Фокус (особая точка)

ФОКУС-особая точка, геометрически характеризующаяся тем, что фазовые траектории в окрестности этой точки представляют собой спирали с бесконечным числом витков, проходящих через эту точку. [c.83]

Теперь на основании уравнения (1.58) можно дать общее определение фокуса особая точка называется т-кратным фокусом т = и — 1)/2), если а/ О, а а/ = О при i < /. [c.37]

Фокус (особая точка) 21 [c.582]

Фокус (особая точка потока) 58 [c.903]

Яз) = (—, —, —) устойчивый фокус (особая точка), [c.72]

Один из корней — действительный, два других — комплексные, причем знаки действительного корня и действительных частей двух других — комплексно-сопряженных корней — разные. Состояние равновесия в этом случае изображается особой точкой типа седло-фокус (рис. 1.7, а и рис. 1.7, б). [c.14]

С ростом п фазовая точка стремится к началу координат вдоль фиксированного луча на фазовой плоскости. Фазовые кривые — спирали, закручивающиеся вокруг точки 0. Имеем особую точку типа фокус (рис. 3.9.5). Движение асимптотически успокаивается около [c.220]

Отсюда следует обязательность существования замкнутых фазовых траекторий, окружающих изолированные особые точки, или убегающих траекторий для ограниченных интервалов изменения X и у и невозможность для систем данного типа существования особых точек, в которые стягиваются все фазовые траектории из прилегающей области, называемых фокусом или узлом. [c.23]

При б <со5 мы имеем дело с затухающими колебаниями линейного осциллятора, фазовый портрет которых представляет собой совокупность логарифмических спиралей, стягивающихся в особую точку типа фокус. Для > ф система становится апериодической, и на фазовой плоскости движения изображаются фазовыми траекториями, имеющими вид кривых, сходящихся в особую точку типа узел без обходов вокруг нее. В обоих [c.51]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

Начало координат (см. рис. 5.15) является неустойчивой особой точкой типа фокус, и все траектории, выходящие из начала координат, через большее или меньшее число периодов колебаний (в зависимости от добротности накопительного элемента системы) приходят на предельный цикл. [c.199]

При стремлении /г к нулю слева радиус неустойчивого предельного цикла уменьшается и стремится к нулю. Начало координат на фазовой плоскости при этом обращается из особой точки типа устойчивого фокуса в особую точку типа неустойчивого фокуса. Одновременно радиус устойчивого цикла увеличивается. [c.210]

При стремлении k к нулю справа радиус единственного устойчивого предельного цикла постепенно уменьшается, а неустойчивая особая точка типа фокус в начале координат приближается по характеру движения в ее окрестности к особой точке типа центр. [c.210]

Исключая время t из соотношений (11.42) и (11.43), получаем зависимость х(х), графическое изображение которой иа фазовой плоскости, т. е. в координатах х и х, представляется спиралью, стремящейся к точке (хо, 0) статического равновесия (рис. 65, а). Указанная спираль называется фазовой траекторией системы, а точка (д о, 0) есть особая точка этой траектории, называемая устойчивым фокусом. [c.229]

Исключая время t из соотношений (11.44) и (11.45), получаем зависимость х х), графическое изображение которой на фазовой плоскости представляется спиралью, выходящей из точки (- 0, 0) статического равновесия (рис. 65,6). Эта точка, рассматриваемая как особая точка фазовой траектории, называется неустойчивым фокусом. [c.229]

Эти точки пересечения — положения равновесия медленного уравнения. Поскольку они регулярны, это обычные особые точки гладкого (медленного) векторного поля на поверхности (узлы, седла, фокусы). К их исследованию применима обычная локальная теория [26]. [c.175]

Особые точки последнего типа могут быть на медленной поверхности фокусами а<—1), узлами (—1<а<0) или седлами (0<а). [c.177]

В 19.4 мы рассмотрели все возможные типы особых точек линейной системы. Одним из них является вихревая точка. Вихревая точка устойчива. Траектории в окрестности такой точки представляют семейство подобных эллипсов с центром в точке 0 рассматривая эллипс с большой полуосью, равной е, мы можем взять в.качестве х (е) малую полуось этого эллипса. Устойчивые узлы и фокусы одновременно устойчивы и асимптотически. Сед-ловые точки, а также неустойчивые узлы и фокусы неустойчивы. (Чтобы получить уравнения в форме, в какой мы их писали в 19.4, следует применить линейное преобразование [c.371]

