Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы

ТЕОРЕМА О РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ И КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЁМКОСТИ [c.128]

Из канонического распределения Гиббса для любых классических систем вытекает важное следствие, которое называется (не совсем точно) теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы. На ней базируется классическая теория теплоемкостей газов, жидкостей и твердых тел. [c.128]

Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы имеет большой диапазон приложений. Помимо молекул газа, жидкости, твердого тела, ее можно применять и к макроскопическим объектам, например к пылинкам, взвешенным в жидкости или газе. Эта теорема позволяет сразу дать ответы на некоторые вопросы. Если, допустим, газ состоит из смеси тяжелых и легких атомов, то средняя энергия их поступательного теплового движения одна и та же (т. е. [c.131]

Однако экспериментальные значения теплоемкостей не всегда совпадают с теоретическими, найденными с помощью теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Для двухатомных газов расхождения имеют место при комнатных температурах. В этом случае каждая частица обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенью свободы. Поэтому теория предсказывает значение Су = = но [c.131]

Средняя энергия одной частицы равна е = + w. Первое слагаемое находится с помощью теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы [c.139]

НИИ оси Ох. Броуновская частица представляет собой как бы большую молекулу среди малых молекул среды. Ее движение входит в общее тепловое движение системы частица — среда . В условиях, равновесия теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы равно пригодна как для молекул вещества среды, так и для броуновской частицы. Отсюда [c.187]

Но из теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы известно, что [c.28]

Поэтому, пользуясь теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы, сейчас же находим, что средний квад- [c.242]

Однако, когда в экспериментах были получены относительно низкие температуры, обнаружилось, что именно в этой области теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы неприменима. В области достаточно низких температур удельная теплоемкость не остается постоянной, а быстро приближается к нулю. Для объяснения этого явления в 1907 г. Эйнштейн смело использовал только что созданную квантовую теорию и обнаружил, что уменьшение теплоемкости представляет собой проявление какого-то фундаментального закона природы. Если удельная теплоемкость стремится к нулю при приближении Т к нулю, то зависимость энтропии от температуры должна резко отличаться от изображенной на фиг. 2. На фиг. 3 и 4 показаны возможные виды зависимости энтропии от температуры, которые находятся в согласии как с экспериментальным ходом зависимости удельной теплоемкости от температуры, так и с требованиями квантовой теории. [c.24]

Этот результат в части, касающейся среднего значения энергии молекулы, является частным случаем весьма общей теоремы статистической механики, называемой обычно теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы . Важность этой теоремы обусловливается, главным образом, тем, что во многих случаях она позволяет находить средние значения энергии тех или других компонент системы почти без всяких вычислений. Мы теперь формулируем и докажем эту теорему в общем виде (возможны, правда, некоторые расширения ее, которых мы, однако, касаться не будем) в дальнейшем мы приведем пример ее применения. [c.71]

Замечательно, что теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы, доказанная нами для приближенных выражений этих средних значений, на самом деле имеет место и для точных выражений (разумеется, коэффициент пропорциональности при этом получается несколько иной величина д порождена нашим приближенным анализом и в точной теории вообще не фигурирует). Чтобы в этом убедиться, заметим, что гамильтонова функция H qj,pk) выбранной компоненты, будучи квадратичной формой относительно переменных удовлетворяет соотношению Эйлера [c.72]

Рассматриваемая нами молекула является компонентой данного газа (другие молекулы которого могут, впрочем, иметь совершенно иную структуру) в силу общего определения компоненты ( 8, гл. II), мы можем, однако, рассматривать и каждую из двух совокупностей динамических переменных (ж, у, г,рз ,ру,рг) и ((/ , ф,р ,рф) как отдельную компоненту нашего газа эти две компоненты будут соответственно фиктивными носителями энергий е и бг, причем первая из них имеет три, а вторая — две степени свободы. Расчет среднего значения любой из этих энергий в силу теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы не требует никаких вычислений [непосредственный метод, которым мы вычислили щ (см. формулу (57)), позволил бы нам, с некоторой затратой труда, вычислить и ё , пользуясь формулой (62)]. Эта теорема непосредственно дает нам для трансляционной энергии наш прежний результат, а для ротационной энергии — значение [c.73]

Мы видим, таким образом, в какой мере теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы способна освободить нас от вычислений, которые в случае более сложных систем могли бы представить значительные трудности. Найдем еще, для [c.73]

Следующим шагом в попытке определить функцию ev,r в рамках классических преобразований явилась работа Рэлея (1900), более подробно развитая в 1905 г. Джинсом. В своих исследованиях они воспользовались теоремой классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы >. [c.138]

Как известно, в общем случае молекулы многоатомного газа могут иметь, помимо трех поступательных и трех вращательных степеней свободы, еще множество внутренних колебательных степеней свободы. Согласно теореме кинетической теории газов о равномерном распределении энергии по степеням свободы, при термодинамическом равновесии все степени свободы, участвующие в обмене кинетической энергии, обладают в среднем одинаковой энергией, равной [c.320]

Этот парадоксально звучащий вывод непосредственно следует из теоремы о вириале и на закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. Согласно (120) между полной энергией и средней по времени кинетической энергией, существует следующее соотношение [c.304]

