Размерность Ляпунова

Система Значения параметров Спектр показателей Ляпунова (бит/с) Размерность Ляпунова (см. гл. б) [c.211]

Для отображений более высокой размерности в N-мерном фазо-IOM пространстве связь между числами Ляпунова и размерностью Ляпунова более сложная. Прежде всего необходимо упорядочить асла Ляпунова, т. е. расположить их в убывающую последовательность [c.227]

Метод Зубова построения вспомогательных систем [Зубов, 1959] основан на знании оценок (сколь угодно грубых) неконтролируемых z-переменных системы (1.2.1) и построении на основе этих оценок некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений той же размерности. Тогда функция Ляпунова для построенной вспомогательной системы решает ЧУ-задачу для исходной системы. [c.90]

На основании предельных теорем А. Ж. Ляпунова и С. Н. Бернштейна доказано, что если число слагаемых случайных величин (звеньев в размерной цепи) велико и выполнены условия А. М. Ляпунова для независимых слагаемых и условия С. Н. Бернштейна для зависимых слагаемых, то функция распределения погрешностей замыкающего звена приближается к функции нормального распределения, для которой а = 0 и к =1. Условия, при которых а,=0, следующие [c.308]

Законы распределения замыкающих звеньев размерных цепей. В соответствии с теоремой Чебышева—Ляпунова при достаточно большом числе (множестве) составляющих звеньев размерной цепи (независимо от законов их распределения) и отсутствии доминирующих звеньев по их допускам распределение замыкающего звена размерной цепи может быть принято по нормальному закону. Действительно, очень часто при размерных расчетах для замыкающих звеньев размерной цепи принимают симметричный нормальный закон распределения, т.е. Я,д = ад = 0. При этом необходимо уточнить условия принятия такого решения. Принятие нормального закона для замыкающих звеньев размерной цепи может быть признано обоснованным при выполнении одного из следующих условий [c.101]

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую-количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова (п. 5.2в) или фрактальная размерность (п. 7.1в). [c.294]

Связь между фрактальной размерностью и показателями Ляпунова. Существует гипотеза [218], связывающая фрактальную размерность с показателями Ляпунова [c.424]

В последующих главах мы обсудим более сложные методы, в том числе измерение двух характеристик движения, именно фрактальной размерности и показателя Ляпунова. [c.46]

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА И ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ [c.71]

Признаки хаотических колебаний, описанные в этой главе, носят в основном качественный характер и требуют от исследователя применения доли здравого смысла и опыта. Имеются и количественные признаки хаоса, использование которых приносит определенный успех. Два наиболее распространенных критерия — это показатель Ляпунова (см. гл. 5) и фрактальная размерность (см. [c.71]

Наконец, в разд. 5.4 мы рассмотрим одну важную диагностическую характеристику, а именно показатель Ляпунова. Другую диагностическую характеристику — фрактальную размерность — мы опишем в гл. 6. [c.161]

Еще одно соотношение между фрактальной размерностью, информационной энтропией и показателями Ляпунова была установлена Капланом и Йорке [90]. Напомним (см. гл. 5), что показатели Ляпунова характеризуют для траекторий на аттракторе скорость их разбегания друг от друга, а для траекторий вне аттрактора — скорость их приближения к аттрактору (см., например, рис. 5.30). Сказанному можно придать наглядный смысл. Малая сфера начальных условий, описанная вокруг некоторой точки на аттракторе в фазовом пространстве со временем под действием динамического [c.226]

Таким образом, рассмотренная система служит примером распределенной системы, движения которой полностью определяются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений небольшой размерности. В какой мере этот частный вывод может быть распространен па другие распределенные системы Определенный и исчерпывающий ответ на этот вопрос в настоящее время дать трудно качественно (ио крайней мере в рамках квазилинейной теории) ситуация зависит от числа степеней неустойчивости и степеней свободы с малым затуханием. В рассмотренной задаче одна степень неустойчивости (один положительный показатель Ляпунова). Затухания по остальным степеням свободы быстро растут. Как будет показано в дальнейшем. именно с этим обстоятелт.ством связана возмол ность построения одномерной модели в виде точечного отображения прямой в прямую, адекватно передающего особенности временного [c.36]

Для систем большой размерности, в том числе бесконечномерных, отыскание численных значений показателей Ляпунова, как и непосредственное вычисление величин а, d ж К, является сложной задачей. Поэтому представляет интерес сравнительно простая вычислительная процедура, которая позволяет оценить ляпуновские показатели, размерность аттрактора и метрическую энтропию, зная реализацию лишь одной из координат фазового пространства. Эта процедура была предложена Паккардом [600] и Такенсом [657]. Использование такой процедуры особенно удобно при обработке экспериментальных результатов для распределенных систем, где знать весь бесконечномерный вектор x(i) просто невозможно [681]. [c.235]

Значительные возможности в решении ЧУ-задачи дает метод вектор-функ-ций Ляпунова [Bellman, 1962 Матросов, 1962Ь, 2001 Воронов, Матросов, 1987 Lakshmikantham и др., 1991] особенно это касается исследования сложных систем высокой размерности. [c.56]

Метод построения вспомогательных ц-систем. К настояшему времени ЧУ-задача для ЛСПК исследована достаточно полно [Воротников, 1991а, 1998]. Показано, что задача устойчивости (асимптотической устойчивости) по отношению к заданной части переменных эквивалентна задаче устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову либо этой же системы, либо некоторой вспомогательной, допускающей конструктивное построение меньшей размерности. [c.100]

