Решеточная модель Изинга

Из сказанного следует, что теория критического состояния должна исходить из определяющей роли флуктуации. В настоящее время такая микроскопическая теория отсутствует пока удалось построить лишь теорию двумерного решеточного газа (модель Изинга). [c.260]

Следовательно, как заметили Ли и Янг в 1952 г., каждый результат модели Изинга можно перевести в результат для модели решеточного газа. [c.361]

Чтобы выполнить эту широко задуманную программу, Вильсон снова рассмотрел систему спинов. Однако оказалось, что простая модель Изинга недостаточно гибка (т. е. не содержит достаточного числа параметров) для того, чтобы удовлетворить всем условиям для таких исследований требуется более общая модель. Прежде всего было введено предположение, что индивидуальные спины могут принимать любые действительные значения, заключенные между —оо и +оо (вместо всего двух значений —1 и +1). Кроме того, дискретная решетка была заменена идеализированным непрерывным распределением спинов по всему пространству. Такое приближение должно быть допустимым для явлений дальнего порядка, захватывающих большое число решеточных узлов, что, очевидно, и имеет место в случае критических явлений. Следовательно, вместо счетного набора динамических переменных Sr, нумеруемых дискретными радиус-векторами узлов решетки г, мы имеем теперь непрерывный набор спиновых переменных, которые задаются в каждой точке пространства, т. е. система описывается спиновым полем s (х). Поле s (х), как и любую [c.387]

Простым изменением обозначений можно в модели Изинга перейти от ферромагнетиков к другим системам, к которым относятся, в частности, решеточный газ и бинарные сплавы. [c.364]

Чтобы установить соответствие между решеточным газом и моделью Изинга, положим, что занятые узлы решетки соответствуют узлам со спином, направленным вверх, а пустые узлы—узлам со спином, направленным вниз. Тогда В модели Изинга набор чисел [c.366]

Путем сравнения выражений (16.19) и (16.11) можно получить приведенную ниже таблицу соответствия между моделью Изинга и моделью решеточного газа. Таким образом, имея решение для модели Изинга, можно сразу получить простым изменением обозначений решение для модели решеточного газа. [c.366]

Модель Изинга Решеточный газ [c.366]

Изучением термодинамики квантовых решеточных систем занимался Робинсон [326, 327], который доказал две следующие теоремы )- Пусть //(О) е Э (О) — гамильтониан, определенный для конечной системы 2 (рассматриваемой независимо от остальной части решетки). Например, в модели Изинга [c.380]

Предлагаемая вниманию читателей книга является монографией, посвященной описанию двумерных решеточных моделей в статистической физике, допускающих аналитическое решение. Анализ свойств решений таких моделей оказался чрезвычайно полезным для понимания поведения сложных реальных систем. Прежде всего следует напомнить о той важнейшей роли, которую исторически сыграло решение Онсагером модели Изинга. Эта модель, которая в пятидесятых годах рассматривалась как некоторая модель ферромагнетизма и интересный объект для математических упражнений, в шестидесятых годах после работ Янга и Ли стала важнейшим источником информации о свойствах фазовых переходов. Начиная с семидесятых годов представления и результаты теории модели Изинга и других двумерных решеточных систем, такие, как скейлинг, универсальность и т. д., стали плодотворно использоваться в теории поля. В самое последнее время указанные представления стали активно использоваться в теории нелинейных динамических систем при описании хаоса. [c.5]

Используя также (1.9.5)—(1.9.7), (1.7.6), (1.7.14) и (1.7.18), можно выразить характеристики решеточного газа через параметры модели Изинга [c.34]

Изученное общее поведение модели Изинга можно теперь использовать, чтобы получить вид уравнения состояния решеточного газа. Чтобы сделать это, рассмотрим некоторое фиксированное значение Т. Тогда (1.9.15) и (1.9.16) позволяют определить Р и р как функции Н. Используя также (1.7.14) и (1.7.20), легко показать, что [c.35]

