ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача об устойчивости установившегося движения из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Теоремы, доказанные в 2, дают, как уже было отмечено, достаточные признаки устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения, т. е. нулевого решения системы (2.1). Однако разыскание функций Ляпунова является чрезвычайно сложной и трудной задачей, а поэтому желательно указать некоторые приемы, позволяющие в ряде случаев облегчить нахождение таких функций или по крайней мере установить их существование. [c.90] Мы рассмотрим эту задачу сначала для установившегося движения (автономного, по другой терминологии), т. е. когда правые части уравнений (2.1) не зависят явно от времени i. [c.90] Тогда величины х, определяемые по формуле (2.27), будут все различными и число их будет равно N. Мы предположим, сверх того, что между ними нет равной нулю. [c.92] Если же функцию Ф выбрать так, чтобы уравнение Ф = 1 было разрешимо относительно V, то, определяя V, получим нужное решение уравнения (2.24). [c.93] И очевидно, что эта V есть целая однородная функция величин Xjj степени т. [c.93] Но число всевозможных неотрицательных значений чисел т,, дающих в сумме т, как раз равно числу М, т. е. степени уравнения Ь г(х)=0. Следовательно, все величины х, определяемые по формуле (2.27), суть корни уравнения ОтМ=0, и никакие другие значения х. ему удовлетворять не могут. [c.94] Поэтому при сделанных выше допущениях теоре.ма Ляпунова доказана. [c.94] Чтобы убедиться в справедливости теоремы вообще, достаточно теперь только заметить, что исключенные нами случаи можно рассматривать как предельные для только что рассмотренного. Особенность этих случаев будет поэтому состоять только в том, что уравнение 0 ,(х) = О будет иметь кратные или равные нулю корни. [c.94] Перейдем теперь к рассмотрению теорем, дающих возможность находить некоторые формы величин Хе, которые далее будут использованы как функции V для решения задачи об устойчивости в одном важном частном случае общей проблемы. [c.94] В самом деле, разыскивая форму V в виде (2.26), получим для определения ее коэффициентов. .систему линейных неоднородных уравнений, число которых N равно числу этих коэффициентов. Легко убедиться, что определитель этой системы есть 0т 0) и, следовательно, по условиям теоремы не равен нулю. Поэтому неоднородная система, определяющая имеет единственное решение, и теорема доказана. [c.94] Заметим, что условие, рассматриваемое в теореме, будет, например, выполнено, и притом для любого т, когда вещественные части всех хз отличны от нуля и имеют одинаковые знаки. [c.94] В следующих трех теоремах будем считать все Реа постоянными вещественными числами, а также будем предполагать вещественными все величины к , будем ли их рассматривать как независимые переменные или как функции /, удовлетворяющие лине 1ным дифференциальным уравнениям вида (1.36). [c.95] Для доказательства заметим прежде, что так как при условии теоремы 0 г(0)= 0, то существует единственная форма V т-й степени, удовлетворяющая уравнению (2.28), и остается доказать, что она знакоопределенна и что 0. [c.95] Следовательно, опять V — монотонная функция, возрастающая при 7 О и убывающая при и 0. Поэтому, если можно выбрать так, чтобы было Уо = О, то для / /о V будет принимать только положительные значения, если 7 О, и только отрицательные, если 7 0. [c.96] Легко притом доказать, что если все корни определяющего уравнения имеют положительные вещественные части, то функция V, удовлетворяющая уравнению (2.28), наверное будет знакоопределенной, одинакового знака с и. [c.96] Притом у можно выбрать так, что найденная форма V, наверно, не будет знакопостоянной, противоположного знака с и. [c.96] В этом случае невозмущенное движение (нулевое решение написанных уравнений) будем называть, следуя Ляпунову, установившимся (стационарным, равновесным — по другой терминологии). [c.97] Коэффициенты разложений функций во многих случаях могут быть не только постоянными, но вообще, любыми непрерывными функциями времени. В последнем случае мы будем называть невозмущенное движение установившимся в первом приближении. [c.98] Рассмотрим основные теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости установившегося движения. [c.98] Теорема 1. Если определяющее уравнение имеет корни только с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически, каковы бы ни были функции Xs в уравнениях возмущенного движения. [c.98] Вернуться к основной статье