Неустойчивость точек либрации при малых

В главе 1 получены пять точек либрации г (1 = 1, 2,.. 5) ограниченной задачи трех тел и в случае круговой задачи исследована их устойчивость в первом линейном приближении. Показано, что прямолинейные точки либрации 1, 2 и Ьз неустойчивы в линейном приближении, так как соответствующие им характеристические уравнения имеют корни с положительными вещественными частями. Отсюда следует неустойчивость точек либрации 1, и и в строгой нелинейной постановке. Треугольные точки либрации линейном приближении устойчивы только при достаточно малом отношении масс основных притягивающих тел 5 и / более точно, при выполнении неравенств (3.1) главы 1. [c.122]

Теперь рассмотрим задачу об устойчивости в нелинейной постановке. Эксцентриситет считаем малым, удовлетворяюш им вместе с (X условиям устойчивости в первом приближении. Для решения задачи нужно функцию Гамильтона привести к нормальной форме, а затем, применив результаты главы 5, сделать выводы об устойчивости или неустойчивости точек либрации. [c.150]

Были проведены также численные расчеты с очень частой сеткой в плоскости е ш ц для произвольных значений параметров. Неустойчивость точек либрации пространственной эллиптической задачи обнаружена не была. Но при расчетах, из-за резкого возрастания времени интегрирования, нельзя подойти произвольно близко к оси = О и к резонансным кривым второго (граница области устойчивости линейной задачи) и третьего порядков. По-видимому, области неустойчивости, если и существуют, то их границы проходят очень близко к этим резонансным кривым. Отметим еще раз, что существование очень узкой области неустойчивости при малых н и е в этой главе мы показали аналитическими методами. [c.185]

Наоборот, точки L , L3 являются неустойчивыми решениями. Это значит, что при любом сколь угодно малом смеш ении спутника от такой точки либрации спутник может удалиться на значительное расстояние от этой точки. [c.250]

Следовательно, в ньютоновском случае уравнение (5.66") имеет пару сопряженных чисто мнимых корней и два вещественных, из которых один отрицателен, а другой — положителен. Это показывает, что в ньютоновском случае каждая из прямолинейных точек либрации неустойчива, т. е. каждое из трех эйлеровых решений также неустойчиво. В случае закона Вебера скорость распространения действия должна быть достаточно велика (порядка скорости света), а поэтому каждая из величин численно весьма мала. [c.254]

Поэтому для каждой прямолинейной точки либрации уравнение (5.66") будет иметь один корень, весьма мало отличающийся от положительного корня в ньютоновском случае. Следовательно, и в случае закона Вебера каждая из трех прямолинейных точек либрации тоже неустойчива. [c.254]

Однако можно заметить, что при е = О характеристические показатели должны совпадать с корнями характеристических уравнений, соответствующими случаю е — Q. Поэтому в тех случаях, когда характеристическое уравнение имеет корни с положительными вещественными частями (т. е. когда в круговой задаче точки либрации неустойчивы), при ефО, но достаточно малом, характеристические показатели также будут иметь корни с положительными вещественными частями, вследствие чего точки либрации будут неустойчивыми также и в эллиптической задаче. [c.261]

Треугольные точки либрации в круговой задаче оказываются неустойчивыми при ц > ,1. Поэтому и в эллиптической задаче лагранжевы точки при л > (х, по крайней мере при достаточно малых значениях е, также будут неустойчивы. [c.262]

