Характеристическое уравнение для периодов

Характеристический коэффициент устойчивости, 170, 175 Характеристическое уравнение для периодов, 42, 199 [c.238]

Г —период модуляции). Подставляя (34.7) в (34.8), придем к однородной системе для С и Сг. Приравнивая нулю ее определитель, получим характеристическое уравнение для фактора р, которое с учетом (34.6) можно записать в виде [c.247]

Для уменьшения времени позиционирования (при сохранении апериодического характера затухания динамической ошибки) в тех же условиях моделировался стабилизирующий закон управления (5.12) с диагональными матрицами коэффициентов усиления вида Fj = — 10/, Га = 25/. Характер затухания динамической ошибки в этом случае показан на рис. 5.2. Из сравнения полученных переходных процессов видно, что период позиционирования манипулятора с заданной точностью тем меньше, чем глубже отрицательная обратная связь в законе управления (5.12) (точнее говоря, чем левее от мнимой оси лежат корни характеристического уравнения, полученного на основе матричных коэффициентов усиления Fj, Fj). Для матриц Fi, Fj из первого эксперимента все корни характеристического уравнения совпадают и равны —1, а для матриц Fi, Fa из второго эксперимента они равны —5. [c.145]

Таким образом, анализ динамики системы, описываемой линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, требует определения фундаментальной матрицы ф за время одного периода (от / = О до Т) путем интегрирования уравнения ф = Лф с начальными условиями ф(0) = = /. Затем определяются собственные значения и собственные векторы матрицы а = ф(Г) и корни системы у = (1/Г)1п0. Формы составляющих движения определяются зависимостями PS = ф5е или U, = е- / фУ/ (где v, — собственные векторы а). Система неустойчива, если 9/ >1 или Re(X,/)>0 для какой-либо из мод. Часто анализ сводится лишь к нахождению собственных значений, поскольку переменные во времени собственные векторы периодической системы содержат много информации о ней. Для системы второго порядка с одной степенью свободы можно получить характеристическое уравнение непо- [c.346]

Возвращаясь опять к простейшей колебательной системе, заметим, что характер колебательного процесса существенно связан с двумя параметрами времени периодом колебаний Т и постоянной времени затухания т. Обе эти величины, как мы знаем, существенно связаны с корнями характеристического уравнения, а следовательно, и с его коэффициентами. Исследуем теперь эти соотношения для обеих систем, как и выше. [c.106]

Движение по предельному циклу соответствует периодическому изменению амплитуд а и Ь, что означает наличие бигармонического режима в исходной системе (режим биений). Биения возникают мягко по амплитуде (рис. 16.7а). так как предельный цикл рождается с нулевым радиусом. Частота биений при этом конечна, так как предельный цикл возникает из фокуса и в момент возникновения имеет частоту, отвечающую исчезнувшему состоянию равновесия. Для се определения следует найти корни характеристического уравнения + р + д = О при 1. Значение мнимой части корней и даст искомую частоту. Нетрудно показать, что с увеличением расстройки частота биений растет (рис. 16.76). Для больших значений можно считать, что амплитуды а и Ь изменяются с некоторой частотой, а кроме того, претерпевают еще очень медленные (малые на периоде 1/ш ) изменения. Тогда, применив повторно метод усреднения, удается найти амплитуду цикла на плоскости переменных Ван-дер-Поля и частоту вращения по нему. [c.337]

Основываясь на рис. 3.10, можно сделать и другое очень интересное заключение. Обычно не обращают внимания на то, что при решении конечно-разностных уравнений для задач, аналогичных представленной на рис. 3.10, существует два характеристических параметра. Первый параметр представляет собой число Куранта, которое является единственным параметром при решении конечно-разностного уравнения во внутренних точках. Вторым параметром является сеточная частота N = = 2я/А , т. е. число временных слоев за период изменения функции на входной границе потока. [c.92]

Отметим еще один результат Ю. С. Богданова (1960), продолжающий работы К. П. Персидского и Р. Э. Винограда. Рассмотрим правильную однородную линейную систему дифференциальных уравнений. Сопоставим- ей другую — с периодическими коэффициентами, равными коэффициентам заданной системы на промежутке (О, Г ) и имеющими период У ь. Спрашивается, существует ли такая последовательность значений Г1, Гз,. .., - оо, что предельные значения характеристических чисел построенной системы равны характеристическим числам исходной системы Богданов показал, что существуют системы, для которых такой последовательности нет, но существует ляпуновское преобразование, которое переводит эту систему в другую, для которой такая последовательность есть (для систем двух уравнений указанное преобразование Ляпунова построено эффективно). [c.85]

Иррегулярный режим системы, предшествующий регулярному изменению температуры, зависит от соотношений между темпом охлаждения системы и характеристическими числами уравнений типа (111.33) или (111.39). На продолжительность иррегулярного режима влияют также коэффициенты Вп в уравнениях (111.34), (111.37) и др. Кроме того, как указывалось выше, иррегулярный режим определяется и координатами рассматриваемых участков тела. Для точек регулярной поверхности этот режим всегда будет иметь наименьшую продолжительность, чем для любой другой точки тела. Это, конечно, не исключает того, что тепловые свойства и размеры тела будут влиять на абсолютную длительность периода регуляризации. Для регулярной поверхности е = д второй член ряда (1У.15) равен нулю, поэтому изменение температуры точек этой поверхности будет подчиняться следующему закону [c.60]

