Положение равновесия преобразование координат

Так как перенос начала координат является каноническим преобразованием (см. пример 5 п. 170), то, не ограничивая общности, можно считать, что это положение равновесия отвечает началу координат в фазовом пространстве. .., P15 5 Рп- [c.395]

Преобразование Биркгофа. Приближенное интегрирование гамильтоновой системы уравнений вблизи положения равновесия. Пусть начало координат фазового пространства отвечает [c.398]

Потенциальная энергия эйнштейновского кристалла равна сумме потенциальных энергий атомов в отдельных ячейках и не зависит от изменения реальных расстояний между атомами, находящимися в разных ячейках. Поэтому в разложении U n) по степеням малых отклонений атомов от положений равновесия будут отсутствовать члены с парными произведениями смещений атомов разных ячеек. Но, как известно из курсов аналитической механики (см., например, 11641), уменьшение числа степеней свободы системы связано с исчезновением некоторых из таких произведений при определенном линейном преобразовании координат. Если же подобные произведения отсутствуют, то нет и уменьшения числа степеней свободы. Следовательно, выражение "(196) для Z on должно содержать не (3/г — 6) сомножителей, как предполагалось Абрагамом и Дэйвом, а все 3/г сомножителей. При этом сама собой отпадает необходимость фактора замещения. [c.83]

Применяя метод Биркгофа (см. 11 гл. П), в окрестности положения равновесия можно найти каноническое преобразование х,У р, Я, аналитическое по и такое, что в новых координатах [c.320]

Из-за наличия гироскопических членов хц—х//) 4/система уравнений (1.15) не может быть преобразована к виду (1.12) с помощью введения новых координат. Однако, как показал Уиттекер, это может быть выполнено при помощи контактного преобразования. Поэтому главное свойство колебаний около положения равновесия сохраняется и в системе с гироскопическими силами, а именно всякое колебание можно рассматривать как результат суперпозиции гармонических нормальных колебаний. [c.254]

Зависят ли собственные частоты малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия от выбора обобщенных координат (переход от одних координат к другим осуществляется при помощи стационарного преобразования) [c.155]

Рассмотрим теперь преобразование от N координат Яи характеризующих положения ионов, к N новым координатам которые описывают нормальные колебания ионов около их положений равновесия. Это преобразование дается формулами [c.35]

Если подставить тригонометрические значения для I, r ,. .. в приведенные выше формулы преобразования, то, очевидно, снова придем к уравнениям п. 455, в которых обобщенные координаты 0, ф,. .. выражены через тригонометрические функции от t. Поэтому можно получить одну систему главных координат, т. е. Ii, T]i,. .., которые уничтожаются в положении равновесия, положив [c.406]

Пусть система отнесена к каким-либо координатам 0, ф,. .., значения которых в положении равновесия (как и раньше) суть а, р,. .. Когда система совершает главное колебание, все эти переменные изменяются со временем, однако отношения 9 — а, Ф — Р,. . к каждой другой разности сохраняют постоянные значения во все время движения ). Так, обращаясь к формулам преобразования (10), видим, что когда т 1,. .. суть нули и изменяется со временем только то [c.407]

Подставив (4.4) в уравнения (5.2) при условии Z2 = zi, получим систему уравнений, определяющую искомое, симметричное относительно направления потока, положение равновесия вихрей. После некоторых преобразований полученной системы для координат вихрей (жо, уо), хо, —Уо) получим уравнения [c.427]

При исследовании функции Гамильтона с помощью канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа [7], будет приводиться в окрестности начала координат к некоторому простейшему виду (к нормальной форме) и в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы будут сделаны выводы об устойчив ости или неустойчивости положения равновесия. Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно, предполагая, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы. Итак, пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений [c.52]

Преобразования базисных векторов. Для того чтобы найти положение стержня в пространстве для деформированного состояния, например вектора и (рис. П.З), и положение базиса, связанного с осевой линией стержня е , необходимо предварительно выбрать систему отсчета, например систему координат л,. Однако, при исследовании статики и динамики упругих элементов под действием нагрузок часто более удобными являются координаты, связанные определенным образом с самим упругим элементом, например координаты, определяемые базисом е,о) на рис. П.З. При решении уравнений равновесия стержней (или уравнений движения, когда рассматривается динамика) возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой, что требует знания основных операций преобразования базисных векторов. [c.294]

Искомое преобразование (44) однородно, так как в положении равновесия и старые (<71,92) и новые (0i, Ог) обобщенные координаты должны обращаться в нуль. Не нарущая общности, можно принять ai = аг = 1. Действительно, обозначим ai0i = = 01 и 0202 = 02 очевидно, что если в выражениях Г и П через 01 и 02 отсутствуют произведения этих переменных, то они не появятся и при переходе к координатам 0i и 02. Итак, вместо (44) рассмотрим преобразование [c.561]

При количественном исследовании многократных систем целесообразно применять метод точечных преобразований, причем выбирать отрезки или дуги без контакта, порождающие функции соответствия, имеет смысл в связи с конкретными особенностями задачи. В некоторых случаях целесообразно ввести специальный вид функции соответствия, при котором устанавливается соответствие между границами каждого из квадрантов многолистной поверхности. Нумеруя квадранты т-листной поверхности (от 1-го до 4т-го) по направлению часовой стрелки, будем обозначать величину полуамплитуд через а, а соответствующие значения скорости прохождения через положение равновесия через Vi a) (i = 1, 2,. .., 4m). Тогда процесс установления вокруг начала координат может быть задан циклической подстановкой 4т функций [c.107]

Рассмотрим совокупность атомов, связь между которыми имеет гармонический характер. Смещение системы из положения равновесия в любой момент времени можно описать, задав компоненты смещений атомов д 1, Хо, . ., Хдг. Обычно набор этих компонент содержит по три кoA пoнeнты смещений для каждого атома системы. Другой способ определения смещений системы из положения равновесия состоит в том, что задают значения обобщенных координат Ql, которые связаны с координатами Х1 унитарным преобразованием [c.48]

При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от классической постановки задачи об устойчивости периодических движений автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет исследовать полную окрестность периодического движения, используя канонические преобразования, а в окрестности периодического движения можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмуш енного движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову по отношению к локальным координатам. [c.209]

Мы будем рассматривать кристалл как систему материальных частиц, совершающих малые колебания относительно своих положений равновесия. Будем предполагать, что положения равновесия частщ образуют конфигурацию, обладающую симметрией пространственной группы С. Тогда, как известно (см. главу VI, п. 3), декартовы составляющие смещений частиц из положений равновесия преобразуются по некоторому приводимому представлению этой группы. Перейдем от декартовых смещений ж,- к нормальным координатам Если под переменной понимать смещение, умноженное на корень из массы соответствующего ядра, то, как мы знаем, декартовы смещения ж, и нормальные координаты qj связаны унитарным преобразованием [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...