Ньютоновские методы

Решение уравнений. О Ньютоновском методе приближений, [c.198]

МЫ, Хд — лучшая точка в области линейности х° — лучшая точка на траектории МБС (для сравнения показана и траектория Ах ньютоновских методов, рассмотренных ниже). При оптимизации оптических систем МБС применяется иногда как дополнительный к ньютоновским методам. [c.222]

Сходимость ньютоновских методов. Для анализа сходимости методов, приведенных в этом параграфе, рассмотрим, как и ранее, две различные ситуации. [c.227]

Вторая ситуация характеризуется тем, что точка решения ньютоновских методов х , (она же минимум линейной модели х ) [c.227]

Когда же появляется эта неблагоприятная ситуация, т. е. когда решение Ах в ньютоновских методах в соответствии с формулами (5.39), (5.42) или (5.51) становится настолько большим, что выходит за область линейности [c.228]

Заканчивая анализ сходимости ньютоновских методов, необходимо сказать, что, несмотря на отмеченные серьезные недостатки, они оказались более эффективными, чем градиентные и достаточно широко применялись для оптимизации оптических систем. На их основании построены многочисленные программы, описанные в работах [7, 8, 19, 30, 38, 39, 45, 53]. [c.230]

Комбинация ньютоновских и градиентных методов Мы видим, что свойства сходимости градиентных и ньютоновских методов противоположны и как бы дополняют друг друга, поэтому, объединяя эти методы, можно получить лучшую сходимость, чем при использовании их независимо. Простейший вариант заключается в том, что на каждом шаге реализуются независимо оба метода, после чего в качестве начальной точки следующего шага выбирается наилучшая из полученных. Иногда один метод используют в качестве основного до тех пор, пока он сходится достаточно быстро, а затем включается дополнительный метод. Такая стратегия применена в программе ГОИ им. С. И. Вавилова, описанной в работе [8]. В качестве основного используются один из ньютоновских методов (МН при т = п, МНК при т > п и МЛ при т <1п), а в качестве дополнительного — МБС. [c.230]

УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЕ НЬЮТОНОВСКИЕ МЕТОДЫ [c.230]

Ньютоновские методы могли бы стать близкими к идеальным, если бы удалось избавиться от их основного недостатка — большого выноса точки решения из области линейности при наличии лишних параметров или функций, приводящего к резкому замедлению сходимости. Два способа решения этой задачи мы рассмотрим в настоящем параграфе. [c.230]

Выбор оптимального базиса. Мы уже говорили, что тщательный отбор параметров и функций с целью устранения из них лишних способствует существенному повышению сходимости ньютоновских методов. Естественно, что нерационально возлагать задачу такого отбора на конструктора, строящего оптимизационную модель. Во-первых, для этого у него нет достаточной информации и ему приходится опираться в основном на опыт, а, во-вторых, параметры и функции, оптимальные на начальных шагах оптимизации, могут не остаться таковыми в дальнейшем. [c.231]

С использованием понятия обобщенного обращения можно записать решения для всех ньютоновских методов в виде единой формулы [c.233]

Положение точки, в которой происходит событие, может быть определено с помощью жестких масштабов методами евклидовой геометрии и выражено в декартовых координатах. Ньютоновская механика в этом отношении пользовалась вполне реальными приемами сравнения измеряемых величин с образцовыми эталонами. [c.179]

В результате корень уравнения находится как предел последовательности, вычисляемой по формуле (2.16). Можно доказать, что если / (fi.) = О, / (fj.) О, а / непрерывна, то около корня ц существует интервал, при попадании в который начального приближения метод сходится. Поэтому основная трудность реализации метода Ньютона состоит в выборе начального приближения Обычно этот выбор производится с помощью какого-нибудь безусловно сходящегося алгоритма, который может быть основан, например, на методе половинного деления. После определения выполняется переход на ньютоновские итерации, имеющие более быструю сходимость. [c.55]

