Диффузия по резонансам

Диффузия по резонансу связи [c.359]

Аналогичным образом можно было бы вычислить скорость диффузии Арнольда и по резонансу связи, например со = Соответст-вуюш,ие довольно сложные расчеты были выполнены Либерманом [273 ]. Здесь же, следуя работе Чирикова [70 ], мы рассмотрим более простую модель, иллюстрирующую как диффузию по резонансу связи, так и взаимодействие многих резонансов [72]. Гамильтониан этой модели имеет вид [c.359]

Вообще говоря, необходимо еще учесть усиление диффузии на резонансах. Пусть, например, траектория попадает под действием шума в стохастический слой целого резонанса в точке А, затем идет вдоль слоя Л (В ) С и покидает резонанс в точке С. Если полупериод фазовых колебаний Т (3.5.23) мал по сравнению с 1 а (что справедливо для малых а и К Т 1), то область фазового пространства, в которой идет диффузия, сокращается на ширину резонанса. Заметим, что диффузия траектории А С люжет идти либо наружу от резонанса, как рассмотрено выше, либо внутрь резонанса. В последнем случае средняя скорость диффузии падает. Таким образом, имеются две группы траекторий быстрые, проходящие резонанс, и медленные, которые захватываются в резонанс. В качестве простой оценки примем, что отношение средних скоростей диффузии для двух групп траекторий обратно пропорционально квадрату интервала диффузии [c.339]

Диффузия в толстом слое. Выберем начальные значения 3 и внутри толстого стохастического слоя, а а и х вблизи центра целого резонанса. При отсутствии связи между степенями свободы ( г = 0) движение в плоскости (а, х) происходит по инвариантной кривой (рис. 6.5). При включении связи происходит медленная диффузия по а и X. [c.354]

Если /С > 1, то резонансы перекрываются и диффузия по / определяется приближенно квазилинейным выражением (5.4.216) [c.383]

Хотя локальный коэффициент диффузии представляет некоторый интерес и сам по себе, более важно знать среднюю скорость диффузии. Ее можно найти следующим образом. Если пренебречь диффузией вне резонанса (ср. п. 5.56) ), то средняя скорость диффузии пропорциональна доле времени, проводимого траекторией внутри резонанса, которая в свою очередь пропорциональна фазовой площади, занимаемой резонансом. Используя гамильтониан (6.3.29) и учитывая периодичность исходного отображения (6.3.21) по /, получаем для относительной фазовой площади резонанса [c.385]

Диффузия в статических полях. Хотя размер резонанса (6.4.16) может быть велик по сравнению с амплитудой нерезонансных колебаний (6.4.15), именно последние определяют обычно внешнюю диффузию в статических полях. Причина этого состоит в следующем. В статическом случае положение резонанса (по г) определяется условием С0(р/(0ф = dq>ld = n/m и не зависит от или х. Внешняя диффузия за счет столкновений между частицами с изменением u и х относится поэтому к типу, рассмотренному в п. 5.56. Конечно, если дрейфовые резонансы перекрываются, то скорость диффузии определяется глобальной стохастичностью движения. Однако такое перекрытие возможно лишь в исключительных случаях, так как размер резонансов зависит от малого ларморовского радиуса (6.4.16). Поэтому в дальнейшем мы пренебрежем внутренней диффузией. Правда, резонансы несколько усиливают диффузию даже в отсутствие перекрытия, однако средняя скорость диффузии меняется при этом незначительно (п. 5.56). [c.394]

Численные эксперименты показывают, что эволюция переменных действие не имеет, по-видимому, направленного характера, а представляет собой более илн менее случайное блуждание по резонансам вокруг инвариантных торов. Этот процесс называется .диффузией [68]. Обсуждение возникающих здесь вопросов имеется в [68], [146], [167]. [c.204]

Так же как и в системах с двумя степенями свободы, перекрытие резонансов приводит к образованию стохастического слоя конечной ширины и вызывает движение поперек слоя. Новой особенностью диффузии Арнольда является движение вдоль стохастического слоя, которое возникает при взаимодействии по крайней [c.72]

Этo заключение противоречит оценке (3.2.30) и является спорным. Ограничение диффузии на рис. 3.13 объясняется, по-видимому, просто ее малой скоростью на резонансах высоких гармоник. Подобные эффекты наблюдались неоднократно и при меньших 5 (см., например, [475, 4.1] и, [482, 6], где обсуждается также возможный механизм этого явления).— Прим. ред. [c.227]

Типичный пример диффузии Арнольда в присутствии связи показан на рис. 6.6. Четырехмерная поверхность сечения (а,, г, Р, у) представлена здесь двумя проекциями (а, х) и ([ , у), которые для удобства совмещены на рисунке. Начальные условия выбраны внутри резонанса по х и в пределах тонкого стохастического слоя по у. Численное моделирование показывает, что движение по у остается внутри стохастического слоя, пока колебания по. V не достигнут своей сепаратрисы. Последовательные стадии диф фузии по X под действием стохастических колебаний по у показаны на рис. 6.6, б—г. Это и есть диффузия Арнольда, поскольку на поверхности сечения она идет вдоль стохастического слоя резонанса по у. При дальнейшем движении диффузия охватывает большую часть [c.350]

