Варьированный путь в принципе Гамильтона

Варьированный путь. Используемый в принципе Гамильтона варьированный путь, вообще говоря, не является возможным, если система неголономна, иначе говоря, система не может следовать по варьированному пути без нарушения наложенных на нее связей. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть простой конкретный пример. [c.49]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

О чем в обоих принципах идет речь, я сейчас, по крайней мере, упомяну, рассмотрев еще раз движение шара. Шар при своем действительном движении, являющемся чистым качением, занимает непрерывную последовательность положений. Применение названных принципов требует небольшого изменения движения. Чтобы осуществить последнее, мы прежде всего сдвинем немного каждое из пройденных шаром положений так, что возникнет вторая непрерывная последовательность положений в то же время положения этой новой последовательности находятся в соответствии с положениями первой последовательности. Этим второе движение полностью еще не определено, ибо не указано, что в обоих движениях соответствующие положения проходятся одновременно в принципе Гамильтона это требуется, тогда как принцип наименьшего действия устанавливает нечто другое. Но оба принципа следует здесь применять, считая, что упомянутые малые смещения щара получаются путем одного качения, в то время как Герц в противоречии с этим применил условие, что и второе, т. е. варьированное, движение само является качением без скольжения. Если правильно выполнить вариации, то получается качение шара, которое Герц охарактеризовал [c.540]

Принцип Гамильтона. В предыдущей теореме энергия гипотетического движения задана, а время перехода из начальной конфигурации в конечную представляет переменную величину. В другой обычно более удобной для применения теореме время перехода задано и имеет такую же величину, как в действительном движении, а энергия на варьированном пути будет вообще другая, и не должна быть заданной постоянной. При этом условии будем иметь [c.271]

Равенство (10) является математическим выражением принципа Гамильтона-Остроградского, который заключается в том, что интеграл (10) равен нулю, если величины Sri t) соответствуют синхронному варьированию прямого пути и Srj to) = = 0. [c.472]

Таким образом, как и в более простом примере 3.8, варьированный путь невозможен без нарушения уравнений связи. Вряд ли нужно напоминать читателю, что этот факт ни в коей мере не нарушает принципа Гамильтона. [c.85]

Рассмотрим траекторию изображающей точки в пространстве q и выразим принцип Гамильтона вместо переменных х в переменных д. Строим варьированный путь, выбирая в каждый момент времени виртуальное перемещение bq и получая точку на варьированной траектории, соответствующую этому моменту времени. Это виртуальное перемещение произвольно, за исключением того условия, что каждая вариация б г представляется функцией времени класса Сг, обращающейся в нуль в моменты to и ty. Поскольку вариация синхронна, [c.90]

Применяется принцип Гамильтона, в соответствии с которым осуществляется варьирование по переменным, входящим в принятое выражение для w. Таким путем получается система обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. [c.11]

Теорема 21.3 (Принцип Гамильтона). Путь q t) является прямым в том и только в том случае, если при любом варьировании удовлетворяющем (21.8), для вариации действия но Гамильтону на этом нути выполняется [c.92]

Результат варьирования д(1,а) прямого нути отобразится в пространство новых переменных Действие по Гамильтону Ш а) есть вычисление одного и того же интеграла в разных переменных, поэтому в новых переменных функция (а) останется прежней. По-прежнему а = О есть стационарная точка W(a), поэтому в силу принципа Гамильтона образ д ) прямого пути q t) есть решение уравнений Лагранжа, а функция Лагранжа Ь совпадает с функцией, стояш,ей под интегралом в новых переменных. Подсчет этой функции приводит к результату [c.94]

Варьированный путь в принципе Гамильтона. В принципе Гамильтона ( 3.7) варьированный путь получается из истинного пути посредством виртуального перемещения в каждый момент времени. Для неголономпой системы варьированный путь, вообще говоря, невозможен. Это утверждение нами уже было доказано для одной просто й неголономпой системы ( 3.8). Докажем его теперь еще для двух случаев, а именно 1) для планиметра ( 5.1, п. 6) и 2) для сферы, катящейся по плоскости ( 5.10). [c.84]

Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера ). В принципе Гамильтона операция варьирования производилась для одного и того же момента времени точке Р (в -пространстве) на действительной траектории в момент t ставилась в соответствие точка Р на варьированной траектории соответствующая тому же самому моменту времени. Это было возможно, так как в принципе Гамильтона задаются не только концевые точки, но и соответствующие им моменты времени, так что движение по исходному и варьированному путям совершается за одно и то же время. Теперь мы рассмотрим случай, когда точке q на исходной траектории, соответствующей положению системы в момент t, ставится в соответствие точка g + на варьированной траектории, характеризующей положение системы в момент t + Будем предполагать, что вариации 6 i, 6q2, , 6g , 8t являются функциями времени, принадлежащими к классу Сг. [c.534]

Принцип Гамильтона-Остроградского. Итак, рассмотрим прямой путь голономной системы и совокупность окольных путей, получающихся из прямого пути при помощи синхронного варьирования и совпадающих с ним в начальный и конечный моменты времени tonti. [c.471]

Приведенный здесь пример (показывающий, что варьированный путь для неголо-номиой системы, вообще говоря, но является возможным путем) представляется наиболее естественным. Его рассматривали многие ученые, работавшие в этой области механики. Он содержится, например, в известной работе Гёльдера о вариационных принципах динамики О. Гёльдер, О принципах Гамильтона и Мопертюи, в сборнике Вариационные принципы механики под ред. Л. С. Полака, М., Физматгиз, 1959. Другие примеры см. в 5.11. [c.50]

Укажем условия, при которых выполняется принцип Гёльдера. В каждый момент времени выбирается виртуальное перемещение бд по отношению к действительному движению составляющие бд,. являются функциями от t класса С2, обращающимися в нуль в моменты и ti- Затем выбирается функция 8t от t, также принадлежащая к классу Сг- В варьированном движении точка g + бд проходится в момент t + 8t, причем вариация не обязательно равна нулю в моменты io и ii. В случае, когда система неголо-номна, варьированный путь, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнениям связей. Если функция 8t тождественно равна пулю, то мы снова приходим к принципу Гамильтона. [c.535]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

В учебных пособиях канонические уравнения выводятся по-разному, например, путем анализа приращения функции Гамильтона дН в действительном движении системы путем анализа прир ения ЪН на виртуальном ее перемещении, также путем известного в теории дифференциальных уравнений преобразования Лежавдра. Можно применить вариационный принцип с независимым варьированием координат и импульсов дх,...,д , Рх,---, р 1л т.д. Рассмотрим кратко некоторые способы вывода канонических уравнений. [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...