Замечания об уравнениях Стокса

Замечания об уравнениях Стокса [c.165]

Существенное замечание следует сделать в отношении таких случаев, когда плотность среды допустимо считать постоянной. Тогда в уравнении Навье—Стокса давление оказывается входящим только под знаком производной по координате, и его абсолютная величина теряет значение его можно отсчитывать от любого [c.94]

Сделаем теперь несколько замечаний о влиянии вязкости на звуковые волны. Чтобы быть последовательным, необходимо при нять также одновременно во внимание и теплопроводность, влияние которой выражается величинами того же порядка ) однако сначала мы по примеру Стокса исследуем влияние одной только вязкости, В случае плоских волн в неограниченной в поперечном направлении среде будем иметь на основании уравнений (2), (3) 328, предполагая, что ось X имеет направление распространения волн, и пренебрегая членами второго порядка в выражении для скорости, [c.814]

Достаточно любопытно, что Стоксу не нужно было строить длинноволновое приближение, поскольку потенциал скорости, пропорциональный ехр (—1кх — ку) и не зависящий от г, в точности удовлетворяет уравнению Лапласа. Кроме того, он в точности удовлетворяет краевому условию на дне с постоянным уклоном, если ось у направлена вдоль дна и (как и прежде) перпендикулярна береговой линии. Наконец, он в точности удовлетворяет на свободной поверхности условию для ф, если (527) выполняется при Р, равном синусу (а не, как выше, тангенсу) угла наклона дна к горизонтали само собой разумеется, что различие пренебрежимо мало при умеренных уклонах. Ни одно из этих замечаний неприменимо, однако, к предельным волнам на дне с непостоянным уклоном. [c.516]

В теории Навье —Стокса уравнение (19) превращается в уравнение цАу = —а, где ц. —сдвиговая вязкость, а а —удельная движущая сила, причем обе эти величины — заданные по-стоянные. Это эллиптическое уравнение в частных производных имеет единственное решение, удовлетворяющее граничному условию (1)2. В работах по теории Навье —Стокса детально исследуются свойства решений для различных сечений зФ, но мы здесь не будем углубляться в этот предмет, сделаем лишь одно замечание относительно важного, хотя и очень простого частного случая. [c.231]

Это замечание относится к полным уравнениям Навье — Стокса. Структуры решений уравнений пограничного слоя для несжимаемой п сжимаемой жидкостей более близки. [c.474]

В конце книги помещено дополнение, написанное Л. Тартаром, о сходимости процесса усреднения для системы уравнений Стокса в перфорированной области. Почти все главы книги содержат в конце комментарии и библиографические замечания, где указаны литературные ссылки и даны замечш1ия обзорного характера. Эти ссылки далеко не полные. Нами добавлен список работ, где изучаются рассмотренные в книге вопросы. Но так как материал книги и особенно ее части II относится к новой интенсивно развивающейся области метаматических исследований, имеющей широкие приложения, то составить сколько-нибудь полную библиографию весьма затруднительно. Мы ограничились, [c.8]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Необходимо упомянуть, что для случая несжимаемой жидкости Ла- анж установил уравнения, которые довольно похожи на уравнения (4), Mis eli, Taur., Il (1760) [Oeuvres, I, 442]. Автор выражает благодарность за У язание и вышеизложенное замечание об исследованиях Гельмгольца профессору Лармору. Уравнения, эквивалентные уравнениям, данным Лагран-жем, были независимо установлены Стоксом (см. примечание выше) и положены в основание строгого доказательства теоремы о потенциале скоростей. [c.256]

По поводу уравнения (I) следует сделать замечание, которое в равной степени относится и к волне разрежения, исследованной в предыдущей разделе. Для схииаемого газа уравнение Навье-Стокса вместо вязкого члена содержит член более сложцого [c.66]

Замечания по поводу уравнения Навье-Стокса. В связи с вышесказанным следует упомянуть, ч о в качестве строгих решений . равнения Навье-Стокса могут рассматриваться также потенциальные течения, при которых не происходит изменения объема, так как для таких течений член, зависящий от вязкости, тождественно исчезает. В самом. теле, если Ф обозначает потенциальную функцию, то для потенциального шижения имеет место равенство [c.73]

Заключительное замечание. На этом мы закончим рассмотрение точных решений уравнений Навье — Стокса и перейдем к приближенным решениям. Под точными решениями мы понимали такие решения, которые получались из уравнений Навье — Стокса при сохранении всех членов, тож дественно не равных нулю для изучавшихся течений. В противополож-ность этому под приближенными решениями мы будем понимать такие решения, которые получаются из уравнений Навье — Стокса путем отбрасывания в них членов, по своей величине малых в условиях рассматриваемой задачи. Как уже было отмечено в главе IV, при приближенных решениях особую роль играют два предельных случая в первом из них силы трения значительно больше, чем силы инерции (ползущее движение), во втором же они значительно меньше, чем силы инерции (течение в пограничном слое). В то время как в первом случае допустимо полностью отбросить инерционные члены, во втором случае, т. е. в теории пограничного слоя, отнюдь нельзя одновременно отбросить все члены, зависящие от вязкости, так как это привело бы к невозможности выполнения физически существенного граничного условия — условия прилипания жидкости к стенкам. [c.108]

Замечание. Мы не можем утверждать, что гуупны, которые были получены, являются наиболее широкими (это неверно). Это происходит пото , что многообразие, которое, задается си- темой уравнений Навье,— Стокса, отлично от исходного (2.7). [c.135]

В приведенном выше обзоре работ, в которых асимптотический подход в пределе больших чисел Рейнольдса позволяет перейти от уравнений Навье-Стокса к сравнительно более простым уравнениям свободно взаимодействующего пограничного слоя, значительное место занимают различные аспекты теории гидродинамической устойчивости. То обстоятельство, что рассмотрение нижней ветви нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя Блазиуса приводит к трехпалубной структуре возмущенного поля скоростей, является, по сделанному в [51] замечанию, достаточно неожиданным. Для верхней ветви нейтральной кривой структура возмущений претерпевает дальнейшие усложнения и включает пять подобластей [173-177]. Более того, именно асимптотическая трактовка задачи устойчивости, как подчеркивается в [175], имеет рациональный базис, поскольку только в пределе больших чисел Рейнольдса основное течение приобретает форму пограничного слоя. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...