Когда Ф и Ь несоизмеримы, то никакие две пары значений т и п не могут дать одинаковую частоту, и каждый фундаментальный тип колебания имеет свой собственный характеристический период. Когда же Ф и соизмеримы, то два или более типа могут иметь одинаковый период и могут тогда одновременно существовать в любом соотношении, причем движение все же сохраняет свой простой гармонический характер. В таких случаях указание периода не определяет полностью типа колебания. Исчерпывающее рассмотрение возникающей здесь задачи требует привлечения методов теории чисел однако для целей, поставленных в настоящем труде, достаточно будет рассмотреть несколько простейших случаев, которые имеют место в случае квадратной мембраны. Более полные сведения читатель найдет в лекциях Римана по дифференциальным уравнениям в частных производных. [c.331]

Один из этих методов состоит в следующем. Задав начальные условия (7.55), численным интегрированием уравнения (7.45) определяют значения линейно независимых решений (7.49) в конце периода Т, т. е. матрицу X (Т) = А. Так как интегрирование нужно производить на конечном промежутке времени [О, Т], то все вычисления можно произвести с любой наперед заданной точностью (для этой цели лучше всего, конечно, использовать электронно-вычислительные машины). По найденной матрице А составляется характеристическое уравнение (7.64), после чего определяются корни Рх, р2,. . ., Рп- Хорошим контролем этого метода может служить равенство (7.72), которое с помощью последней формулы Виета (4.23) приводится к виду [c.238]

В формуле (13.10) первое слагаемое учитывает влияние переходных процессов. Проведение оценок (13.10) исключает необходимость интегрирования системы дифференциальных уравнений движения, отыскания всех корней характеристического уравнения и вычетов относительно полюсов подыинтегральных функций. Все вычисления выполняются в компактной форме с использованием аппарата матриц. Проведение уточненных оценок требует разбиения периода Т на несколько участков, для которых определяются коэффициенты /л , ni Нетрудно видеть, что при такой форме записи решения вопрос об экстремальных значениях характеристик решается весьма просто. [c.96]

В табл. 1 представлены модели одномассных ВУС, включающих системы симметричные и несимметричные, с упругими связями и без них, с различным числом ударных пар. Некоторые из этих моделей обладают диссипативными свойствами в форме линейного трения (—сх). Для каждой из этих моделей в таблице приведено диффе-)енциальное уравнение движения звена т в интервалах между его соударениями. 5иброударные режимы с одним соударением за период движения в каждой ударной паре полностью описываются коэффициентами фазового уравнения, определяющими фазу ф соударения, и величиной ударного импульса I, сообщаемого в процессе удара звену т. Кроме этого, в табл. 1 приведены коэффициенты характеристического уравнения, определяющего условия устойчивости (см. п. 4). Все данные, приведенные в табл. I, а также в табл, 2 и 3 (см. ниже), взяты из работы [20j. [c.312]

Для расширения области применения первого метода Ляпунова в том случае, когда коэффициенты линейной системы постоянны, а нелинейные члены не содержат времени, требовалось дополнить общие результаты Ляпунова исследованием особенных (критических) случаев. Ляпунову принадлежит анализ случая одного и двух нулевых корней (характеристического уравнения матрицы ) и двух чисто мнимых корней. Первые новые важные результаты были получены Г. В, Каменковым и И. Г. Малкиным Они в весьма широких предположениях провели анализ устойчивости при наличии двойного нулевого корня, затем нулевого корня любой кратности, нри наличии двух пар, затем любого числа мнимых корней (предполагается, что все остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). В тех же работах рассмотрены критические случаи для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах и периодическими нелинейными членами (период предполагается одним и тем же для всех pgf и Zfe). Каменков и Малкин дополнили и в этом пункте результаты Ляпунова. [c.130]

Если значения периодов найдены с помощью одного из уравнений (5.13), то, перейдя к уравнениям, связывающим МеЖДу" соШй плотности нейтронов, можно найти отношения между плотностями нейтронов, соответствующими данным периодам. Оценка значения этих отношений была подробно проведена на простом примере в разделе б хотя вычисление этих отношений в общем случае длинно, оно не представляет собой более трудной задачи. Однако когда мы определяем период с помощью уравнения (5.13е), то хотя мы получаем как раз достаточное количество соотношений для определения отношений плотностей всех запаздывающих нейтронов и свободных нейтронов, тем не менее, у нас нехватает сведений, чтобы различить в начальном состоянии плотность замедляющихся нейтронов от плотности тепловых. Это неудивительно, так как при выводе мы принимали время замедления настолько коротким, что считали возможным причислить нейтроны, находящиеся в стадии замедления, к тепловым нейтронам. Если нужно получить более подробное представление о начальных условиях, то необходимо возвратиться к более точным выражениям характеристического уравнения. При этом мы получим бесконечное семейство решений, с помощью которых можно надеяться представить начальные условия, отражающие как распределение плотности замедляющихся нейтронов, так и распределение всех остальных плотностей. [c.155]

Для исследования устойчивости периодического движения периода т можно вместо отображения (6) воспользоваться отображением Тпереводящим любую точку окрестности точки в точку, в которую она переходит по истечении времени т. В случае неавтономной системы корни характеристических уравнений отображений и (6) совпадают, а в случае автономной системы отображение имеет дополнительный корень, равный единице (остальные корни совпадают) (Ю, И. Неймарк, 1958). [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...