Некоторые задачи о вращении твердого тела

Некоторые задачи о вращении твердого тела. Пусть твердое тело вращается вокруг закрепленной точки О в однородном поле тяжести. Будем полагать, что орт ез абсолютного репера Е направлен вверх , т.е. противоположно направлению поля. Тогда на элементарную массу dm твердого тела действует сила тяжести [c.387]

Рассмотрим группу 5p(l) — мультипликативную группу кватернионов q = X + Шс единичной нормой + + = 1. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение Г, алгебры всех кватернионов К на себя, определенное формулой Тд г) = qrq (г Е К). Легко проверить, что Г, отображает множество чистых кватернионов (у которых х = 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством то Тд будет ортогональным преобразованием —> —> R . Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион д Е Sp(l). Таким образом, каждому кватерниону g Е Sp(l) можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону —д (и только ему) соответствует то же самое положение тела в R . Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (Xi С) можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.35]

Рассмотрим задачу о вращении твердого тела с несимметричным ротором по инерции вокруг неподвижной точки, считая, что ротор может свободно вращаться вокруг некоторой оси, жестко связанной с твердым телом (см. п. 9 3 гл. I). Эта система имеет, очевидно, четыре степени свободы пространством положений служит прямое произведение 80(3) х 5 . [c.273]

Группа 50(3) — конфигурационное пространство задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки все положения тела можно получить из некоторого его фиксированного положения с помощью поворотов. Вращение твердого тела задается функцией t x t), где X — ортогональная матрица из 50(3). Скорость вращения x t) есть касательный вектор к группе в точке x t). Его можно перенести в единицу группы (то есть в алгебру so(3)) двумя естественными способами левым и правым сдвигом. В результате мы получили две кососимметричные матрицы х х и хх . [c.152]

В приложении 1 рассмотрена задача о движении твердого тела около закрепленной точки в ньютоновском поле сил. Результаты этого приложения частично использованы в главах 1, 2 для объяснения гравитационных эффектов в движении спутников. Эта задача имеет и самостоятельный интерес. Здесь содержится постановка задачи, указаны ее первые интегралы и интегрируемые случаи дан анализ устойчивости частных решений (постоянных вращений) и исследованы некоторые движения, в которых легко усматриваются эффекты, вызываемые возмущающим действием ньютоновского поля сил. [c.16]

В работе Ковалевской о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки необходимо отметить следующие существенно новые для механики и математики особенности. Ею открыт новый случай вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, для которого она нашла общий интеграл. С. В. Ковалевская впервые привлекла к исследованию подобных задач прекрасно разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. Наконец, ее работа поставила некоторые новые общие математические проблемы. [c.246]

В первой части этой книги мы не раз встречались с вопросом о движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. В 27 было рассмотрено дифференциальное уравнение вращательного движения, далее были рассмотрены некоторые частные случаи этого движения. Остался неисследованным вопрос об определении реакций связей, приложенных к оси вращения. Эту задачу мы теперь и рассмотрим. [c.402]

Особое внимание при эксплуатации следует обратить на вибрацию, периодически возникающую на отдельных ГЦН. Предупредить возникновение вибрации намного легче, чем после ее возникновения найти вызвавшие ее причины, устранить их и ликвидировать последствия. Проблема устранения общей вибрации машин тесно связана с задачей уравновешивания быстровращаю-шихся роторов. Если ось вращения твердого тела совпадает с одной из его главных осей инерции, то вращающееся тело не будет оказывать никакого переменного возмущающего действия на опоры. Однако в процессе изготовления ротора очень трудно точно удовлетворить этому требованию вследствие отклонений геометрических размеров, неоднородности материала, а также некоторой несимметричности в распределении масс относительно оси вращения. [c.296]

Жесткий ротор. Проблема устранения общей вибрации турбомашин тесно связана с задачей уравновешивания быстровращаю-щихся роторов. Если ось вращения твердого тела совпадает с одной из его главных осей инерции, то вращающееся тело в данном случае не будет оказывать никакого переменного возмущающего действия на опоры. Однако в процессе изготовления ротора очень трудно точно удовлетворить этому условию вследствие нарушений геометрических размеров, неоднородности материала, а также некоторой несимметричности в распределении масс относительно оси вращения. [c.99]

Еще один пример обратимой системы с неоднородным потенциалом представляет задача о вращении тяжелого твердого тела с неголомной связью обращается в нуль проекция угловой скорости на некоторое направление /, жестко связанное с телом (см. 7 гл. I), Екли центр масс тела лежит на оси /, то вращения тела с запасом полной энергии к описываются уравнениями Гамильто- [c.370]

В заключение отметим еще одно важное применение теоремы 1, С. Л, Зиглин доказал, что дополнительный мероморфный интеграл уравнений Эйлера — Пуассона задачи о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой существует только в трех классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Если зафиксировать нулевое значение постоянной площадей, то к этим случаям надо добавить еще случай Горячева—Чаплыгина. Этот результат также основан на анализе уравнений в вариациях для некоторых частных решений уравнений Эйлера — Пуассона [64]. [c.371]