Резюмируем результаты этого раздела. Модель Изинга магнетика является одновременно и моделью решеточного газа просто в одном случае мы говорим на языке теории магнетизма (спины, направленные вверх или вниз), а в другом — на языке молекулярной теории (узлы, занятые или пустые). Критические показатели X, /3, 7, 7, ск во втором варианте определяются соотношениями (1.9.25) и (1.9.28) — (1.9.30). [c.37]

Данное выражение для Z очень похоже на статистическую сумму (1.8.2) модели Изинга. Действительно, в разд. 1.9 показано, что общая модель Изинга с взаимодействием между ближайшими соседями во внешнем поле эквивалентна решеточному газу с взаимодействием между ближайшими соседями. Модель жестких гексагонов представляет собой предельный случай последней. [c.402]

Рис. 1.11. а — конфигурация частиц в модели Изинга. Она может описывать б — расположение спинов в — расположение атомов в бинарном сплаве г — расположение частиц в решеточном газе . [c.33]

Однако для физически реальных решеток можно привести лишь небольшое число точных формул, определяющих функцию Р (р) или хотя бы величину р (см., например, [103]), Математически теория протекания тесно связана с другими решеточными задачами, возникающими в теории неупорядоченных систем, например в модели Изинга ( 5.10) и в сегнетоэлектрических моделях ( 5.8), а также в связи с проблемой исключенного объема в полимерах ( 7.8). Однако эти аналогии формальны, абстрактны и не имеют большого практического значения [104, 105]. [c.434]

Метод Монте-Карло неоднократно применялся [41] для исследования родственных между собой дву- и трехмерных моделей решетки Изинга, решеточного газа, а также моделей, описывающих фазовое превращение порядок — беспорядок в бинарных сплавах. Мы, по сути дела, ограничимся лишь перечислением тех работ, которые нам известны, так как эти модели не имеют прямого отношения к теории жидкости. Исключение представляет модель решеточного газа с многими соседями, с помощью которой можно попытаться исследовать характер возможного фазового перехода в системах твердых дисков и твердых сфер к сожалению, эта модель очень слабо исследована методом Монте-Карло. [c.321]

Так как самые яркие критические явления (флуктуации плот ности, критическая опалесценция, аномалии удельной теплоем кости и т. д.) наблюдаются лишь вблизи критической точки, то вполне естественно отсчитывать соответствующие приведенные переменные от этой точки и определять подходящие критические индексы. Все это пространно обсуждается в учебниках (например, [1.21, 1.221 и [9]). Действительно, с помощью модели решеточного газа нетрудно составить список термодинамических аналогов намагничивания и исследовать критические явления в текучих средах в тех же терминах, что и при описании ферромагнетиков Изинга и других подобных систем с беспорядком замещения. Критические индексы текучих сред хорошо определяются эмпирически и (с учетом масштаба) следуют типичным закономерностям ( 5.12), очень близким к тем, что характерны для магнитных систем (см., например, [10]). [c.259]

Имеющиеся в литературе значения критических амплиту) получены для трехмерной модели Изинга (магнитный вариант) при значениях критических показателей а=0,125 р=0,3125 Y=1,25 6=5. В табл. 3.3 приведены их значения для разли ных решеток модели решеточного газа (РГ), пересчитанные ш данных [154—157] для. магнитной модели (М) по соотноше ниям [24] [c.100]

В модели Изинга фазовый переход обладает симметрией, ко-юрая выражается в том, что поле является нечетной функцией магнитного момента, а свободная энергия и энтропия — четными функциями. Модель решеточного газа, как и изоморфная модель Изинга, имеет такую же симметрию зависимость h от Ц на изотермах является антисимметричной функцией, а плотности сосуществующих фаз симметричны относительно критической изохоры. [c.113]

Прежде чем переходить к другим вопросам, заметим, что модель Изинга может дать также схематическое описание жидкости. Действительно, рассмотрим так называемый решеточный гол. Представим себе, что физическое пространство разделено на большое число ячеек, центры которых, расположенные в узлах решетки, пронумерованы. В каждой ячейке может располагаться одна и только одна молекула (это условие отображает наличиетвердого ядра, размер которого, таким образом, равен размеру ячейки). Состояние системы, следовательно, задается числом заполнения каждой ячейки, причем = 1, если ячейка заполнена, и = О, если она пуста. Предполагая, что суш,ествует постоянный потенциал взаимодействия, равный —если оба соседних узла заняты, легко показать, что большая статистическая сумма такой системы имеет вид [c.361]