Движение в окрестности центра. Здесь мы рассмотрим критический случай. Выше было установлено, что в окрестности особых точек типа узла, седла и фокуса движение происходит, по существу, так же, как если бы оно описывалось соответствующим линейным приближением. Однако для особой точки типа центра это не имеет места. В этом случае линейное приближение дает устойчивость, в то время как точные уравнения могут привести либо к устойчивому, либо к асимптотически устойчивому, либо, наконец, к неустойчивому движению. [c.379]

Следовательно, при /о > О индекс особой точки равен +1, а при /о < О равен —1. С другой стороны, Jo равно произведению собственных значений матрицы А ( 19.4) это произведение положительно для узла, фокуса и центра и отрицательно для седла. Таким образом, индекс любой допустимой особой точки при Jo ф ) равен +1 ( + 1 для узла, фокуса и центра и —1 для седла). [c.386]

Все остальные точки фазовой плоскости называются регулярными через каждую из них проходит одна фазовая траектория. Периодическим режимам соответствуют замкнутые фазовые траектории. Разновидностями особых точек на плоскости являются центр, седло, фокус, узел они изображены вместе с примыкающими к ним областями фазовой плоскости на рис. 17.17, а, б, в, г, д, е. [c.44]

Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости а) центр, б) седло в) фокус (устойчивый). г) фокус (неустойчивый) д) узел (устойчивый) е) узел (неустойчивый) ж, э) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже.

Как уже отмечалось в 17.2, особым точкам фазовой плоскости соответствуют равновесные состояния, при этом центру — устойчивое, а седлу — неустойчивое равновесия. Что касается фокуса и узла, то они могут соответствовать либо устойчивому (если движение изображающей точки по фазовой траектории направлено к особой точке — см. рисунки в строках 1, 4 и б табл. 17.2), либо неустойчивому (если движение — от особой точки — см. рисунки в строках 2, 5 и 7 табл. 17.2) состоянию равновесия. Аналогично устойчивым (рисунок 17.17, ж) или неустойчивым (рисунок 17.17,3) может быть предельный цикл. Точкам неустойчивого предельного цикла соответствуют нереализуемые движения. [c.76]

Статья 1 состоит из двух глав. Глава I посвящена классификации критических (теперь их называют особыми) точек линий тока на плоскости. В настоящее время понятие об особых точках рассматривается в курсах дифференциальных уравнений, в обзорных статьях, в справочниках, в курсе гидродинамики [1]. Во времена А. А. Фридмана, т. е. более 65 лет назад, появились за рубежом статьи по критическим точкам линий тока на плоскости, в которых или не было системы в классификации, или содержались некоторые погрешности. А. А. Фридман предложил мне провести разбор случаев плоского коллинеарного движения, применяя методику, исходящую от Пуанкаре. При этом кроме узла, седла, фокуса, центра были выделены также случаи бесконечно удаленной точки. Ввиду простоты и общеизвестности задачи я привожу главу I в сильно сокращенном виде. В главе II рассмотрено упрощенно пространственное движение, в котором пренебрегается вертикальной составляющей скорости. Это отдаленный прообраз современного понятия бифуркации — по параметру. Начало главы II дано без сокращений, но из пяти примеров приведены только два. [c.51]

Типичная фазовая траектория изображена на рис. 11.20 (здесь Хо и Хо — начальные возмущения). Она представляет собой спираль, накручивающуюся на начало координат. Фазовый портрет образуется семейством таких спиралей, окружающих начало координат — особую точку, которая в этом случае называется устойчивым фокусом. [c.53]

Корни комплексные (сопряжённые). Интегральные кривые спиралевидны и приближаются асимптотически к особой точке, делая вокруг этой точки бесконечное число завитков. Точка называется фокусом. [c.227]

В этих случаях поведение интегральных кривых в окрестности особой точки х = у = 0 определяется в основном линейными членами функций Я и Q и не отличается качественно от того поведения кривых, которое имело бы место при существовании одних линейных членов. Только в случае чисто мнимых корней Xj, Ха того же уравнения Х2 — ( - -с)Х + + b ad = 0 линейные члены не определяют полностью характера интегральных кривых вблизи особой точки, которая может быть при этом центром цли фокусом в зависимости от вида функций <р (х, у) и (р (х, у). [c.227]