Отметим существенное отличие в поведении условно-периодических решений в окрестности 4 и .5. В плоском случае любая точка из достаточно малой окрестности L и 5 при всех значениях ц, удовлетворяющих условию 27ц(1 —ц)< 1, кроме двух ([X = Ц1, [Х = Х2), порождает условно-периодическое решение. Другими словами, точки 4 и в устойчивы в смысле Ляпунова. В пространственной задаче большинство точек (но не все) из достаточно малой окрестности точек либрации порождают условно-периодические решения. Неясно, имеют ли условно-периодический характер решения, порождаемые точками, принадлежащими множеству малой (в смысле Лебега) меры, поэтому говорить об устойчивости по Ляпунову (или о неустойчивости) треугольных точек либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел преждевременно. [c.845]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Остается только добавить, что треугольные точки либрации Le и Ьъ являются устойчивыми, а прямолинейные Ьг, Ь и Ь — неустойчивыми. Это значит, что если в начальный момент спутник будет расположен не в точке 4, а в малой ее окрестности и будет иметь достаточно малую скорость, то он и дальше останется в этой окрестности. В окрестности же любой из точек Ьг, bz, Ь, (сколь угодно близко от них) любая сколь угодно малая сообщенная скорость заставит спутник уйти из этой окрестности [2.5, 2.61. [c.105]

Неустойчивость прямолинейных точек либрации. Рассмотрим уравнения движения тела бесконечно малой массы в форме (6.3.10) [c.236]

В этом параграфе рассмотрим устойчивость точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел. Полное исследование устойчивости будет проведено в главах 7 и 8, а здесь мы остановимся только на доказательстве давно известного утверждения [22] в круговой ограниченной задаче трех тел прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные — устойчивы в первом приближении, если отношение масс тел 8 ж достаточно мало более точно, если выполнено следующее неравенство [c.24]

В случае пространственной задачи, т. е. когда материальная точка в возмущенном движении может выходить из плоскости экваториального сечения эллипсоида, неустойчивость на кривой (Ol = 2(02 и на части резонансной кривой (о = 3(02, конечно, остается. Если же параметры еа, e таковы, что резонансные соотношения (Oi = 2(02 и (о = 3(02 не выполнены, то, как показано в работе [25], точки либрации, лежащие на продолжении малой полуоси экваториального сечения эллипсоида, будут устойчивы для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. [c.303]

Посмотрим теперь, что будет происходить с бесконечно малой частицей, если ее поместить вблизи одной из точек либрации. Такая ситуация может возникнуть, если частица, находившаяся в точке либрации, испытает на себе возмущающее воздействие какого-то постороннего тела. Будем, кро.ме того, предполагать, что не только смещение частицы от точки либрации, но и ее скорость малы. Если в дальнейшем частица будет быстро удаляться от точки либрации, то такое положение равновесия можно назвать неустойчивым-, если же частица будет колебаться около точки либрации, то положение равновесия устойчиво. В небесной механике часто применялся именно такой метод исследования устойчивости решения. [c.155]

Искусственная планета, движущаяся на всем протяжении своей орбиты вблизи естественной планеты, должна испытывать значительные возмущения со стороны последней. Эти возмущения в частных случаях приводят к движениям по круговым орбитам с периодом обращения, равным периоду обращения возмущающей планеты. Речь идет об искусственных планетах, находящихся в точках либрации системы Солнце — планета. Формально каждой естественной планете должны соответствовать две треугольные и три коллинеарные точки либрации. Фактически, однако, искусственные планеты не могут удержаться в треугольных точках либрации, соответствующих по крайней мере планетам с малой массой, из-за возмущений со стороны посторонних планет. Например, расстояния треугольных точек либрации системы Солнце — Земля от Юпитера в 4—6 раз больше, чем расстояния от Земли, но масса Юпитера в триста раз больше земной, и потому искусственные планеты в этих точках должны испытывать примерно в 10 раз большее влияние со стороны Юпитера, чем со стороны Земли. По этой причине выведение искусственных планет в формальные треугольные точки либрации на орбитах по крайней мере Меркурия, Венеры, Земли и Марса лишено всякого смысла. Эти точки ничем не лучше других точек на орбитах указанных планет. Проекты запусков в эти точки, время от времени публикующиеся ), представляют собой чисто бумажное творчество. Лучше обстоит дело с колли неарными точками либрации Ьх и 2, которые хотя и неустойчивы и испытывают возмущения со стороны посторонних планет, но находятся в основном под влиянием возмущений со стороны планеты-хозяйки, сравнительно близко расположенной. Приводим сведения о расстояниях коллинеарных точек либрации и 2 до соответствующих планет [4.17] Меркурий — 2,2Ы0 и 2,21-10 км Венера—1,01-10 и 1,01-10 км Земля — 1,49-10 и 1,50-10 км Марс — 1,08-10 и 1,09-10 км Юпитер — 5,19-10 и 5,43-10 км Сатурн — 6,44х X 10 и 6,64-10 км. Все эти точки расположены снаружи от сфер [c.336]

