Анализ уравнения в автомодельных переменных

АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ в АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 181 [c.181]

Анализ уравнения в автомодельных переменных [c.181]

АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ В АВТОМОДЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ [c.183]

Качественный анализ системы уравнений в автомодельных переменных при а > 0. Формулы (2.110), (2.113) характеризуют свойства искомых функций при а > О вблизи конечного фронта температурной волны х = хо °о. То же самое относится и к разложениям в окрестности х = оо в случае а<0, /( >) = 0 и в случае произвольного а при /(°о) = /1 0. Более детальный качественный анализ системы уравнений (2.68), (2.69) позволяет определить характер ее решения при различных граничных условиях во всей области изменения безразмерной независимой переменной х, т. е. при О X Хо 0°. Проведем такое исследование для случая а > 0. Введем замену переменных вида [c.69]

Один из полученных при этом результатов состоит в том, что давление за отраженной ударной волной в 26 раз превышает давление в приходящей к центру ударной волне, достигающей в центре бесконечной интенсивности. В основе исследования лежит возможность описания течения вблизи центра посредством автомодельного распределения, в котором, однако, показатель п в автомодельной переменной i/r не может быть заранее определен на основании соображений размерности. Требуется предварительный анализ интегральных кривых обыкновенного дифференциального уравнения, к которому сводится рассматриваемая проблема. Значение показателя п определяется условием, при котором интегральная кривая этого уравнения, содержащего п в качестве параметра, соединяет две фиксированные точки и при этом проходит. определенным образом через заданную особую точку. [c.291]

При гиперзвуковых скоростях обтекания можно свести двумерную задачу обтекания тонкого тела к автомодельной одномерной задаче о сильном взрыве. Из анализа уравнений и теории подобия следует, что обтекание тела происходит так, как будто в каждом слое независимо от других имеет место вытеснение газа непроницаемым подвижным поршнем в направлении,, перпендикулярном движению тела, т. е. решение стационарной задачи аналогично решению некоторой нестационарной задачи с соответствующими заменами переменных. Эту теорию называют нестационарной аналогией, а соответствующий метод расчета — законом плоских сечений. [c.63]

Метод подобия и соображения теории размерностей могут служить не только для предсказания структуры безразмерных постоянных величин — чисел и критериев подобия, при помощи которых строятся закономерности, устанавливаемые после полного решения задачи, но и для упрощения самого решения. Так, например, из анализа размерностей можно, не решая уравнений, заметить, будет ли ъ р чи автомодельной или нет, а это позволяет заранее уменьшить число независимых переменных в уравнениях в частных производных, сводя их в случае двух переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Такие примеры приводились в предыдущих главах. В других случаях те же простые соображения позволяют до интегрирования уравнения сделать полезные выводы по поводу общего вида ожидаемого решения и структуры тех независимых и зависимых переменных, в которых решение будет выражаться. [c.375]

Во многих случаях дифференциальные уравнения в частных производных ламинарного пограничного слоя могут быть заменены системой обыкновенных дифференциальных уравнений посредством введения новых переменных, называемых автомодельными переменными. Шлихтинг [27] приводит исчерпывающий анализ преобразований подобия уравнений пограничного слоя для сЛучая течения неизлучающего газа. В работе [39] описано приложение теории однопараметрических групп (развитой в [40]) для уменьшения числа независимых переменных в системе дифференциальных уравнений в частных производных. В этом разделе будет описано преобразование уравнений стационарного двумерного пограничного слоя при ламинарном обтекании клина сжимаемой излучающей жидкостью. Из этих общих преобразованных уравнений для клина легко получить соответствующие уравнения для течения на плоской пластине и в окрестности передней критической точки. [c.536]

Очень широкое распространение в механике и физике получили так называемые автомодельные решения, характеризующиеся существованием некоторых комбинаций независимых переменных (автомодельных переменных), которые соответствуют опре деленным свойствам подобия или инвариантности рассматриваемых классов физи ческих решений. Методы анализа размерностей физических величин, определяющих задачу, позволили [8] осуществить понижение размерности для весьма широкого круга физических и механических задач. Особенно эффективным в конструктивном плане оказалось в ряде ситуаций сведение сложной исходной задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой в качестве независимой переменной высту пает автомодельная переменная. Это позволило получать классы точных решений в замкнутой форме, например, знаменитое решение газодинамической задачи о точечном взрыве [8], и осуществить качественный и детальный количественный анализ важных задач в неинтегрируемых случаях. [c.17]

