я проведем произвольную прямую НЕ, а через точку Н — родственную ей прямую НЕ. Отметив точку К пересечения прямых Ь и НЕ, построим родственную ей точку К в месте пересечения прямо Ь с двойной прямой Отметим точку Р пересечения прямой Ь с осью . Прямая Ь, родственная Ь, проходит через точки К л Р. Остается через точку М пересечения прямой Ь с окружностью провести двойную прямую ММ и отметить точку М ее пересечения с прямой Ь. Описанный прием позволяет строить эллипс как фигуру, родственную окружности. [c.35]

Ш Плоскую фигуру AB DE A"B" "D"E А В С ) (черт. 159) спроецировать на фронтальную плоскость у (у ) по направлению s (s", s ). Использовать родственное соответствие этой про екции фигуре А"В"С"D"Е". [c.45]

Заметим еще, чт() совмещенная фигура находится в родственном соответствии с одной из своих проекций на черт. 296 фигура А В С родственна фигуре А В С, двойной прямой родства является прямая h, парой родственных точек точки А и А на черт. 298 фигура /г", 1" родственна фигуре к", /", двойной прямой является прямая парой родственных точек точки К" и К". Построение совмеп1,енной фигуры может быть аналогичным построению родственной фигуры. [c.102]

Соответствие при одноразовом проецировании фигуры пучком параллельных между собой лучей называется перспективно-аффинным или родственным. При многократном проецировании фигуры каждая последующая фигура находится в перспективно-аффинном соответствии с предыдущей. Поэтому последняя фигура обладает инвариантными свойствами не только по отношению к пре-дйдущей фигуре, но и по отношению к первой, исходной фигуре, однако родственной по отношению к исходной фигуре ее назвать нельзя, так как прямые, проходящие через соответственные точки этих фигур, могут быть непараллельными между собой. Такое соответствие между фигурами называют аффинным. [c.6]

Рассмотрим зависимость между этими плоскостями. Из основных положений проективной геометрии известно, что две фигуры, порознь аффинно-соответственные третьей фигуре, находятся в аффинном соответствии между собой. Это положение в применении к рассматриваемой задаче выглядит следующим образом горизонтальная проекция аЬс и треугольник AB родственны, так как первая является параллельной проекцией второго с другой стороны, треугольники AiBi i и АБС подобны, отсюда следует, что треугольники AiBi i и [c.13]

Тогда задача может быть сформулирована следующим образом построить плоскость Q, на которую данная своими проекциями фигура AB ..., определяющая собою плоскость Р, ортогонально проецируется в виде фигуры, подобной любой наперед заданной фигуре AqBq q..., ей родственной. Плоскости Р я Q заведомо непараллельны. [c.94]

Поэтому первое, что необходимо сделать, — это определить натуральную величину афаСо треугольника AB по его проекциям аЬс, а Ь с. Затем, пользуясь одним из изложенных выше способов (на рис. 100 принят второй способ), с помощью вспомогательной окружности ( катализатора ), лежащей в плоскости треугольника AoBq o, родственной эллипсу, лежащему в плоскости треугольника а Ь Со, надо определить искомое направление проецирования для треугольника аЬс, а Ь с, а следовательно, и для данной криволинейной фигуры. Одним из двух таких направлений проецирования, преобразующих эллипс в окружность, будет построенное па чертеже направление dik, d ki, определяющее положение одного из двух семейств искомых параллельных между собой плоскостей. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...