Интеграл Якоби в общем случае

Интеграл Якоби в общем случае [c.405]

Согласно же проведенному выше обсуждению кривых относительных скоростей, основанному на использовании интеграла Якоби, критическая точка, означающая возникновение горловины , сквозь которую возможен полет к Луне, лежит от Земли на расстоянии, составляющем 84,9% лунной единицы ). Противоречие этих двух результатов объясняется тем, что в упрощенной схеме, основанной на использовании уравнения (5.8), не учтен один весьма важный эффект — эффект вращения Земли и Луны вокруг их общего центра масс. В рассматриваемой системе тел различие сравнительно невелико, и его можно отнести в ряде случаев ко второстепенным деталям однако при переходе к системам других небесных тел получаемое расхождение результатов может быть очень значительным. В масштабах планетной системы простое приравнивание сил притяжения друг к другу может привести к серьезным ошибкам. Например, приравнивая силы притяжения Земли и Солнца, мы получили бы, что для ухода от Земли достаточно удалиться от нее чуть дальше, чем на 165 ООО миль. Луна же находится от Земли на расстоянии 240 ООО миль это свидетельствует о явной ошибочности такой теории, С помощью интеграла Якоби в этом случае можно показать, что для возможности ухода из окрестности Земли необходимо удалиться от нее на расстояние около 1000 000 миль. [c.132]

Условие 1° не будет достаточным для минимума интеграла, если пределы и не сколь угодно близки друг к другу. В общем случае нужно удовлетворить условию Якоби о кинетических фокусах ). [c.229]

Для того чтобы можно было надеяться получить из двух первых интегралов много или даже все первые интегралы, недостающие для построения общего интеграла, надо, чтобы хотя бы один из двух известных исходных первых интегралов был характерен для рассматриваемой частной задачи, чтобы он как можно полнее отражал физическую сущность именно данной задачи. Если за исходные первые интегралы брать интегралы, вытекающие из основных, общих для всех систем теорем динамики, то вряд ли в общем случае можно надеяться на эффективное применение теоремы Якоби-Пуассона. [c.337]

Замечание 2. В общем случае переменные в уравнении Г амильтона-Якоби не разделяются. Предположим, что гамильтониан удается представить в виде Н(х, р, 1) = Яо(ж, р, ) + АН х, р, 1), где Но —гамильтониан интегрируемой системы канонических уравнений. Тогда можно найти полный интеграл уравнения [c.283]

Примечание. В общем случае, когда для круговой задачи интеграл Якоби имеет вид (5.30), функция Ф, как показывает формула (5.31), может содержать явно время t. Это обстоятельство может показаться необычным, однако можно привести множество примеров, хотя бы и формально математических, когда мы действительно встретимся с такого рода случаем. В самом деле, пусть, например, [c.227]

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Таким образом, в общем случае имеем для определения функции V или функции 5 дифференциальное уравнение в частных производных. Это уравнение допускает много решений, но Гамильтон [c.359]

Рассмотрим сразу общий случай, когда несколько координат ..., q являются циклическими. В этом случае H=H t, qy,. .., q , pi,. .., p ), и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде [c.161]

В этом более общем случае интеграл Якоби (36) имеет вид [c.231]

Теореме Пуассона в классических Лекциях по динамике ) Якоби посвящена тридцать четвертая лекция. По словам Якоби, зто одна из замечательнейших теорем всего интегрального исчисления, а в частном случае, когда положено Н— Т- -1, это есть основная теорема аналитической механики . Чтобы, комбинируя некоторый интеграл с ранее известным, получать новый интеграл, надо, указывает Якоби, чтобы он был интегралом, специально принадлежащим рассматриваемой частной задаче. Но первые интегралы, которые отыскивались для какой-нибудь предложенной задачи, были, как правило, те, которые следовали из общих принципов (например, из принципа сохранения площадей) поэтому они не принадлежали специально именно к рассматриваемой задаче и нельзя требовать, чтобы из них должны были выводиться все первые интегралы . [c.518]

Задачи построения полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби и общего интеграла канонической системы, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, математически эквивалентны. Степень трудности их, вообще говоря, одинакова. Однако может быть отмечен ряд частных случаев, когда уравнение Гамильтона — Якоби может оказаться более податливым, чем каноническая система. Об этом говорится в п. 10.14. Более важно то обстоятельство, что решение (10), получаемое с помощью теоремы Якоби, является каноническим преобразованием, а это, как мы увидим в главе 11, значительно упрощает форму уравнений возмущенного движения. [c.537]

Система уравнений возмущенного движения упрощается в том случае, когда решение (1.3) вспомогательной системы уравнений (1.2) представляет каноническое преобразование величин а ,, Рд, в д,, р . Это будет иметь место, как говорилось в гл. 10, в двух случаях во-первых, когда решение (1.3) представляет интеграл Коши для системы дифференциальных уравнений (1.2), то есть а , —начальные значения переменных д , р во-вторых, когда решение (1.3) представляет общий интеграл канонической системы (1.2), полученный из полного интеграла уравнения в частных производных Якоби — Г амильтона. [c.563]

Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Следует, однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др. [c.365]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

Определенный интеграл, входящий в уравнение (6.31), не выражается в общем случае через элементарные функции и может быть найден лишь численно. Такое интегрирование было проведено Скривеном, и искомая зависимость (6.32) была представлена в [67] в табличной форме (табл. 6.3). Фактически эта таблица отражает зависимость модуля роста т только от числа Якоба, так как параметр Y в [67] принимался равным единице. При давлениях, далеких от критического, это допущение вполне оправдано (обычно уже при р < 0,5р р р"/р < 0,1). В [21] показано, что при условии с доо < 0,1 (или, что то же, Ja < 0,1р /р") расхождение значений т при Ja = idem для различных у не превышает 2—3 %. [c.254]

Итак, зная два интеграла, и ф, уравнений (41.12), мы можем дифференцированием получить третий, а именно, интеграл (41.15). Комбинируя этот последний с первыми двумя, выведем четвёртый, пятый и т. д. Может показаться, что для полного интегрирования системы канонических уравнений (41.12) достаточно, таким образом, найти только два ин.тегра-ла,—все остальные можно получить дифференцированием. Но дело в том, что указанный приём не всегда приводит к цели интеграл, происшедший от комбинаций двух данных, может оказаться не новым, а функцией уже известных интегралов или даже просто постоянною. Как справедливо заметил Якоби, только в том случае мы можем надеяться вывести из данного интеграла, комбинируя его с другими, всю цепь интегралов данной системы, если этот интеграл принадлежит специально взятой системе ин-теграчы же, общие нескольким системам уравнений, очевидно, в конце концов должны приводить к выше упомянутым иллюзорным резуль татам ). [c.443]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...