Оператор эволюции во времени

Унитарный оператор эволюции во времени 1А 1, to) связывает квантовые состояния 0( о)) и ф 1)) в два разных момента времени to < [c.75]

Формула (2.27) даёт точное выражение для оператора эволюции во времени Ы. Подчеркнём, однако, что это выражение является всего лишь формальным. Гамильтониан включает квадрат оператора импульса и, через потенциал 17, оператор координаты. Поскольку эти операторы не коммутируют, невозможно разложить экспоненту в (2.27) на произведение двух отдельных экспонент, содержаш,их только операторы импульса или координаты. Поэтому невозможно действовать операторами последовательно, они оба должны применяться совместно. [c.76]

Кроме того, в гл. 9 мы проанализируем движение волнового пакета ядер в ангармоническом потенциале, возникающем, например, за счёт электронных состояний двухатомной молекулы. В разделе 15.1 мы используем выражение (2.27) для оператора эволюции во времени, чтобы получить вектор состояния в рамках резонансной модели Джейнса-Каммингса-Пауля. [c.77]

Эволюция состояния во времени продолжается путём умножения слева на инфинитезимальный оператор эволюции во времени [c.79]

Отсюда видим, что оператор эволюции во времени является произведением экспоненциальных операторов. Но так как операторы не обязательно коммутируют, мы не можем просуммировать показатели экспонент. Это возможно только в том случае, когда гамильтонианы Н 1у) в разные моменты времени коммутируют. Только в этом случае [c.80]

Оператор эволюции во времени принимает вид [c.81]

Хронологический оператор. В разделе 2.4.2 мы испробовали сле-дуюш,ее выражение для оператора эволюции во времени для зависяш,е-го от времени гамильтониана [c.82]

Оператор эволюции во времени в квантовой электродинамике [c.88]

Представление оператора эволюции во времени как бесконечного произведения см. в работе [c.88]

Для точного резонанса, когда гамильтониан не зависит от времени, в разделе 15.1 с помощью алгебры операторов будет получено замкнутое выражение для оператора эволюции во времени. [c.460]

Оператор эволюции во времени. Теперь можно объединить формулы (15.9) и (15.10), чтобы получить точное выражение для оператора эволюции. Но предварительно выразим оператор ад) через оператор числа фотонов п с помощью соотношения аа) = а)а + 1 = п + 1. Таким [c.463]

Интерпретация оператора эволюции. Структура выражения (15.11) для оператора эволюции во времени достаточно прозрачна динамика атомно-полевой системы определяется чётным или нечётным числом актов обмена квантом возбуждения между полем и атомом, которым и соответствуют два вклада в эту формулу. [c.464]

Поэтому оператор эволюции во времени U m, действующий в фазовом пространстве, можно интерпретировать как преобразование [c.541]

В данном приложении мы получим этот же результат, используя оператор эволюции во времени [c.729]

Итак, мы получили оператор эволюции во времени, определенный как автоморфизм сепарабельной алгебры, и у нас теперь имеются все возможности для исследования условия КМШ, а в тех случаях, когда оно выполняется, мы можем воспользоваться результатами гл. 2, 2, п. 6. Именно так и поступил Робинсон [327] ), который доказал, что в термодинамическом пределе существует не только средняя свободная энергия (теорема 1), но и предел Ит(ф( 2) R) при всех [c.384]

В частности, эволюция во времени определяется оператором Рц, или гамильтонианом системы. [c.173]

Операторы 3 (т) описывают, таким образом, эволюцию во времени любых функций координат и скоростей замкнутой системы. Они обладают следующими очевидными свойствами [c.486]

В гл. 16 мы обнаружили, что структура процесса эволюции во времени весьма примечательна. Были введены проекционные операторы П в П, обеспечивающие разделение вектора распределения f t) на две компоненты [c.189]

Напомним также, что кинетические коэффициенты (8.1.10) содержат эволюцию во времени микроскопических потоков не с обычным оператором Лиувилля zL, а приведенную эволюцию. Соответствующий оператор эволюции имеет вид упорядоченной экспоненты [c.160]

Эволюция оператора 1) во времени [c.124]

Перейдём теперь к вычислению полевых операторов. Напомним, что в гейзенберговской картине, рассмотренной в разделе 10.5.1, эволюция во времени описывается выражением [c.456]

В общем случае движение иона в ловушке Пауля имеет два масштаба времени. Есть медленное — так называемое секулярное движение, с частотой, которая определяется усреднённым по времени связывающим потенциалом, и быстрое микродвижение, которое зависит от радиочастоты переменного напряжения, приложенного к ловушке. Чтобы разобраться в сути квантовой составляющей этого движения, сначала обсудим эволюцию во времени операторов координаты и импульса для гармонического осциллятора с частотой, зависящей от времени. Такой осциллятор служит в качестве некоторой модели для ловушки Пауля. Мы покажем, что квантовое движение характеризуется тремя вещественными параметрами, которые соответствуют повороту, сжатию и ещё одному повороту в фазовом пространстве. Кроме того, будет видно, что при подходящем выборе базиса зависимость этих параметров от времени становится достаточно простой, а в некоторых случаях [c.533]

