Лагранжево подмногообразие

Для доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим результатом симплектической топологии в некоторой окрестности и каждой точки лагранжева подмногообразия Л симплектического многообразия (М, Г2) найдутся канонические координаты р, д, в которых = (/р Л ( 5, и множество Л П 7 задается уравнением р = О [13]. Папример, пусть лагранжева поверхность Л задана ура в-нением у = дЗ/дх (см. 2 гл. II). Тогда координаты р, д вводятся каноническим преобразованием д = х, р = у - дЗ/дх. [c.256]

Заметим, что исходный тор является лагранжевым подмногообразием фазового пространства. Наш диффеоморфизм симплектический, поэтому тор-образ также лагранжев. Стало быть, [c.389]

Точное описание всех этих явлений удобно проводить в терминах геометрии лагранжевых подмногообразий соответствующего фазового пространства и их проекций на конфигурационное пространство. [c.407]

Нашим коротковолновым начальным условиям мы сопоставим лагранжево подмногообразие в фазовом пространстве (т. е. многообразие, размерность которого равна размерности конфигурационного пространства и на котором обращается тождественно в нуль [c.409]

В. Индексы замкнутых кривых. Индексы замкнутых кривых на лагранжевых подмногообразиях линейного фазового пространства можно вычислять также с помощью комплексной структуры. Введем в линейном фазовом пространстве R = (р, 9) , кроме симплектической структуры, dp Д dg еще евклидову структуру (со скалярным квадратом р -j- д ) и комплексную структуру, заданную умножением на мнимую единицу [c.413]

Рассмотрим теперь тг-мерное конфигурационное многообразие соответствующее 2тг-мерное фазовое пространство и в нем тг-мерное лагранжево подмногообразие (т. е. тг-мерное подмногообразие, на котором 2-форма, задающая симплектическую структуру фазового пространства, равна тождественно нулю). [c.417]

Ниже приведены нормальные формы для особенностей проектирования тг-мерного лагранжева подмногообразия из 2тг-мерного фазового пространства на тг-мерное конфигурационное пространство для и 5. Этих нормальных форм конечное число, и их классификация связана (довольно загадочным образом) с классификациями простых групп Ли, простейших вырожденных критических точек функций, правильных многогранников и многих других объектов. При тг 6 нормальные формы некоторых особенностей неизбежно должны содержать параметры. [c.418]

Примеры. 1. Слои кокасательного расслоения лагранжевы. 2. Многообразие всех ориентированных нормалей к гладкому подмногообразию (любой размерности) в евклидовом пространстве — лагранжево подмногообразие пространства прямых. 3. Многообразие всех многочленов делящихся на ж , лагранжево. [c.448]

Лагранжевым отображением называется проектирование лагранжева подмногообразия на базу лагранжева расслоения, т. е. тройка V Е В, где первая стрелка — иммерсия лагранжева подмногообразия, а вторая — лагранжево расслоение. [c.449]

Пусть (JW, ш) — симплектическое многообразие (см. определение 5.5.7), множество и сМ открыто и / и — М — симплектический диффеоморфизм. Пусть Л С С/ является гиперболическим множеством диффеоморфизма f. Докажите, что dim Е = dim Е для всех точек хеА, —лагранжевы подпространства Т М, а W x) и 1У (ж) являются лагранжевыми подмногообразиями М. [c.278]

С другой стороны, нормальное отображение можно рассматривать как лагранжево. Действительно, пространство нормального расслоения подмногообразия, рассматриваемое как подмножество пространства кокасательного расслоения объемлющего евклидова пространства, — его лагранжево подмногообразие. Проектирование иа базу кокасательного расслоения и есть искомое лагранжево отображение. [c.103]

Дело в том, что лагранжевы многообразия, отвечающие системам лучей, — не совсем произвольные лагранжевы подмногообразия фазового пространства они принадлежат гиперповерхности в нем, заданной в оптике уравнением эйконала (475) =1, а в вариационном исчислении уравнением Гамильтона—Якоби. [c.106]

Определение 1. Лагранжевым подмногообразием симплектического многообразия называется подмногообразие наибольшей размерности, ограничение симплектической структуры на которое равно нулю. [c.22]

Пример 4. Пусть Г — подмногообразие евклидова пространства К" (Г может быть гиперповерхностью, точкой, кривой,...). Множество ориентированных нормалей к Г является лагранжевым подмногообразием симплектического пространства ориентированных прямых в К". [c.23]