НО ДОЛГО Исследование устойчивости точек либрации в рамках круговой ограниченной задачи трех тел показало, что прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные точки либрации устойчивы в первом приближении, если относительная масса меньше притягивающ его тела т = тп21 тп + тп2) достаточно мала (см., например, [19, 45]). Ниже приведены доказательства обоих утверждений. [c.236]

В 1875 ГОДУ Раусе [169] решил (в линейном приближении) задачу об устойчивости треугольных точек либрации для неограниченной задачи трех тел (когда масса тела Р не бесконечна мала, а равна некоторой конечной величине, так что тело Р уже само влияет на движение двух других тел 5 и /) и для произвольного закона притяжения. Рассмотрев плоскую задачу и предположив, что притяжение тел пропорционально произведению их масс и обратно пропорционально п-й степени расстояния между телами, Payee показал, что при л > 3 точки либрации неустойчивы. Если же п < 3, то имеет место устойчивость при выполнении неравенства (шр -j- т -)- 2 / 1 -)- га д. [c.124]

При ц = О вопрос решается просто, так как задача трех тел при этом переходит в задачу двух тел, а задача об устойчивости точек либрации сводится к исследованию устойчивости движения материальной точки вокруг неподвижного притягивающего центра, а такое движение, как известно, неустойчиво, так как сколь угодно малое возмущение начальных условий приводит к изменению периода кенлеровского движения здесь имеет место лишь орбитальная устойчивость (по этому вопросу см. также работу А. Г. Сокольского [85]). [c.130]

В статье [1] В. К. Абалакин исследовал устойчивость упомянутых точек либрации в линейном приближении и установил, что две точки либрации, расположенные на продолжении большой полуоси экваториального сечения эллипсоида, неустойчивы по Ляпунову (выполнены достаточные условия неустойчивости), а две другие точки, расположенные на продолжении малой полуоси, устойчивы в первом приближении (выполнены необходимые условия устойчивости). [c.298]

Для несоизмеримых орбит возмущения средних движений астероидов пропорциональны отношению массы Юпитера к массе Солнца. В случае соизмеримой орбиты критические члены вызывают большие долгопериодические либрации среднего движения и других элементов орбиты. Эти либрации приводят к тому, что средние движения астероидов с соизмеримостью, выраженной отношением малых целых чисел, будут наблюдаться очень редко. С аналогичной ситуацией мы столкнемся, если в темноте в случайные моменты вре.мени будем фотографировать со вспышкой качающийся маятник. На подавляющем большинстве снимков маятник будет отклонен от своего вертикального положения. Таким образом, если взять распределение средних движений на поперечном разрезе около орбиты, соответствующей указанной соизмеримости, то мы обнаружим мало астероидов с оскулирующими в непосредственной близости от соизмеримости средними движениями, даже при условии, что соизмеримость является устойчивой. Приводя различные доводы, Брауэр [З] и ]Месседж [221 опирались на факты, доказывающие точку зрения, согласно которой провалы в поясе астероидов вовсе не являются областями неустойчивости. В одной из работ Шубарта 1301 указывалось, что соизмеримость 3/2 (группа Гильды) представляет собой область, в которой могут иметь место устойчивые колебания около периодических орбит. Группа Гильды насчитывает около 40 членов. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...