Проблемой исследования свойств макроскопических систем, находящихся в состоянии равновесия, на основании известных свойств образующих такие системы частиц занимается статистическая физика. Основная задача заключается в том, чтобы описать поведение системы, содержащей весьма большое число частиц (например, 1 кг или 1 кмоль реального газа), по свойствам и законам движения отдельных молекул, которые считаются заданными. Поведение макроскопических систем определяется закономерностями особого рода — статистическими закономерностями. Общие равновесные свойства системы (например, термодинамические параметры, характеризующие ее состояние) сравнительно мало зависят от конкретных свойств частиц и законов их взаимодействия. Это обстоятельство позволяет установить общие законы поведения систем и, в частности, законы теплового поведения макроскопических тел в состоянии равновесия например, методами статистической физики можно теоретическим путем получить уравнение состояния (разумеется, в ограниченном числе случаев). Следует отметить, что последовательное применение статистических методов нельзя осуществить на основе классической механики движения частиц. Даже для описания движения сравнительно тяжелых частиц (молекул) в объеме макроскопической системы, когда, казалось бы, справедливы положения ньютоновской механики, приходится использовать теорию движения микрочастиц— квантовую механику. Таким образом, получение уравнения состояния реальных газов теоретическим путем в принципе возможно, но для большинства практически важных случаев связано с непреодолимыми трудностями. Однако теория позволяет обосновать общий вид уравнения состояния. [c.100]

Для экспериментальной проверки метода в первую очередь была исследована экструзия заведомо ньютоновской весьма вязкой жидкости раствора канифоли в веретенном масле. На рис. 2 представлены изображения профилей, зарисованные на миллиметровой бумаге экрана. Рис. 2,а соответствует экструзии вниз, а рис. 2,Ь — экструзии вверх. Координаты профилей, приведенные к натуральным размерам путем деления на величину объективного увеличения, даны в табл. 1. [c.123]

Помимо основного назначения метода — снятия реологических характеристик не-ньютоновских и не-бингамовских тел — он может быть использован также и для определения констант /] и б бингамовских тел или вязкости т] ньютоновских жидкостей. [c.131]

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА К НЕПЛАСТИЧНЫМ НЬЮТОНОВСКИМ И НЕ-НЬЮТОНОВСКИМ ЖИДКОСТЯМ [c.136]

Как и в случае бингамовских тел, в отношении ньютоновских жидкостей описанный метод может быть применен как для снятия реологических характеристик, так и для вычисления вязкости из интегральных величин. Соответствующая формула может быть получена, если положить в уравнениях (4 ) и (4") Гкр=0, рассматривая ньютоновскую жидкость как частный случай бингамовского тела. [c.136]

Основное назначение метода заключается, разумеется, не в определении постоянных т] и б при линейной реологической характеристике (для ньютоновских жидкостей и бингамовских тел, для которых это может быть сделано и другими методами), а в непосредственном [c.137]

Измерения же с заведомо ньютоновскими жидкостями большой вязкости должны лишь послужить одним из способов проверки метода как путем сравнения величины Ч[ с данными других приборов,, [c.137]

Описанные выше методы оценки применимы для ньютоновских и неньютоновских жидкостей. Методы оценки неньютоновских жидкостей разработаны в основном изготовителями красок, консистентных смазок и других материалов этого типа почти все эти методы основаны на измерении крутящего момента. Следует учитывать, что жидкости для гидравлических систем [c.92]

Благодаря этому ньютоновские методы, имеющие высокую сходимость, получили наибольшее распространение см. работы [7, 8, 9, 19, 30, 35, 38,41, 43,44, 49, 50, 52, 54, 55] . Напротив, ква-зиньютоновские методы [1, 33], в которых матрица Гессе из-за трудоемкости ее непосредственного вычисления аппроксимируется за п шагов, для оптимизации оптических систем не употребляются, поэтому мы их не рассматриваем. [c.217]

Направление спуска в ньютоновских методах указывает прямо на минимум х п11п линейной модели, поэтому они имеют обычно значительно лучшую сходимость, чем градиентные методы. Характерной их особенностью является необходимость решения на каждом шаге системы линейных уравнений. Название методов взято по аналогии с методом Ньютона—Рафсона уточнения корня нелинейного уравнения (см. 14). В том и другом случае мы заменяем на каждом шаге нелинейное уравнение или нелинейную систему уравнений (5.5) ее линейной моделью. По той же причине эти методы называют также методами линеаризации. [c.223]

Демпфированный метод наименьших квадратов (ДМНК). Второе направление усовершенствования ньютоновских методов представлено предложенным в 1949 г. и широко применяющимся в оптике так называемым демпфированным методом наименьших квадратов (ДМНК). Идея этого метода основана на улучшении сходимости за счет ограничения длины вектора решения Ах в стандартном методе наименьших квадратов, выраженном формулой [c.235]

При исследовании обобщенных ньютоновских жидкостей реометрия сводится к экспериментальному определению функции Т1 (S) в уравнении (2-4.1). Это более трудная задача, чем определение единственного значения вязкости, поскольку нужно определить полную кривую кажущейся вязкости. Методы реометрии частично обсуждались в разд. 2-5, где рассматривались течения в реометрических системах, которые позволяют определить кривую Л (S). [c.167]