При этом, однако, как и в случае ЛСПК, размерность вспомогательной ц-системы не превышает размерности исходной системы, а ЧУ-задача для исходной системы эквивалентна задаче устойчивости (асимптотической устойчивости) по Ляпунову либо этой же системы, либо ц-системы меньшей размерности. (Понятие устойчивости по Ляпунову в случае разрывности вспомогательной системы соответствующим образом уточняется.) [c.104]

Подход В.И. Зубова опирается на знание оценок (сколь угодно грубых) для z-компонент решений исходной ЛСНК [Зубов, 1959]. Этот подход позволяет свести ЧУ-задачу к задаче устойчивости по Ляпунову для вспомогательной линейной системы той же размерности. [c.107]

Для сложных стохастических систем высокой размерности целесообразно использование стохастического варианта метода вектор-функций Ляпунова применительно к системам в форме Ито [Ladde и др., 1973] в контексте этого метода естественным образом возникает соответствующая ЧУ-задача. Данный метод развит также и для стохастических функционально-дифференциальных уравнений [Ladde, 1974], - систем вида [c.272]

Мори и Фуджисакс (1980) рассчитали для аттрактора Лоренца как функцию от г показатель Ляпунова 01 (второй показатель 02 равен нулю, третий 03 = Л — 01 отрицателен, а ляпуновская размерность аттрактора равна 2 + [c.153]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

В первом параграфе этой главы обсуждаются основные свойства диссипативных систем, такие, как сжатие фазового объема и регулярное движение на простых аттракторах. Затем вводится понятие странного аттрактора со стохастическим движением. В 1.5 уже приводился пример странного аттрактора. Здесь же обсуждаются два других примера диссипативных систем со странными аттракторами система Рёслера и отображение Хенона. Особое внимание обращается на те свойства хаотического движения, которые связаны с возможностью перехода к одномерному отображению, а также с геометрической структурой странного аттрактора. Эта геометрия описывается в терминах канторовых множеств дробной фрактальной размерности. Обсуждаются способы вычисления такой размерности и ее связь с показателями Ляпунова. [c.410]

Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым лгаожеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность кантор она множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411 ] и Отта [324]. [c.422]

Проверка с применением показателя Ляпунова может использоваться как в диссипативных, так и в бездиссипативных (консервативных) системах, а фрактальные размерности имеют смысл только в диссипативных системах. [c.72]

Зная эти два показателя Ляпунова, можно вычислить для преобразования пекаря фрактальную размерность. Связь между показателями Ляпунова и фрактальными размерностями была исследована Фармером и др. [36] и кратко обсуждается в гл. 6. [c.210]

Для описания непериодических движений, напоминающих по сложности случайные (а именно таким движениям посвящена наша книга), мы использовали термины хаотический и странный аттрактор. Называя аттрактор хаотическим, мы подчерюшаем потерю информации или предсказуемости. Называя аттрактор стран ным, мы прежде всего стремимся подчеркнуть необычность геометрической структуры, по которой движется траектория в фазе вом пространстве. В гл. 5, используя показатели Ляпунова, мы описали количественную меру хаотичности, или потери информации. В этой главе мы опишем количественную меру странности аттрактора. Эта мера называется фрактальной размерностью. Но прежде чем мы займемся фрактальной размерностью, нам необходимо ввести понятие фрактала в таком виде, чтобы его было удобно использовать для наших целей. [c.212]

Каплан и Йорке [90] (см. также работу Фармера и др. [36] 0 дредложили способ вычисления размерности аттрактора по показателям Ляпунова. Для двумерного отображения такая размерность определяется по формуле [c.227]

Пока еще не существует приборов, электронных или каких пбудь других, которые давали бы на выходе сигнал, пропорциональный фрактальной размерности, хотя в будущем электрооптиче-ские методы, возможно, позволят построить такой прибор (см. разд. 6.5). Ныне и в численных, и в физических экспериментах фрактальную размерность и показатели Ляпунова находят, дискретизируя сигналы последовательностью равноотстоящих (по времени) точек и обрабатывая полученные данные на компьютере. Существует 3 основных метода [c.229]

Если у вас имеется программа для вычисления показателей Ляпунова, то полезно иметь в виду, что в литературе приводится зна-ч 1ие показателя Ляпунова X, = 0,2, а фрактальная размерность аттрактора в отображении Энона равна = 1,264. Варьируя параметры в иЬ, можно попытаться определить область тех значений, при которых аттрактор существует, и найти область удвоения периода на плоскости (а,Ь) [57, с. 268 151]. [c.280]

Обратная связь по выходу вместо обратной связи по состоянию заметно усложняет процедуру оптимизации. Существуют математические выражения, позволяющие вычислять функционал У и его градиент, принимая во внимание коэффициенты матрицы обратной связи. Хирзингер предложил удобную конфигурацию обратной связи по выходу для многосвязных систем [91. В его динамическом регуляторе использованы прямая и обратная связи. Требования к динамическим характеристикам и автономности учитывают в параллельной эталонной модели, что приводит к задаче оптимизации без ограничений, с функционалом У (1). Размерность вектора состояния в этом случае равна сумме размерностей исходной системы, регулятора и параллельной модели. Величину функционала У и его градиент находят из уравнения Ляпунова. [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...