Полное решение проблемы выбора надлежащей модели материала даже в такой упрощенной форме далеко от завершения, однако имеются примеры удачных частных решений. Так, при сверхвысоких (порядка модуля упругости) давлениях, развивающихся при гиперскоростных соударениях, успешно используется модель идеальной жидкости (М. А. Лаврентьев, 1949). Для материалов типа полимеров, для которых существенны эффекты несовершенной упругости, иногда используется модель вязкоупругого тела (см., например, А. Ю. Ишлинский, 1940). Что касается материалов типа металлов, находящихся под действием умеренно высоких напряжений порядка предела текучести (которым, в основном, и посвящен данный обзор), то для их изучения могут использоваться два подхода. В основе первого из них лежит допущение, что за пределами упругости материал переходит в вязко-пластическое состояние и его определяющее уравнение зависит от времени. Начало этому направлению подолбили работы А. А. Ильюшина (1940, 1941), в которых в качестве определяющих уравнений использованы уравнения вязко-пластического течения, не учитывающие упругих деформаций. В этих работах дано решение нескольких теоретических задач (удар по цилиндрическому образцу твердым телом, деформирование полого цилиндра под действием внутреннего давления) и описан сконструированный автором первый пневматический копер, позволявший достигать скоростей деформаций порядка 10 Исек (с помощью его были определены коэффициенты вязкости некоторых металлов). Сразу вслед за тем учениками А. А. Ильюшина были решены задачи о вращении цилиндра в вязко-пластической среде (П. М. Огибалов, 1941) и об ударе цилиндра по вязко-пластической пластинке (Ф. А. Бахшиян, 1948 — опубликование этой работы задержалось на ряд лет). С математической точки зрения уравнения динамики одноосного вязко-пластического тела принадлежат к классу уравнений параболического типа. [c.303]

Таким образом, вопрос об однозначных решениях при произвольных начальных данных является полностью исчерпанным. Поэтому если бы мы стали пытаться отыскивать общее решение задачи о вращении тяжелого твердого тела в случае, отличном от четырех упомянутых выше, то очевидно, нужно искать какие-то иные способы представления искомых функций, отличные от степенных рядов. В этом направлении имеется попытка МеШег а отыскания некоторых [c.166]

В некоторых задачах принцип Даламбера оказывается даже более гибким, чем более развитый принцип наименьшего действия. Дифференциальные уравнения движения, определяющие ускорения движущейся системы, являются уравнениями второго порядка. Ускорение qi — это вторые производные координат qi или первые производные скоростей qi. Может, однако, оказаться более удобным — и такая ситуация встречается, в частности, в динамике твердого тела — характеризовать движение при помощи некоторых скоростей, не являющихся производными действительных координат. Такие величины называют кинематическими переменными . Хорошим примером является вращение волчка вокруг оси симметрии. Его можно охарактеризовать угловой скоростью вращения со = defi it, где d p — просто бесконечно малый угол поворота, а не дифференциал от какого-либо угла ф, так как такой угол ф существует лишь в случае, если ось симметрии закреплена. Тем не менее и при незакрепленной оси удобно использовать d(f/dt как величину, характеризующую движение волчка. В принципе наименьшего действия нельзя использовать кинематические переменные, а в принципе Даламбера можно. [c.117]

Например, в рубрике Забор журнала Техника и наука (№ 12, 1988 г.) появилось объявление (№ 229) Требуется спонсор, который согласился бы финансировать разработку вечного двигателя, непосредственно преобразующего механическую энергию микротел (атомов и субэлементарных частиц твердого тела) — в механическую энергию макротела — вращение вала. Вечный двигатель способен удовлетворить человечество в любом количестве энергией и одновременно ликвидировать полностью перегрев воздушной оболочки Земли. Автор завершил изыскания и гарантирует успех разработки вечного двигателя . В отличие от Ощепкова, который говорит о необходимости исследований, здесь все задачи уже решены . Эти скромные обещания действительно обнадеживают Тем более, что некоторые люди, искренне болеющие за охрану природы, но далекие от научного мышления, и попадаются на такие приманки. [c.248]

Важными прикладными задачами, а которых широко используются представления о специфических свойствах нелинейных колебаний твердых тел, являются задачи динамики гироскопических нрнборов и устройств [4—7]. Изложим кратко некоторые наиболее характерные аспекты одной из таких задач, ограничиваясь рассмотрением устойчивости н нелинейных колебаний тяжелою симметричного гироскопа в кардаиовом подвесе с горизонтальной осью вращения наружного кольца [4]. Основание гироскопа подвержено угловой и поступательной вибрации вида со = = аз Оз os Q t, V, = sin i t. [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...