Утверждение, что классическая теория вообще не согласуется с фактом зависимости теплоемкости тел от температуры, несколько категорично. Дело в том, что теорема (15.5) сводится к равномерному распределению средней потенциальной энергии по степеням свободы только в том случае, когда потенциальная энергия системы является квадратичной функцией координат. Если этого нет, то средняя потенциальная энергия, приходящаяся на одну степень свободы, зависит от температуры. Будет зависеть от температуры и теплоемкость тела. Однако, какова бы ни была классическая модель тела, эта зависимость не согласуется с опытом. Особенно резкое расхождение классической теории с опытом получается при низких температурах. Опыт показывает, что при стремлении температуры к абсолютному нулю стремится к нулю и теплоемкость всякого тела. Оказывается, что равномерное распределение энергии по степеням свободы справедливо только в ограниченной области температур. Удовлетворительное решение вопроса о теплоемкости тел дала только квантовая теория. [c.406]

Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и теорема о вириале [c.200]

Нахождение внутренней энергии Е системы, задаваемой функцией Гамильтона Н (q, р), по общему методу (12.27) сводится к вычислению конфигурационного интеграла (12.24). Однако во многих случаях Е можно найти значительно проще, используя две общие теоремы классической статистики — теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы и теорему о вириале. [c.200]

Более общий метод вычисления флуктуаций плотности, применимый также к жидкостям и твердым телам, основан на теореме о равномерном распределении кинетической энергии па степеням свободы. Рассмотрим малую часть жидкости или газа, окруженную такой же жидкой или газообразной средой, температура которой Т поддерживается постоянной (термостатом). С целью упрощения и наглядности вычислений предположим, что эта малая часть жидкости или газа заключена в цилиндр с поршнем. Стенки цилиндра идеально проводят тепло, а поршень может ходить в нем без трения. Тогда наличие стенок цилиндра и поршня не будет препятствовать обмену энергией и выравниванию давлений между веществом в цилиндре и термостатом. Благодаря тепловому движению поршень будет совершать броуновское движение. К нему мы и применим теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. [c.594]

Общий метод теоретического определения функции (со, Т) в рамках классической физики, не связанный с модельными представлениями, был указан в 1900 г. Рэлеем и через пять лет более подробно развит Джинсом (1877—1946). Рэлей и Джинс применили к равновесному излучению в полости теорему классической статистической механики о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Согласно этой теореме, в состоянии статистического равновесия на каждую степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия где к — 1,38-10 эрг/К — [c.692]

Можно было бы возразить, что классическая статистическая механика, следствием которой является теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, неприменима к системам с бесконечным числом степеней свободы. Но такое возражение неубедительно. В основе классической статистической механики лежат уравнения классической механики в форме Гамильтона (1805—1865). Хотя они и были установлены для механических систем с конечным числом степеней свободы, но можно показать, что излучение в полости можно описывать бесконечным, но счетным числом обобщенных координат, также подчиняющихся уравнениям Гамильтона. Следовательно, и вся система, состоящая из-вещества и излучения, будет описываться уравнениями Гамильтона. [c.697]

Этот же результат сразу получается из теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. [c.218]

Теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, равно как и более общие соотношения (15.3), (15.4), (15.6) и (15.7), можно доказать и непосредственно из микроканонического распределения (см. примечание редактора 16). Для этого надо воспользоваться теоремой Гаусса — Остроградского о преобразовании поверхностного интеграла в объемный для многомерного пространства. Обозначая ради краткости координаты и импульсы замкнутой системы через Xi, имеем [c.404]

Последнее обстоятельство объясняет феномен, который долгое время оставался непонятным почему электронный газ не дает вклада в теплоемкость металлов Допустим, что каждый атом имеет три колебательные степени свободы и что для изучения колебательного движения применима классическая механика. (Это справедливо для температур, далеких от абсолютного нуля.) Тогда по теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы получим энергию колебаний решетки = 3NkT и теплоемкость решетки дЕ [c.162]

Планка характеристическая функция, 97 Потенциал термодинамический, 97 Поверхность постоянной энергии, 26 Работа газа элементарная, 89, 90 Редуцированное многообразие, 37 Ротационная энергия молекулы двухатомного газа, 73 Структурная функция, 25 Сумматорная функция, 44 Свободный интеграл, 37 Температура абсолютная, 81 Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы, 70 [c.116]

В классич. статистич. физике абс. Т. пропорциональна ср. кинетич. энергии тела. На одну степень свободы, согласно теореме Больцмана о равномерном распределении кинетич. энергии по степеням свободь[ (см. Равнораспределения закон), приходится ср. кинетич. энергия (1/2)АГ. Однако теорема Больцмана не справедлива в том случае, когда приходится учитывать квантовые эффекты. Согласно общему статистич. определению, абс. Т., пропорц. модулю канонического распределения Тиббса G = kT (т. е. знаменателю в показателе экспоненты ф-ции распределения). [c.62]

Докажем соотношение (1), не накладывая явно ограничения (2). С этой целью рассмотрим энергетически изолированную большую механическую систему, на.чодящуюся в термодинамическом равновесии. Каждую малую-часть ео можно рассматривать как помещенную в термостат, которым слу- кит остальная часть большой системы. А поскольку кинетическая энергия всякой системы аддитивно складывается нз кинетических энергий ее частей, для всей большой системы имеет место теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы в виде [c.403]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...