ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Минимум потенциальной энергии из "Метод конечных элементов Основы " Обращаясь вновь к принципу виртуальной работы (6.1), видим, что, согласно (6.41), б /-ЬбУ=бПр=0, откуда первая вариация должным образом записанной потенциальной энергии Пр равна нулю, т. е. Ир стационарна в точке, соответствующей решению. [c.171] Факт достижения потенциальной энергией минимума на решении может быть Использован проектировщиком для оценки некоторых параметров и установления границ для точного решения. Это свойство используется в дальнейшем в гл. 7 при построении решения для всей конструкции. Заметим также, что положительная определенность матрицы [к] позволяет установить минимальные свойства. Для некоторых смешанных вариационных принципов, о которых речь пойдет ниже, основная матрица коэффициентов в конечно-элементном представлении не обладает этим свойством и поэтому нельзя задать границы изменения параметров решения. [c.172] Следует подчеркнуть, что принцип минимума потенциальной энергии можно применить при построении матрицы жесткости элемента как присущее конструкции свойство без учета условий, которые должны выполняться при переходе через границы элемента, если элемент включен в глобальное представление конструкции. Если при построении глобального конечно-элементного представления эти условия нарушаются, то аналитическая модель характеризуется межэлементной несогласованностью, при этом нет уверенности в том, что при решении будет достигнут нижний предел. На практике несогласованные элементы применяют из-за того, что они проще согласованных элементов. Можно проверить, позволяет ли использование указанных элементов найти в пределе при измельчении сетки правильное решение [6.5]. Примеры таких элементов даны в последующих главах. [c.172] Как было показано, формулы для матриц элементов в линейных задачах теории упругости совпадают, если их получать на основе принципов соответственно виртуальной работы и минимума потенциальной энергии. Принцип виртуальной работы является более фундаментальным и его обобщения позволяют построить конечноэлементные представления не только для задач расчета конструкций. Поэтому многие предпочитают использовать именно этот принцип. С другой стороны, выражения для энергии деформации либо хорошо известны, либо легко выписываются во многих задачах расчета конструкций. Кроме того, энергетический подход делает наглядными экстремальные свойства решения и позволяет построить, как мы увидим в гл. 7, альтернативные алгоритмы, основанные на этих свойствах. [c.172] Полученная матрица [к] совпадает с матрицей, построенной с помощью прямого метода. Так как поле перемещений в элементе имеет простой вид, то пропорциональное задание узловых сил с помощью транспонирования матрицы, связывающей перемещения и деформации, и непосредственное задание сил в узлах приводят к идентичным результатам. Что касается термоупругих сил, то, как и следовало ожидать, компоненты вектора Р представляют силы, требуемые для компенсации перемещений элемента, вызванных приращением температуры Г. Кроме того, реализация распределенных нагрузок совпадает с той, которая получена в результате выполнения процедуры пропорционального распределения нагрузок по узлам. [c.174] Матрица жесткости, полученная с использованием [О] в выражении (6.12а) для виртуальной работы, совпадает с изображенной на рис. 5.4 из-за простого характера линейного поля, задаваемого с помощью L N J. Построение матриц [ш] и Р оставляем читателю в качестве упражнения (см. задачи 6.4 и 6.7). [c.174] Для плоского напряженного состояния распределенные нагрузки обычно прикладываются к краям конструкции, а не в виде нагрузок, распределенных по поверхности элемента. Следовательно, для подсчета Р имеет смысл рассмотреть вопросы, связанные с распределением нагрузок по поверхности всей конструкции. Целесообразно отложить обсуждение этих вопросов до гл. 9, где рассматриваются глобальные аспекты расчета задач плоского напряженного состояния. [c.174] В разд. 3.4 было отмечено, что одним из преимуществ метода конечных элементов является возможность рассчитывать конструкции сложной геометрии. Следует, однако, отметить, что, как правило, реальную конфигурацию конструкции приходится при расчетах каким-либо образом аппроксимировать, а это служит дополнительным источником погрешностей. Хотя аппроксимации поведения (т. е. перемещений) уделяется больше внимания, вопросы, связанные с аппроксимацией геометрии конструкций, имеют такое же, а подчас и более важное значение. В настоящее время известно, что вариационный подход дает возможность более точно аппроксимировать геометрию конструкции. [c.175] При обсуждении указанного круга вопросов полезно делать различие между трехмерными конструкциями, пластинами и призматическими телами. В случае трехмерных конструкций, как правило, имеют дело с криволинейными поверхностями, а для пластин и призматических элементов основными параметрами являются вариации толщин и площади. Некоторые основные рассмотрения аппроксимации последних приводятся в данной главе. Вопросы аппроксимации геометрии трехмерных тел обсуждаются в последующих главах. [c.175] Альтернативой ступенчатому представлению служит простая аппроксимация величины А (х) во всем конструктивном элементе либо на сегментах, разбивающих этот конструктивный элемент. Указанная аппроксимация необходима в силу следующего обстоятельства. Если требуется найти явный вид матрицы жесткости элемента, то, как легко видеть, никаким единым представлением А х) нельзя задать точно все возможные формы конструкции. [c.176] Функция перемещения (5.5), использовавшаяся ранее для элемента постоянного сечения, в нашем случае не является точной, так как она приводит к условию постоянства деформаций, которое уже не выполняется вдоль оси элемента. Однако эта аппроксимация удобна и будет здесь использована. [c.176] Из сравнения представленных матриц жесткости видно, что для построения точной матрицы требуется вычислить значение логарифмической функции. [c.177] Процедура построения профилированных балочных, пластинчатых и оболочечных элементов на основе простой аппроксимации их геометрии аналогична описанной выше процедуре для профилированного стержневого элемента. Можно аппроксимировать геометрические характеристики, основываясь на функциях, аппроксимирующих перемещения для элементов постоянной толщины. Этот подход называется изопараметрическим представлением, т. е. в этом случае одни и те же (изо-) параметры используются для аппроксимации перемещений и геометрии. Степень непрерывности полей перемещений при переходе от одного элемента к другому, заложенная в функциях формы, переносится и на геометрическое представление. Так, в рассматриваемом выше примере функция (площадь) непрерывна при переходе от одного элемента к другому. Общая теория изопараметрического представления будет изложена в разд. 8.8. [c.177] В практике проектирования не прижились даже столь простые способы аппроксимации профилированных стержневых и пластинчатых элементов. Проектировщики предпочитают использовать сту-пенчатую аппроксимацию элементами постоянной толщины. Вообще говоря, имеющиеся в настоящее время вычислительные возмож ностп позволяют достаточно точно аппроксимировать очертания подобного рода конструкций, используя большое число элементов. Поэтому подходы, использующие изопараметрические представления, еще не получили широкого распространения прн расчетах профилированных элементов. Однако это не так в случае трехмерных тел, когда расчеты даже на относительно грубой сетке конечных элементов требуют очень больших вычислительных затрат. [c.177] Вернуться к основной статье