Определение 3 (лагранжевы отображения). Рассмотрим вложенное лагранжево подмногообразие Ь в пространстве лагранжева расслоения Е —Н- В. Проекция Ь в В называется лагранжевым отображением. Таким образом, лагранжево отображение — тройка Ь Е —Н- В, где левая стрелка является лагранжевой иммерсией, а правая — лагранжевым расслоением (рис. 13). [c.25]

Пример 1 (градиентное отображение), д р — дЗ/дд. Лагранжево подмногообразие Ь является графиком этого отображения здесь лагранжево расслоение — кокасательное расслоение (д, р) q. [c.25]

Пример 2 [нормальное отображение). Сопоставим каждому вектору нормали к подмногообразию его конечную точку. Получившееся отображение — лагранжево (лагранжево подмногообразие Ь в Т К образовано 1-формами (п,.) в конечных точках нормальных векторов п). [c.26]

Отображение Гаусса лагранжево. Лагранжево подмногообразие симплектического многообразия ориентированных прямых в евклидовом пространстве образовано нормалями к гиперповерхности. [c.26]

Семейство Р функций переменной г, зависящих от параметров д, называется производящим семейством этого лагранжева подмногообразия (и его лагранжева отображения [д, р) нч д на многообразие наблюдения). [c.26]

Однако, после первой перестройки (т. е. после образования каустики) лагранжево подмногообразие приобретает некоторые особенности ( слабые разрывы ), так как плотность (и, следовательно, гамильтониан) становится особой на каустике. [c.44]

Определение. Лагранжево подмногообразие пространства лагранжева расслоения называется оптическим, если оно лежит в гиперповерхности, которая трансверсально пересекается с каждым слоем по квадратично выпуклой в слое гиперповерхности. [c.49]

Пример. Уравнение эйконала = 1 определяет послойно квадратично выпуклую гиперповерхность в пространстве кокасательного расслоения риманова многообразия. Следовательно, решения уравнения Гамильтона-Якоби (У ) = 1 определяют оптические лагранжевы подмногообразия. [c.49]

Лемма. Характеристики послойно выпуклой гиперповерхности, содержащей оптическое лагранжево подмногообразие, не касаются критического множества лагранжевой проекции. В точках гладкости критического множества определено касательное поле направлений оно совпадает с полем ядер лагранжева отображения в точках типа 3. [c.50]

В оптической теории мы должны различать три случая. Рассмотрим касательный конус к поверхности критических точек в точке типа Это — невырожденный квадратичный конус в 3-пространстве (в касательном пространстве к лагранжеву подмногообразию). Ядро проекции на базу лагранжева расслоения в точках типа является [c.50]

Рассмотрим лагранжево подмногообразие в пространстве кокасательного расслоения некоторого многообразия. Оно может быть поднято (по крайней мере локально) до лежандрова подмногообразия многообразия 1-струй функций на выбранном многообразии [c.69]

Полученное таким образом лежандрово подмногообразие проектируется на исходное лагранжево подмногообразие с помощью естественной проекции J (M,R) Т М ( забывания значений функции ). [c.69]

Таким образом, производящее семейство лагранжева подмногообразия определяет лежандрово подмногообразие пространства 1-струй функций переменной д [c.69]

Рассмотрим лагранжево подмногообразие пространства Т У (быть [c.114]

Нормальное расслоение лагранжева подмногообразия евклидова пространства изоморфно касательному расслоению. [c.120]

Доказательство можно было бы свести к иссследованию пересечения двух лагранжевых подмногообразий 4п-мерного пространства (R X X X X Т ) с Q — dx / dy — dX / dY, одно ив которых диагональ (Х — X, Y = у), а другое — график отображения А [c.390]

Рассмотрим, например, каустики, образованные при освещении стены светом от точечного источника, отраженным от какой-либо гладкой искривленной поверхности (здесь четырехмерное фазовое пространство образовано прямыми, пересекающими поверхность стены по всевозможным направлениям, а лагранжево подмногообразие — лучалш света, выходящими из источника, при пересечении ими стены). Перемещая источник, можно заметить, что, вообще говоря, каустики имеют лишь простейшие особенно- [c.417]

Кратчайший путь состоит из отрезков прямых и отрезков геодезических на поверхности препятствия (рис. 262). Рассмотрим лоэтому систему геодезических на поверхности препятствия, ортогональных фиксированному фронту. Система всех лучей, касательных к этим геодезическим,— лагранжево подмногообразие в симплектическом многообразии прямых (как и всякая система экстремалей решения вариационной задачи). [c.460]