Сравнительный анализ алгоритмов направленного поиска, предпринятый различными авторами [8], показывает, что наименьшее количество шагов в процессе поиска обеспечивают методы локальной аппроксимации (градиентный, ньютоновский и др.). Однако при расчетах на ЭВМ более важным показателем является машиносчетное время, которое при определенных условиях можно считать пропорциональным количеству вычислений целевой функции Но. Для методов, требующих определения производных, это количество возрастает с увеличением числа переменных. Поэтому при решении практических задач часто более эффективными оказываются методы покоординатного поиска и случайных направлений, которые по ЧИСЛУ шагов наименее эффективны в сравнении с детерминированными методами (по аналогии с упорядоченным и случайным перебо- [c.248]

Внимание сосредоточивается на изучении отдельных явлений, сборе отдельных экспериментальных фактов, частных зависимостей. Бэконовский индуктивный метод воспитал боязнь мышления, а ньютоновский принцип я гипотез не измышляю закрепил ее и сделал модой. Началось время ученых-муравьев, по классификации Бэкона, которые непрерывно собирали факты (занятие важное и нужное ), но или принципиально не хотели или не могли их правильно осмыслить, обобщить. [c.99]

Надо также упомянуть, что метод неопределенных множителей Лагранжа в сочетании с принципом Далам-бера может быть использован для вывода видоизмененных уравнений движения в ньютоновской форме. [c.80]

Расчет течения смазки в подшипнике или какой-либо другой паре трения можно производить не только в том случае, если смазочный материал является ньютоновской жидкостью [1], но и бингамовским вязко-пластичным телом [2]. Однако смазочные масла при низких температурах и консистентные смазки могут принадлежать к какому-нибудь другому классу пластичных или псевдопластичных реологических тел [3]. В таком случае при помощи обычных интегральных методов вискозиметрии весьма затруднительно или даже невозможно установить физико-механические параметры пластичных веществ, необходимые для практических расчетов [4]. [c.130]

Для не-ньютоновских и не-бингамовских смазок представлялось интересным в связи с исследованиями М. П. Воларовича разработать методику непосредственного наблюдения реологических характеристик, устанавливающих связь между градиентом скорости у и напряжением сдвига т. Теория такого рода метода описана ниже. [c.130]

Сходимость решения любой системы уравнений в первую очередь определяется соотношением коэффициентов диагонального и др. [24]. Специальный прием формирования фундаментальных хщклов, позволяющий разместить неизвестные с наибольшими коэффициентами на диагонали матрицы инццценций В В , улучшает сходимость вычислений по первому и третьему методам примерно в 2 раза. Для второго метода система фундаментальных циклов может быть сформирована на каждой итерации ньютоновского процесса, т.е. перед решением линейной системы (3.5). В отличие от (3.7) дерево минимальной длины строится для произведений [c.91]

ГРАВИМЕТРИЯ (от лат. gravis — тяжёлый и греч. metreo — измеряю) — в узко.м понимании наука о методах измерения силы тяжести. Чаще понимается шире, как наука о силе тяжести (СТ) в пределах близкой окрестности Земли или планет Солнечной системы в рамках ньютоновской механики. [c.521]

Задачи течения неньютоновских жидкостей. Этот класс задач рассматривает течение структурно-вязких жидкостей (жидкие полимеры, стекла, эмульсии и др.), вязкость которых зависит от режима течения даже при малых числах Рейнольдса. Для решения таких задач используются численные методы пограничного слоя или методы решения задач по течению в каналах с введением дополнительных соотношений для расчета реологических свойств (вязкости, пластичности, упругости и т.д.). Поскольку для решения таких задач используются уравнения, описывающие течение ньютоновских жидкостей, вся аномалия вводится формально в изменение свойств этих жидкостей. Как правило, это ведет к сильсюй зависимости свойств от искомых функций. Так, для высоковязких парафинистых нефтей их вязкость определяется как функция температуры среды и производной скорости. Такой характер зависимости свойств неиьютоновск 1х жидкостей вызывает повышение нелинейности системы уравнений, что в конечном счете ведет лишь к увеличению итераций при использовании метода прогонки. [c.188]

Кинематическая вязкость ньютоновских жидкостей обычно определяется по методу ASTM D445-53T [15]. В стандарте приводится описание нескольких вискозиметров вместе с подробными инструкциями по их использованию. Измерения можно [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...