Идентификация поворотов и сжатия. Итак, эволюция во времени оператора уничтожения определяется тремя параметрами г, 7 и /3. Покажем теперь, что эволюция во времени может быть представлена как последовательность преобразований поворота, сжатия и ещё одного поворота. [c.538]

Генератор Я эволюции во времени векторов ( волновых функций ) в Квантовой механике отождествляется с гамильтонианом. По аналогии с классической механикой генератор З эволюции состояний называется оператором Лиувилля. [c.14]

Основной принцип алгебраического подхода таков вместо того чтобы исходить из какой-либо конкретной схемы, связанной с гильбертовым пространством, упор делается на то обстоятельство, что первичными объектами теории служат поля (или наблюдаемые), рассматриваемые вместе с их линейными комбинациями, произведениями и пределами (в надлежащей топологии) как чисто алгебраические величины. Этот принцип будет изложен в 2 данной главы. Затем мы определим различные типы симметрии (эволюцию во времени и калибровочные преобразования) как автоморфизмы, сохраняющие введенную нами структуру. Этому аспекту проблемы посвящен 2 гл. 2. Далее мы вводим представления алгебраических объектов как операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Способ, которым мы определяем представления, существенно зависит от состояний — конечной цели всех наших рассмотрений. Этот шаг известен под названием конструкции Гельфанда — Най-марка — Сигала (ГНС). Она впервые встречается в нашей книге в конце --2 данной главы, а ее свойства подробно рассмотрены в гл. 2, 1. Пока мы заметим лишь, что в действительности конструкция ГНС представляет собой хорошо известный фор- [c.48]

Наша следующая задача состоит в том, чтобы определить для нашей бесконечной системы эволюцию во времени. Рассмотрим сначала для каждого набора каждого элемента / еЯ( 2о) и каждого Q а Qq оператор [c.383]

Оператор эволюции во времени. Если и не зависит от времени, то и гамильтониан Н = Щ не зависит от времени. Поэтому формальное решение уравнения Шрёдингера имеет в этом случае вид [c.75]

Выведем различные выражения для оператора эволюции во времени ZY(t,to) при наличии зависящего от времени гамильтониана Н 1). Первый способ вывода основан на инфинитезимальных преобразованиях. Они позволяют записать оператор эволюции во времени как бесконеч- [c.78]

Мулътинтеграл Вольтерра-Шлезингера. Представление (2.36) оператора эволюции во времени и в виде бесконечного произведения операторов в двух отношениях является обобш,ением интеграла Римана вместо суммы входит произведение и вместо с-чисел входят операторы. Следуя Вольтерра и Шлезингеру, определим так называемый мультинтеграл как [c.81]

Интегральное уравнение. Обратимся к другому представлению оператора эволюции во времени. Для этого сначала преобразуем уравнение Шрёдингера в интегральное уравнение [c.81]

Связь мультинтеграла Вольтерра-Шлезингера с представлением оператора эволюции во времени в квантовой электродинамике в виде бесконечного произведения [c.89]

В традиционных вариантах теории поля все допущения теорем, доказанных в данном пункте параграфа, считались сами собой разумеющимися. В частности, до выхода работы Хаага молчаливо предполагалось, что все имеющие физический смысл представления канонических соотношений унитарноэквивалентны. Именно это и было одной из причин того, что представлениям в пространстве Фока на раннем этапе развития теории поля уделялось столь большое внимание, а все остальные представления назывались странными . Появление теоремы Хаага в значительной мере потрясло традиционные основы теории поля, поскольку эта теорема утверждает, что два квантовых поля (операторы эволюции во времени которых по предположению унитарны), унитарно-эквивалентных в любой заданный момент времени, оба свободны, если одно из них предполагается свободным. Теорема Хаага показывает, что картина взаимодействия, используемая в обычной теории поля при описании процессов рассеяния, пригодна лишь в случае свободных полей, и, стало быть, 5-матрица не может быть нетривиальной, если не насиловать формализм. [c.323]

В противоположность этому, уравнение (86.12), описывающее эволюцию во времени р2 (и, вообще, уравнения (86.7) при п > 2), уже в нулевом приближении по параметру Гд / содержит потенциал межмолекулярных сил. Он входит в слагаемые и д(й /дvi) оператора Лиувилля 1п, что приводит к быстрым изменениям функций р2, Рг,. .. за время порядка го- Однако на грубой шкале времени, учитывающей только изменения за времена Р>х, эти быстрые изменения функций Рп усредняются, и остается лишь плавная эволюция этих функций. Представляется весьма правдоподобным считать, что медленная эволюция многочастичных функций распределения после первоначального этапа быстрой хаотизации за время г о полностью определяется медленной эволюцией одночастичной функции Р х, /). Действительно, после того как в системе произошло несколько столкновений, поведение молекул унифицируется , становится сходным, и одночастичпая функция дает достаточно полную информацию о системе. [c.481]