Mj — гладкое лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно гамильтонова потока tpjf гамильтониана Н (а также и относительно любого гамильтонова потока (р ). [c.234]

Гауссовы отображения, как и нормальные, можно рассматривать как лагранжевы. Соответствующее симплектиче-ское многообразие — это многообразие всех ориентированных прямых евклидова пространства. Оно естественно расслоено над сферой (прямой сопоставляем параллельный орт в нуле). Ориентированные нормали к гиперповерхности образуют в пространстве прямых лагранжево подмногообразие. Проектирование этого лагранжева многообразия иа сферу — искомое лагранжево отображение. Применение к этому отго15раженик> общей теории лагранжевых отображений дает формулированные результаты о гауссовых отображениях (типичные гиперповерхности определяют, как легко видеть, типичные гауссовы отображения). [c.104]

Определение. Каустика называется оптической, если она является множеством критических значений проектирования на конфигурационное пространство такого лагранжева подмногообразия фазового пространства, которое лежит на гиперповерхности Н(р,д)—0, пересечение которой с каждым слоем кокасательногр расслоения строго выпукло. [c.106]

Пример 2. Все лагранжевы подмногообразия данного симплектического пространства локально симплектоморфны (и, следовательно, симплектоморфны любому выделенному, скажем р-плоскости в модели Дарбу). [c.16]

Пример 1. Плоскость р = О в снабжённом координатами Дарбу, является лагранжевым подмногообразием. Все лагранжевы подмногообразия данной размерности локально симплектоморфны (по теореме Гивенталя), и, следовательно, каждое из них локально определено уравнением р = О в некоторых координатах Дарбу. [c.23]

Пример 2. Формула р = 5, где в — некоторая гладкая функция на V, определяет лагранжево сечение Т У. Например, нулевое сечение кокасательного расслоения является лагранжевым подмногообразием. Некоторая окрестность лагранжева подмногообразия симплектоморфна окрестности нулевого сечения его кокасательного расслоения (это следует из теоремы Вейнстейна, см. 1.2). [c.23]

Замечание. Эмпирическое правило Вейнстейна гласит в симплектической геометрии любой важный объект является лагранжевым подмногообразием (например, уравнения Гамильтона и симплектоморфиэ-мы могут быть описаны как лагранжевы многообразия). [c.23]

Лагранжева природа этого отображения сохраняется при движении частиц в потенциальном поле сил (так как фазовый поток любой гамильтоновой системы переводит лагранжевы подмногообразия в лагранжевы). Поле может зависеть от времени или быть порождённым самими движущимися частицами (например, лагранжевость сохраняется при движении частиц под действием их собственного гравитационного поля). [c.44]

Оптические лагранжевы подмногообразия образуют довольно узкий подкласс в классе всех лагранжевых подмногообразий. Тем не менее, все устойчивые особенности лагранжевых отображений допускают оптическую реализацию. Более того, типичные оптические лагранжевы особенности совпадают с типичными (произвольными) лагранжевыми особенностями (см. [79], [199], [200] и результаты И.А.Богаевского, 1989). [c.49]

Прммер. Эйлерова характеристика гладкого компактного множества критических точек лагранжевой проекции типичного оптического лагранжева подмногообразия равна нулю [78]. [c.49]

Определение лагранжева кобордизма опирается на понятие лагранжева края. Рассмотрим лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения многообразия с краем. Физически лагранжево подмногообразие описывает коротковолновую асимптотику волнового поля. Волновое поле в области индуцирует волновое поле на краю зтой области. Его асимптотика определяет лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения края. Это лагранжево подмногообразие называется лагранжевым краем исходного (лагранжева) подмногообразия. Размерность лагранжева края на единицу меньше размерности исходного подмногообразия, и оно вложено в симплектическое пространство, размерность которого на 2 меньше размерности исходного симплектического пространства. [c.114]

Рассмотрим два замкнутых (т. е. компактных беэ края) лагранжева подмногообразия Ьо и 1 пространства кокасательного расслоения Т У. Лагранжевьш, (цилиндрическим) кобордизмом между Ьо и (рис. 56) называется лагранжево подмногообразие пространства Т У X [о, 1]) (кокасательного расслоения цилиндра над У), лагранжев край которого есть разность между 1 1 X 1 и 1 о X О (для ориентированных кобордизмов изменение ориентации многообразия индуцирует изменение знака в кобордизме в неориентированном случае коэффициенты принадлежат 7г). [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...