Случай / = I отвечает простому фокусу, который является грубой особой точкой. Если / > 3, то имеем сложный фокус. Если все ai = О, то особая точка — центр . Центр проявляется в консервативной системе. В этом случае все фазовые траектории, окружающие особую точку,— замкнутые (рис. 3). - - - [c.37]

Т с о р е м а II. Нели внутри замкнутой траектории более одной особой точки, то число особых точек типа узла (фокуса) всегда на единицу больше числа седел. [c.39]

Теорема III. Если в системе имеется единственная и неустойчивая особая точка типа узла (фокуса) и если бесконечность неустойчива (существует окружность радиуса R с центром в начале [c.39]

Доказательства первых двух теорем связано с введением индекса Пуанкаре (АндрОнов и др., 1959). Доказательство последней теоремы основано на том факте, что фазовые траектории не могут пересекаться. Рис. 7 иллюстрирует это положение. Кривая, пересекающая все фазовые траектории и не касающаяся их, называется Кривой без контакта. На рис. 7 окружность R — цикл без контакта. Обнаружение предельных циклов это — основная задача в теории колебаний. Однако не существует общих аналитических методов для ее решения. Следует отметить, что если при исследовании особых точек системы обнаруживаются центры, которые нри изменении параметров превращаются в неустойчивые фокусы, то вероятность существования в этой системе предельных циклов весьма велика. [c.39]

Таким образом, на плоскости иу фазовыми траекториями служит семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. На плоскости ху фазовые траектории также представляют собою спирали, скручивающиеся к началу кЬординат (рис. 2.18). Двигаясь по любой из этих фазовых траекторий, изображающая точка асимптотически (при t-> +00) приближается к началу координат, где находится особая точка — устойчивий фокус. Точка X = О, у = Q представляет собою отдельную фазовую траекторию, соответствующую асимптотически устойчивому состоянию равновесия осциллятора. [c.39]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

Если точка Р существует, то г 4 > О и У4 > О и, следовательно, 3ABu Vi>-0, т. е. действительных корней разных знаков характеристическое уравнение иметь не будет. Таким образом, точка Р4 будет особой точкой типа узла или фокуса. Для того чтобы Р4 была устойчивой особой точкой, нужно, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательны, т. е. должно выполняться неравенство [c.203]

Zo3 = y/ e (рис. 5.29). Начало координат на фазовой плоскости является особой точкой типа устойчивого фокуса. Все возмущения, меньшие амплитуды, соответствующей неустойчивому предельному циклу, осцил-ляторно затухают. Возмущения, большие амплитуды, отвечающей неустойчивому предельному циклу, осцилля-торно увеличиваются и амплитуды этих колебаний стремятся к предельному устойчивому циклу изнутри. Если амплитуда колебаний по какой-либо причине стала больше амплитуды, соответствующей устойчивому предельному циклу, то первая постепенно будет уменьшаться, стремясь в пределе снаружи навиться на предельный цикл. При изменении значения k происходит эволюция картины на фазовой плоскости. [c.210]

Рассмотрим случай, когда Г является циклической траекторией и в ограничиваемой ею области имеется одна особая точка ро, которая является узлом или фокусом. Возьмем точку q вблизи от Ро. Если особая точка неустойчива, то положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке q, не может стремиться к точке ро. Следовательно, она должна стремиться к предельному циклу, который либо совпадает с Г, либо является другой циклической траекторией, расположенной внутри области, ограниченной кривой Г. Отрицательная полухарактеристика, начинающаяся в точке q, при этом стремится к точке Ро и, возможно, входит в нее. [c.393]

Начало координат является единственной особой точкой и представляет собой, либо неустойчивый узел, либо неустойчивый фокус. Как выяснится в дальнейшем, существует одна-единственпая циклическая силовая линия и все положительные полухарактеристики стремятся к одному предельному циклу. Система обнаруживает стремление к установлению периодических колебаний независимо от начальных условий движения (исключая тривиальный случай, когда в начальный момент х = х = 0). [c.395]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...