Уравнения для корреляционных функций поля скорости

Уравнения для корреляционных функций поля скорости [c.106]

Уравнение (9.4.39) является первым в цепочке уравнений Рейнольдса для корреляционных функций поля скоростей. Если положить (u Up) = 0, то (9.4.39) переходит в уравнение Навье-Стокса, описывающее ламинарное движение. Следовательно, турбулентность характеризуется большими значениями корреляций [c.262]

Перейдем теперь к выводу основных динамических уравнений для корреляционных функций изотропной турбулентности. За исключением 20 настоящей главы, мы всюду будем предполагать, что речь идет о турбулентности в несжимаемой жидкости, движение которой описывается уравнениями Навье — Стокса (1.6) (без внешних сил Xi) и уравнением неразрывности (1.5). Ограничимся пока случаем пространственных корреляционных функций, относящихся к определенному моменту времени t, и начнем с рассмотрения функций, содержащих лишь значения поля скорости (дс, )= и,(дс, t), и х, t), из(дс,.. ) . [c.106]

Уравнение (9.4.11) для ноля скоростей совместно с уравнением (9.4.8) для давления и выражением (9.4.15) для корреляций случайных сил лежат в основе статистической теории турбулентного движения в несжимаемой жидкости. Хотя уравнение (9.4.11) на первый взгляд кажется не сложнее, чем гидродинамическое уравнение Навье-Стокса, тот факт, что теперь v(r, ) — случайная переменная сильно усложняет задачу. Дело в том, что для поля скоростей v, усредненного по некоторому промежутку времени или по реализациям, не удается получить замкнутого уравнения. Действительно, после усреднения (9.4.11) (скажем, по реализациям) в уравнение для v войдут корреляционные функции пульсаций Jv = v —v типа ( 6v 6vp). В уравнения для этих функций войдут корреляционные функции более высоких порядков и т. д. Мы получим так называемую цепочку уравнений Рейнольдса проблему замыкания которой до сих пор не удается решить. Дело также осложняется тем, что в задаче фактически нет малого параметра, поэтому не удается воспользоваться теорией возмущений. Как известно, в таких случаях необходим метод, позволяющий сравнительно просто получать общие соотношения и строить самосогласованные приближения, не опирающиеся на теорию возмущений. С этой точки зрения формулировка теории турбулентности на основе стохастического уравнения (9.4.11), при всей ее внешней простоте, мало что дает. Гораздо удобнее перейти к описанию турбулентного движения с помощью функционала распределения для поля скоростей и вывести для него уравнение Фоккера-Планка, которое в компактной форме содержит информацию о всей цепочке уравнений Рейнольдса. [c.258]

Возвращаясь теперь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (с помощью уравнений движения реальной жидкости) дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве P(d o) или Pt d(u), т. е. решению, проблемы турбулентности. Поэтому полная бесконечная система уравнений Фридмана — Келлера [c.17]

Начнем с рассмотрения спектрального уравнения (14.14) для поля скорости. Предположим, что спектральные функции F к) и F k) дифференцируемы в точке k Q бесконечное число раз, т. е. что корреляционные функции B r) и B r) при г->-оо убывают экспоненциально (быстрее любой конечной степени / ) вопрос о законности такого предположения мы обсудим несколько позже. Подставляя в (14.14) разложения F k) и F k) в ряды Тэйлора и приравнивая коэффициенты при равных степенях с обеих сторон, получим бесконечную систему уравнений [c.132]

Начнем с простейшего уравнения для структурных функций поля скорости. Воспользуемся тем, что в случае изотропной турбулентности соответствующие продольные корреляционные функции второго и третьего порядков (г, 1) и (л, I) должны удовлетворять уравнению Кармана—Ховарта (14.9). Но изотропное случайное поле и(х, t) всегда одновременно является и локально изотропным, причем его структурные функции в этом случае определяются формулами D . . (г, 0 = 2 [ (0, 0-5 (л. 01 и t)=QBLL.Lir. О (см. п. 13.3). Предположим, что число Рейнольдса рассматриваемой изотропной турбулентности настолько велико, что ее мелкомасштабные [c.363]