Однако значение П-теоремы не исчерпывается информацией для рациональной постановки эксперимента. При пользовании ею в теоретическом анализе уравнений иногда можно получить решения, в которых уменьшение числа аргументов достигается за счет объединения их в некоторые комбинации, использующиеся в качестве новых аргументов. При этом, конечно, должны быть удовлетворены все граничные условия. Примером таких решений являются так называемые автомодельные решения, когда вместо нескольких основных переменных [c.475]

При п, фО искомые величины будут зависеть только от одной безразмерной переменной х в случае т = 0. Последнее выполняется, если, например, положить ро=оо. Анализ показывает, что автомодельное решение, которое устанавливается в зоне, охваченной температурной волной в режиме ТВ-П (область А на рис. 4.8), удовлетворяет системе уравнений (4.153) —(4.156) при т = 0. Соответствующая автомодельная переменная представляется в виде (4.147), а искомые функции — в виде (4.149) —(4.152). Физический смысл автомодельного режима, рассматриваемого в приближении бесконечной начальной плотности, состоит в следующем. [c.173]

Книга состоит из шести глав. Изложение материала осуществляется последовательно с постепенным усложнением условий, при которых изучается движение газа и перенос тепла. Глава I носит вводный характер. В ней кратко характеризуется исходная система уравнений, автомодельные решения которой рассматриваются в последующих главах. Для записи дифференциальных уравнений используются переменные Лагранжа. В главе I приводятся также краткие сведения из теории размерностей, с помощью которой излагается общая методика получения соответствующих условий автомодельности. В главе II проводится детальный анализ автомодельных решений, описывающих перенос тепла механизмом нелинейной [c.7]

Заметим, что для системы уравнений (4.27)—(4.30) формулируется краевая задача с дополнительными условиями, заданными на обоих концах оси независимого переменного s. При этом число этих условий больше числа уравнений. Аналогичная ситуация имела место при анализе тепловых задач (см. гл. П), а также автомодельных задач газовой динамики, рассмотренных в гл. П1 для предельных случаев W = 0 и дТ1дт = 0. Формальная переопределенность задач устраняется наличием дополнительных неизвестных параметров (постоянных) — своего рода собственных значений рассматриваемой задачи. Например, для тепловых задач при а > О таким параметром являлась постоянная s = Sq, определяющая в автомодельных переменных положение фронта температурной волны конечной скорости. Ниже мы увидим, что в задачах газодинамики с учетом нелинейной теплопроводности, в которых число краевых условий на два больше числа уравнений, при а > О существует два собственных значения координата, характеризующая положение фронта температурной волны (s = Sq), и координата, характеризующая положение фронта разрыва гидродинамических величин [c.143]

Наиболее развитый в настоящее время систематический подход к классификации и получению широких классов точных решений связан с применением групповых методов анализа дифференциальных уравнений [9]. Знание допустимых групп преобразова ний независимых переменных и искомых функций, оставляющих инвариантными ин тегральные многообразия исходной системы (переводящих интегральную поверхность в интегральную же поверхность), позволяет построить широкие классы точных инва зиантных решений (частным случаем их являются автомодельные решения), построить некоторые классы частично инвариантных решений (такими являются, например, бегущие волны), дать классификацию различных типов решений. [c.17]

Термин автомодельность уже встречался в 13 для описания частных случаев кратных волн, обладающих конической автомодельностью. В более щирокой трактовке, применительно к физическому содержанию решаемых задач, автомодельными принято называть решения, которые получаются путем анализа размерностей всех участвующих величин. С точки зрения теоретико-группового подхода это равносильно использованию допускаемых уравнениями групп растяжений. Однако свойство некоторой группы преобразований быть группой растяжений зависит от выбора системы координат в пространстве основных переменных. На самом деле единственным инвариантным характеристическим свойством групп растяжений является то, что они абелевы (коммутативны). Поэтому рационально использовать термин автомодельный применительно к любым решениям, инвариантным относительно абелевых подгрупп основной группы. При этом представление рещения в той системе координат, в которой группа является группой растяжений, удобно называть автомодельным в узком смысле. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...