Задача об устойчивости установившегося движения

Изложим иной подход к задаче об устойчивости стационарных движений и, в частности, равновесий твердых тел с полостями, частично или целиком заполненными идеальными или вязкими жидкостями, опирающийся на определение устойчивости и идеи, развитые Ляпуновым в теории устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости [8]. Установившимся движениям соответствуют стационарные значения потенциальной энергии П или iff. Задача об устойчивости установившихся движений сводится к исследованию характера экстремума потенциальной энергии [c.300]

Задача об устойчивости установившегося движения [c.90]

ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 91 [c.91]

ЗАДАЧА ОБ устойчивости УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ 95 [c.95]

Теперь мы можем доказать основные теоремы Ляпунова, устанавливающие случаи, в которых задача об устойчивости установившегося движения приводится к исследованию корней некоторого алгебраического уравнения с действительными коэффициентами. [c.97]

Примечание 1. Рассмотренные два основных случая таковы, что в каждом из них задача об устойчивости невозмущенного движения и задача об устойчивости нулевого решения системы (2.30 ) решаются одновременно в одном и том же смысле. Такие случаи называют, следуя Ляпунову, обыкновенными, и в этих случаях решение задачи об устойчивости сводится просто к исследованию корней определяющего уравнения. Все остальные случаи задачи об устойчивости установившегося движения называются особенными. [c.100]

Для обширного класса задач теории упругой устойчивости уравнения возмущенного движения содержат коэффициенты, периодически зависящие от времени. Таковы задачи об устойчивости установившихся вынужденных колебаний упругих систем прямолинейного упругого стержня, сжатого периодической продольной силой, упругой пластины или оболочки, совершающей периодические колебания в условиях безмоментной деформации, и т. д. К этому классу примыкают также некоторые задачи теории упругих колебаний для систем, параметры которых периодически изменяются во времени. Явления неустойчивости в таких системах называются параметрическим резонансом. [c.353]

Пользуясь своим вторым методом, А. М, Ляпунов решил задачу об устойчивости по первому приближению, независимо от членов выше первого порядка в функциях Хд", в решении этой задачи он видел свое главное достижение. Случаи, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости, названы Ляпуновым критическими. В некоторых из критических случаев установившихся движений, а именно, в случаях одного нулевого корня, пары чисто мнимых корней и двух нулевых корней характеристического уравнения, а также в некоторых случаях периодических движений Ляпунов дал решение задачи об устойчивости. В замечательной работе Ляпунова общая теория дифференциальных уравнений получила существенное развитие. [c.10]

А. М. Ляпуновым критическими. Решение задачи об устойчивости было дано Ляпуновым для установившихся движений в случаях, когда характеристическое уравнение системы первого приближения имеет 1) один нулевой корень, 2) пару чисто мнимых корней, 3) два нулевых корня с одной группой решений для системы второго порядка (а также для системы (п + 2)-го порядка, как выяснилось в 1963 г. при изучении архива [c.55]

Постановка задачи. Рассмотренные выше задачи параметрических колебаний можно трактовать как задачи об устойчивости некоторых режимов установившихся вынужденных колебаний. Поясним это на примере задач, показанных на рис. 1. В случае, показанном на рис. 1, а, роль невозмущенного движения играют продольные колебания стержня, в случае рис. , б — радиальные колебания кольца, в случае 1, в — колебания пластинки в своей плоскости и т. д. Однако весь предыдущий анализ базировался на предположении, что перемещения в невозмущенном состоянии пренебрежимо малы. Рассмотрим уточненную постановку задачи для случая упругого стержня, сжимаемого периодической продольной силой (рис. 3). [c.365]

Теперь мы сформулируем задачу об устойчивости для ряда хорошо известных установившихся движений, являющихся точными решениями уравнений Навье — Стокса (1.2.1) и (1.2.2). Первый пример будет рассмотрен несколько более подробно, чтобы выявить затрагиваемые общие идеи. Два остальных случая будут рассмотрены конспективно. Из этих примеров будет видно, что формулировка соответствующих задач о собственных значениях очень проста. Ее решение, однако, может содержать довольно трудные математические проблемы. [c.13]

В связи с этим в практических инженерных расчетах, в част-рости, в теории автоматического регулирования, большое распространение получили приближенные методы, одним из основоположников которых стал профессор Петербургского Технологического института И. А. Вышнеградский (1831—1895). В 1876 г. Ц. А. Вышнеградский впервые применил свой приближенный метод к задаче об устойчивости регуляторов прямого действия. Основной предпосылкой метода Вышнеградского было допущение, что свойства системы в отношении устойчивости установившегося ее движения обнаруживаются уже в тех малых возмущенных движениях, которые возникают около невозмущенного движения в течение небольшого промежутка времени вслед за моментом сообщения системе достаточно малого начального возмущения. На этом основании при решении вопросов об устойчивости движения в уравнениях возмущенного движения отбрасывались все члены выше первого порядка (относительно координат и скоростей) и по форме интегралов линеаризованных уравнений делались заключения об устойчивости невозмущенного движения. Совокупность методов исследования устойчивости на основании линеаризованных уравнений составляет содержание теории первого приближения. [c.425]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Исследование устойчивости движения в парогенерирующих каналах может идти в двух направлениях определение условий возбуждения колебаний и отыскание закономерностей установившихся колебаний. Ответ на обе поставленные задачи находится из решения одной и той же системы уравнений (1т9) — (1-14). В качестве граничных условий принимается постоянство дав-2—57 17 [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...