Аналогичным образом уравнение Корсина (14.59) для корреляционной функции В у г) (или соответствующее спектральное уравнение (14.62)) можно дополнить уравнением для трехточечного смешанного момента = + + = полей скорости и темпе- [c.242]

Трудности построения общей теории турбулентности повлекли изучение в первую очередь простейшего и, вообще говоря, очень узкого класса турбулентных движений — изотропной турбулентности. Начало исследованиям в этой области было положено Дж. Тейлором который сразу же и с успехом подверг некоторые выводы теории изотропной турбулентности экспериментальной проверке в потоке за решеткой а.эродинамической трубы. Т. Карман 299 дал затем соотношение между корреляционными функциями (вторыми моментами) изотропного поля скоростей (также подтвержденное экспериментально Тейлором) и, совместно с Л. Хоуартом, вывел основное динамическое уравнение, связывающее вторые и третьи моменты . Уравнение Кармана — Хоуарта послужило основой последующих исследований изотропной турбулентности и было также подтверждено (в 50-х годах) экспериментально. Однако это уравнение содержит две неизвестные функции и, как и все прочие уравнения турбулентного движения, требует для своего замыкания дополнительных гипотез. Такие гипотезы вводились, например, с помощью приближенных формул для спектрального переноса энергии (В. Гейзенберг, [c.299]

Итак, задача сводится к вычислению корреляционной функции флуктуаций энтропии Как и в предыдущем разделе, будем исходить из системы уравнений (9.2.24), разбив тензор вязких напряжений и поток тепла на регулярные и случайные части. В данном случае удобнее записать эти уравнения для энтропии s r t) и поля скоростей v(r, ). Поскольку стохастические уравнения (9.2.24) можно интерпретировать как уравнения Стратоновича, для перехода к новым переменным достаточно воспользоваться локальными уравнениями состояния. Полагая v =j/д и s = s( ,e ), где е = е — j /2д — плотность энергии в движущейся системе координат, в результате простых преобразований получаем / [c.252]

Частотное распределение кинетической энергии. Наряду с корреляциями или осредненными произведениями, употреблявшимися до сих пор для описания поля турбулентного потока, можно анализировать пульсации скорости экспериментально по их спектрам, подобно тому как луч света делят на спектральные компоненты. Эта аналитическая техника, основанная на эйлеровом представлении скорости в фиксированной точке как функции времени, была впервые предложена Тэйлором вместо корреляционной функции f(r), определенной уравнением (184). Применение спектральной функции не ограничивается изотропной турбулентностью, фактически для нее не обязательно равенство нулю осредненной скорости, что должно быть непременным условием для истинной изотропности. Относительно простой одномерный спектр Тэйлора позднее был сведен Гейзенбергом [c.265]

Перейдем к выводу дифференциальных уравнений переноса, описывающих эволюцию одноточечных вторых моментов < А "В > турбулентных пульсаций термогидродинамических параметров химически активной многокомпонентной среды с переменной плотностью и переменными теплофизическими свойствами. Такие уравнения для однородной жидкости в приближении Буссинеска Буссинеск, 1877) лежат в основе метода инвариантного моделирования во многих современных теориях турбулентности различной степени сложности (см. (Турбулентность Принципы и применения, 1980)). Несмотря на полуэмпирический характер уравнений для моментов, в которых при описании корреляционных функций высокого порядка используются приближенные выражения, содержащие эмпирические коэффициенты, следует признать достаточную гибкость основанных на них моделей. Они позволяют учесть воздействие механизмов конвекции, диффузии, а также возникновения, перераспределения и диссипации энергии турбулентного поля, на пространственно-временное распределение усредненных термогидродинамических параметров среды. Поэтому, подобные уравнения нашли широкое применение при численном моделировании таких течений жидкости, для которых существенно влияние предыстории потока на характеристики турбулентности в точке (Турбулентность Принципы и применения, 1980 Иевлев, 1975, 1990). С другой стороны, ими можно воспользоваться для нахождения коэффициентов турбулентного обмена в свободных потоках с поперечным сдвигом (градиентом скорости), в том числе применительно к специфике моделирования природных сред (Маров, Колесниченко, 1987). [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...