ПЛОСКОСТИ (а, х). В частности, наблюдались переходы диффузии из одного стохастического слоя ( /-резонанса) в другой (х-резо-нанса), а также в толстый слой. Эти эффекты показаны на рис. 6.7 в проекции (а, 5) для х у 0. Траектория случайно блуждает по тонким и толстым слоям, проводя большую часть времени в последних. [c.351]

Если движение, описываемое гамильтонианом (6.2.50), связано с третьей степенью свободы, то неравенство (6.2.53) есть также условие модуляционной диффузии. Если же возмущение меньше этой границы, то остается только диффузия Арнольда. Отметим неожиданное следствие оценки (6.2.53) чем меньше частота модуляции, тем ниже граница перекрытия по возмущению к сс Q ). На первый взгляд это противоречит нашей интуиции об адиабатических возмущениях, согласно которой с ростом отношения частот влияние резонансов уменьшается ). Это противоречие разрешается, если принять во внимание, что стохастичность связана с прохождением резонанса, а это происходит только дважды за период модуляции 2я/Й. Поэтому при Q -> О скорость диффузии также стремится к нулю. [c.367]

Диффузия вдоль мультиплета. Вернемся к гамильтониану (6.2.48). Диффузию вдоль перекрывающихся резонансов мультиплета (по /а) можно вычислить в модели стохастической накачки. Продольная часть гамильтониана имеет вид [c.369]

Неясно, однако, справедлива ли эта поправка в случае длительной диффузии при многократном попадании в резонансы. Как бы то ни было, эта поправка составляет всего около 50 %. По-видимому, такого же порядка и другие ошибки, в частности, из-за приближений вблизи сепаратрисы ). Поэтому можно принять выражение (6.3.33) в качестве разумной оценки средней скорости диффузии. [c.385]

На рис. 6.19, б показано то же самое в новых переменных 1, /г, так что внешняя диффузия с коэффициентом D идет теперь по линии /2, а вектор резонанса т направлен по / . При этом величина Dx и угол а 5 не изменяются. Наконец, на рис. 6.19, в мы еще раз переходим к новым переменным [c.386]

В отличие от дрейфовых резонансов нерезонансные колебания захваченных частиц (6.4.15) существуют везде. Рассеяние частиц изменяет их и и fx и может переводить частицы из захваченных в пролетные, и наоборот. В результате частицы смещаются по ра диусу. В зависимости от частоты столкновений возможны три ре жима диффузии. [c.394]

Обе частоты <в и (0 пропорциональны и ц, и при I Ф О положение резонанса зависит от иц. В статическом поле (со =0) Уц исключается из резонансного условия, и резонанс, казалось бы, не может смещаться по г. Это, однако, правильно, за исключением важного частного случая Уц =0, когда условие резонанса автоматически выполняется при любом г. Фактически в рассматриваемом ниже примере скорость диффузии (6.4.40) вообще не зависит от со (при 5 <<С 1). В частности, численные данные на рис. 6.25 относятся как раз к диффузии в статическом поле.— Прим. ред. [c.396]

Пусть начальное распределение стабильных пузырьков по радиусу описывается некой функцией п (В), спадающей с ростом В (кривая 1). При наложении звукового поля в пузырьки диффундирует растворенный в жидкости газ. По-видимому, наибольший диффузионный поток присущ тем пузырькам, собственная частота колебаний которых совпадает с частотой звукового поля. В силу такой избирательности действия звука в зависимости от выбора частоты колебаний и существующего распределения пузырьков в перекачке растворенного газа участвует большее или меньшее их число. На этой стадии дегазации действует диффузионный механизм процесса, связанный с колебаниями пузырька и микропотоками. Увеличение размеров пузырьков вследствие диффузии вызывает изменение начальной кривой их распределения в соответствии с длительностью, частотой и интенсивностью звука. Новая кривая распределения пузырьков 2 сдвинута относительно начальной кривой в сторону больших значений их радиусов и обладает максимумом, соответствующим резонансу пузырьков на частоте звукового поля. Площади фигур, ограниченных начальной кривой распределения, и кривой, полученной после озвучивания, определяют объем газа, содержащегося во всех пузырьках до и [c.320]

По-видимому, имеется в виду нерезонансная диффузия вблизи резонанса. Согласно работе [71], эта поправка становится заметной только при 5 > 10. С другой стороны, соотношение (6.3.33) совпадает с точностью лучшей 10 % с результатом Рютова и Ступакова [357], полученным ранее другим методом. Поэтому поправка Коэна и Раулэндса остается проблематичной. Если понимать ее как результат прохождения резонанса, то в рассматриваемом режиме Будкера (5 > 1) прохождение является медленным, и средний эффект многих прохождений близок к нулю (см. [467]).— Прим. ред. [c.385]

