Сходимость преобразования Фурье

Сходимость преобразования Фурье [c.16]

Отметим, что член с (з) в числителе подынтегрального выражения в этих формулах возникает в силу необходимости устранить сингулярность функции плотности в начале координат. Такой же член был введен довольно произвольным образом в выражение (29) для того, чтобы улучшить сходимость преобразования Фурье. Основанием для такого подхода служит наличие (з) в знаменателе (44). Из-за такого знаменателя выражение в квадратных скобках в (44) стремится к единице при возрастании з, если член с (з) в числителе отсутствует. В таком случае интегральное преобразование Фурье становится формально неприменимым. [c.20]

Используя преобразование Фурье, можно строго обосновать сходимость приближенного решения к точному. [c.136]

В заключение укажем на то, что применимость преобразования Фурье в вещественной области к решению краевых задач теории упругости не ограничивается только лишь связью с теорией обобщенных функций. Можно показать, что для частных задач таким способом можно построить обратное преобразование в замкнутой форме. При применении комплексного преобразования Фурье (см. п. 6.3.1) не возникает сложностей с обеспечением сходимости, которые требуют обращения к обобщенным функциям, если используют вещественное преобразование Фурье [37]. [c.268]

Таким образом, преобразование Лапласа, связывающее функции / (х) и F (s), является преобразованием Фурье между функциями g(x) и G (vj), где а — произвольное действительное число, большее показателя роста функции /(х). Область применения преобразования Фурье значительно уже области применения преобразования Лапласа, так как для сходимости несобственного интеграла функция g(z) должна удовлетворять довольно жесткому условию по бесконечности, например условию абсолютной интегрируемости, т. е. сходимости интеграла [c.502]

Так же как и ядро (9.30), ядро (11.13) удовлетворяет при а — О классическому определению б -функции. Кроме того, как и в случае конечного интервала, его можно дифференцировать под знаком интеграла, представляющего функцию. В результате здесь сохраняется сходимость к производным. Приведем пример представления б -функции и ее производных. Преобразование Фурье б -функции [c.60]

Тем не менее в теории однородно неупорядоченных систем приходится хвататься за соломинку. Компоненты вектора к все еще могут служить довольно хорошими квантовыми числами приблизительное их сохранение можно использовать для улучшения сходимости расчета. Чтобы наилучшим образом использовать свойство однородности жидкости или стекла, полезно бывает ввести преобразование Фурье или представление данной структуры в обратном пространстве ( 10.8, 11.2). В этом случае переход от атома, расположенного в точке R , к атому, расположенному в точке Rj, отражается фазовым множителем вида [c.17]

Так как -слабая сходимость в влечет за собой сходимость в пространстве медленно растущих обобщенных функций то преобразование Фурье (3.25) сходится в т.е. [c.309]

Вообше коэффициент Е можно выразить через преобразования Фурье пробных функций. (Здесь мы попали прямо в суть абстрактного метода конечных элементов эта техника на неравномерной сетке была бы невозможна.) При разложении Е в ряд по степеням к старший показатель равен как раз порядку точности разностного уравнения. Мы вычислили этот показатель и убедились, что он равен меньшему из чисел к и 2(к — т), т. е. скорость сходимости, указанная теоремой 3.7, правильна. [c.201]

Отсюда следует, что коэффициенты рядов для усилий Т, S, Ni, N2 вообще не убывают для начальных членов ряда при условии я(2/—Возникает необходимость преобразовать ряды с целью улучшить их сходимость. Это можно сделать путем предельного перехода от рядов к интегралам Фурье при li- oo и вычисления интегралов. Иными словами, нужно получить решение для панели бесконечной длины. Указанное преобразование делается точно так же, как в разд. 2.7, поэтому запишем лишь окончательный результат [c.113]

За последние три десятилетия метод преобразования Лапласа был значительно усовершенствован. При его применении к одномерным задачам этот метод обладает следующими преимуществами перед более старыми методами Фурье 1) он дает стандартную методику, применяемую ко всем задачам одинаковым образом 2) он применим ко всем граничным условиям и не зависит от последних, что устраняет необходимость разработки новой теории для каждого типа граничных условий 3) он позволяет доказать очень много простых теорем, например теоремы, приведенные в 2 гл. XII, которые можно использовать для получения новых результатов и новых преобразований, и 4) в большинстве случаев трудности, связанные со сходимостью, не возникают, и решение простых частных задач (например, задачи с постоянной начальной температурой и постоянной температурой поверхности) обычно можно считать совершенно строгим. В случае двумерных и трехмерных задач положение не столь удовлетворительно, и в методе, используемом в данной книге, после исключения времени с помощью преобразования Лапласа мы всегда вынуждены применять классические методы Фурье. [c.445]

Особенностью названных преобразований является то, что верхний предел интегрирования равен бесконечности. Если в преобразовании Лапласа (2-9-1), которое в большинстве случаев применяется по отношению к временной координате, бесконечный предел. интегрирования обусловлен самим ходом нестационарного временного процесса, то в преобразованиях Фурье и Ханкеля (2-9-3) по пространственным ко-ордина м наличие бесконечного предела суживает круг применения этих методов. Другими словами, интегральное преобразование (2-9-3) успешно можно применять только к задачам полуограниченной протяженности. Кроме того, следует отметить, что при использовании преобразований Фурье, особенно синус- и косинус-преобразований, необ ходимо обращать большое внимание на сходимость интегралов, так как условия сходимости здесь становятся более жесткими, чем условия сходимости соответствующих интегралов при преобразовании Лапласа. [c.82]

Классический метод решения задач теплопроводности заключается в нахождении решения в виде ряда частных решений дифференциального уравнения и некоторых граничных условий, причем коэффициенты ряда определяются из теории рядов Фурье или аналогичных им рядов. Этот метод вполне пригоден для задач с ограниченными областями. Однако при рассмотрении неограниченных областей соответствующий метод с использованием интегралов Фурье следует считать чисто формальным вследствие трудностей, связанных со сходимостью. (Весьма важные функции, например единица, не имеют преобразования Фурье.) Тем не менее эта формальная теория действительно дает правильные результаты, которые могут быть проверены а posteriori ее можно сделать строгой путем обобщения [1] теории преобразования Фурье на комплексную плоскость. Кроме того, все чаще используется не интеграл Фурье, а эквивалентный метод преобразования Фурье <см. 3 гл. И). [c.445]

Заслуживают внимания и некоторые другие приемы, используемые в книге, например, улучшение сходимости рядов и интегралов Фурье с помои ью экспо-ненциальной весовой функции ( 9, 11). Данный прием обладает еш е и тем преимуш еством, что в некоторых случаях он суи ественно упрощает обращение двойных преобразований Лапласа—Фурье ( 18). Рациональность этого предложения продемонстри рована, в частности, при изложении классической задачи Лемба ( 33), решение и анализ которой автору удается провести короче и проще, чем это делалось ранее. [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...