Обсудим теперь физический смысл этих решений для модели Джейнса-Каммингса-Пауля. В частности, проанализируем их в двух предельных случаях 1) когда световое поле находится в резонансе с атомным переходом и 2) когда оно имеет большую отстройку. В первом случае мы установим связь с результатами первого раздела, которые были получены с помош,ью алгебры операторов. Во втором случае эволюция во времени вектора состояния Ф) атомно-полевой системы определяется эффективным гамильтонианом, который сохраняет населённости атомных уровней и статистику фотонов. Такой гамильтониан играет важную роль в атомной оптике и квантовой электродинамике эезонаторов. [c.475]

Обобщённое преобразование сжатия. Сначала покажем, что опе эатор эволюции во времени и т преобразует оператор уничтожения Ь эеперного осциллятора в линейную комбинацию операторов уничтожения и рождения. [c.537]

Если вернуться к разделу 24, то можно еще раз убедиться в том, что временнйя эволюция вектора состояния, т.е. волновой функции, естественно вписывается в формализм эволюции во времени символов измерения. Несколько утрируя ситуацию, можно сказать, что вся квантовая теория представляет собой формализм для описания временной эволюции намерений микромира. Даже в квантовой теории поля операторы эволюционируют во времени лишь для того, чтобы иметь возможность действовать на неподвижный вектор состояния — квинтэссенцию намерений микромира. [c.334]

Чтобы получить приведенные выше результаты, нам пришлось отказаться от мысли вычислять эволюцию во времени Рнепосредственно в пространстве Фока, пользуясь плохо определенным гамильтонианом Я(р(к) = 1). Тем не менее мы можем представить и Ft в виде операторов, действующих в пространстве Фока голых мезонов, хотя некоторые традиционные аспекты квантовой теории поля при этом утрачиваются. Остановимся на этом несколько подробнее. [c.39]

Насколько известно автору, то обстоятельство, что проведение различия между группой симметрии О и эволюцией во времени не сказывается на доказательстве теоремы 14, было впервые отмечено Штермером [376]. Приведенное нами доказательство воспроизводит предложенное Штермером [380] доказательство следующего утверждения Пусть 3№— полуконечный фактор, действующий на некотором гильбертовом пространстве а — группа унитарных операторов на таких, что иШи = Ш для всех U Предположим, что существует единичный вектор Ч удовлетворяющий следующим условиям 1) вектор Ч — разделяющий для 3№ 2) множество W A совпадает с множеством векторов таких, что 1/Ф = Ф для всех Тогда фактор 3№ конечен со следом 5р(Л) = (Ч , для всех ЛеЗИ . Отметим, в частности, что Штермер в своем доказательстве не требует усреднимости группы G и лишь предполагает, что она действует П-абелевым образом. Это обеспечивает ему большую общность, что особенно ценно при рассмотрении релятивистских теорий поля, в которых, очевидно, условие КМШ на ф необходимо заменить предположением о том, что Ф — (циклический и) разделяющий вектор для фактора Яф (Я). Представленное нами несколько более простое доказательство остается в силе для статистической механики при допущениях, достаточно общих для того, чтобы охватывать все наиболее интересные случаи. [c.273]

Существующий в настоящее время рецепт определения эволюции во времени для системы, бесконечно протяженной в пространстве, можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 — подмножество множества состоящее из возрастающих последовательностей 0 , таких, что для каждой области О е найдется некоторое конечное положительное целое число Л/(О), обладающее свойством й е для всех п Ы 0). Например, в качестве Й можно было бы выбрать последовательность кубов с ребром и центром в начале координат. Предположим далее, что в однозначно определена эволюция во времени а (0- В частности, это означает, что мы ввели некоторые граничные условия в Затем для каждого элемента Я, принадлежащего некоторой области 0 8. мы изучим предел а (/)[/ ] при ->оо в подходящей топологии . Если последний существует и определяет элемент а Ц) [/ ] алгебры Э и, кроме того, если оператор щ изометрический, то его можно продолжить по непрерывности с иэ (0) на 9 . Затем необходимо проверить непрерывность отображения щ по 1. Ясно, что осуществление такой программы требует нескольких доказательств сходимости. Как мы увидим в 2, такие доказательства действительно удается провести для некоторого класса взаимодействий в квантовой решетке со спином. Но даже в пределах этого класса имеются взаимодействия с достаточно большим радиусом, для которых наблюдаемые, бывшие локальными при / = 0, утрачивают свой локальный характер в процессе эволюции во времени. В предельном случае (вандерваальсов предел) мы не можем более определять отображение щ как автоморфизм алгебры 8 , хотя по-прежнему можем определять его для интересующих нас представлений я как автоморфизм бикоммутанта я (9 )". Как мы увидим в 2, аналогичная ситуация возникает и в случае свободного бозе-газа. [c.357]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...