Процесс диффузии является пороговым по напряженности поля. Порог обусловлен перекрытием нелинейных резонансов [11.4-11.5]. Оценка величины критического поля для квазиконтинуума ридберговских состояний получена в работе [11.6 [c.291]

При взаимодействии трех резонансов скорость диффузии Арнольда была найдена Чириковым [70] и Теннисоном и др. [406] ). Это рассматривается в гл. 6. В общем случае взаилюдействия многих резонансов строгая оценка сверху была получена Нехороше-вым [314]. Однако, вообще говоря, она значительно завышает скорость диффузии. Обзор численных экспериментов по диффузии Арнольда в области взаимодействия многих резонансов [72 ] дан в гл. 6. [c.73]

В 5.4 было показано, что сильное перекрытие резонансов приводит к внутренней диффузии с такой же скоростью, как если бы фазы возмущения были случайными. Это эквивалентно сильной внешней диффузии, вызываемой посторонним по отношению к системе источником шума. Для задачи о взаилюдействии волна — частица, например, это соответствует большому числу сильных нескоррелированных волн, как предполагается в квазилинейной теории. Таким образом, в пределе сильной стохастичности внутренняя и внешняя диффузии похожи друг на друга ). [c.332]

За достаточно большое время резонансы могут оказать сильное влияние на диффузию даже под действием слабого шума. Так, например, если в системе есть большие (неперекрывающиеся) резонансы, то малое внешнее возмущение люжет перевести траекторию с нерезонансной инвариантной кривой на резонансную. Пусть время. между внешними толчками велико по сравнению с периодом фазовых колебаний. Тогда следующий толчок может произойти уже [c.335]

Основной механизм внутренней диффузии вдоль стохастических слоев называется диффузией Арнольда по имени открывшего ее В. И. Арнольда [12]. Диффузия Арнольда является универсальной в том смысле, что не существует критической величины возмущения, необходимой для ее возникновения, хотя скорость диффузии стрелштся к нулю при уменьшении возмущения. Численные исследования проведены во многих работах (см., например, [68, 139—143]) сравнение с теоретическими моделями в простейшем случае взаимодействия трех резонансов обсуждается в работах [68, 70, 146] 1). [c.341]

Примером диффузии вдоль слоя перекрывающихся резонансов является модуляционная диффузия (п. б.2г). В этом случае медленные колебания одной из основных частот приводят к появлению боковых резонансов, которые могут перекрываться в определенной области параметров. Эта диффузия не универсальна, т. е. существует определенная величина возмущения, ниже которой боковые резонансы не перекрываются. Интересно отметить, что перекрытие вoз южнo, даже если частота модуляции мала по сравнению с людулпруемой частотой. Этот результат, казалось бы, противоречит интуитивному представлению об адиабатическом поведении в таком случае ). Возможно, что модуляционная диффузия существенна для динамики пучков в накопительных кольцах [2П, 404] ). [c.342]

Как и в случае диффузии Арнольда, здесь существует область Нехорошева (п. 6.2в), в которой диффузия идет под действием комбинационных резонансов высоких гармоник. Для модуляционной диффузии такой режим наблюдался, по-видимому, в численных экспериментах Г513].— Прим. ред. [c.375]

В этом случае фаза 0 является полностью стохастической, и диффузия не зависит от внешнего шума по параметру х. При т 1 внешний шум полностью хаотизирует 0 за одну итерацию отображения, и скорость диффузии оказывается предельной (6.3.26) независимо от величины К- Нас, однако, интересует случай совместного действия резонансов и внешнего шума (ср. п. 6.3а), который имеет место при выполнении условий [c.383]

Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых систем. Здесь для 2я-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при помощи теоремы Четаева о неустойчивости доказаны утверждения о неустойчивости при наличии резонансов третьего и четвертого порядков и рассмотрены различные аспекты задачи об устойчивости движения в многомерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда по устойчивости для большинства начальных данных, формулируется и доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости гамильтоновых систем, рассматриваются основные результаты исследований Нехорошева об оценке скорости диффузии Арнольда [78—81] в многомерных гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. [c.12]

Дополнительный член I)V M характеризует вклад от диффузии спинов в скорость изменения намагниченности, рассматриваемой гидродинамически. Строго говоря, Mq = хоЯо(г) также является функцией координат, и можно показать [4], что эта зависимость учитывается введением в (III.44) дополнительного члена— (Мо). Его влияние совершенно незначительно для малых градиентов поля, которые имеют место в экспериментах по ядерному магнитному резонансу, и мы не будем его учитывать. Пусть Ну. = Ну = О, Hz = Hq— средние значения внешнего поля в пределах образца. В каждой точке образца напряженность магнитного поля Н (г) будет несколько различаться вследствие несовершенства магнита. Малые изменения составляющих поля вдоль осей хну приводят к поправке к ларморовской частоте только во втором порядке, и ими можно пренебречь. Если образец достаточно мал, пространственная зависимость Н в пределах образца в первом приближении может быть записана в виде [c.59]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...