Однако, имея в виду использование аппарата корреляционных функций и функций 1 ина [23, задачу Изинга можно сфорцулировать на языке операторов вторичного квантования и проследить (в рамках модели Изинга) эквивалентность теории магнетизма, решеточного [c.5]

На примере аналога модели Изинга — решеточном газе.) Очевидно, что полученные таким образом равновесные состояния для конечных объемов не будут обладать симметрией относительно изменения направлений всех спинов на обратные. Следовательно, состояние Гиббса, полученное в результате предельного перехода для таких состояний, в общем случае также не будет обладать симметрией относительно изменения направлений всех спинов на обратные. Таким образом, не исключено, что, изменяя граничные условия, мы сможем очень тонко нарушать симметрию теории и выделять одни термодинамические фазы, подавляя другие. Тем самым мы получаем еще одну схему для исследования спонтанного нарушения симметрии. Такой подход был успешно использован в работах Добрушина [80, 81] и некоторых других авторов (см., например, работы Гинибра [134, 135] и Робинсона [328]). [c.359]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Аналитическое решение двумерных моделей, более сложных, чем модель Изинга, потребовало значительных усилий. Но эти усилия оправдываются полученными результатами. В частности, было выяснено на примере восьмивершинной модели, что гипотеза универсальности может нарушаться, а на примере модели жестких гексагонов было показано, что вошедшее в учебники утверждение об отсутствии линии фазовых переходов второго рода при наличии оси симметрии третьего порядка не всегда справедливо. Как восьмивершинная модель, так и модель жестких гексагонов подробно рассмотрены в книге. К сказанному можно добавить, что многие результаты, полученные для двумерных решеточных моделей, могут быть непосредственно применены при рассмотрении ряда реальных систем, например в теории адсорбции, и других двумерных и квазидвумерных систем. [c.5]

Существуют физики и химики, которые отрицают решеточные модели как нереалистические. Их основной аргумент, выраженый в наиболее крайней форме, состоит в том, что модель, которая может быть решена точно, должна быть непременно патологической. Я считаю такие доводы пессимистической чепухой трехмерная модель Изинга — весьма реалистическая модель, по крайней мере для бинарных сплавов, таких, как латунь. Если предсказания, основанные на принципе универсальности, правильны, то мы должны получить точно такие же критические показатели. Известно, что решение модели Изинга было получено только в случаях одного и двух измерений, но ведь двумерные системы реально существуют [c.7]

Вернемся теперь к проблеме фазовых переходов. Пока полностью были исследованы только два перехода переход Онсагера в двухмерной модели Изинга и эйнштейновская конденсация идеального газа Возе — Эйнштейна. Оба перехода не являются переходами первого рода, а имеют промежуточный характер. Переход Онсагера есть просто переход в точке Кюри, которую можно отождествить е критической точкой расслоения двухмерного бинарного раствора и критической точкой конденсации решеточного газа. Конденсация Эйнштейна, по терминологии Майера и Стритера, есть аномальный переход первого рода. Возможно, что переходы этого рода происходят при температуре на несколько сотых градуса ниже критической точки конденсации. Теория конденсации Онсагера очень сложна, поэтому мы не будем обсуждать ее здесь. Однако мы можем рассмотреть некоторые особенности конденсации Эйнштейна [32]. Более полное изложение вопроса можно найти в соответствующей литературе (см. [5] и библиографию, приведенную в этой работе). [c.74]

В случае решеточного газа выражение для энергии дается по-прежнему формулой (1.23) только под Фаа теперь надо понимать энергию взаимодействия между атомами, а флв = фвв = О обозначают энергии, связанные с наличием дырок . Известное внимание уделялось и моделям квантовых газов [21, 22]. Соответствующий гамильтониан можно получить из выражения (1.17), если считать спиновые переменные операторами. Перепишем (1.17), введя операторы рождения а и уничтожения а, для отклонений спинов от оси квантования 2, и получим прежде всего выражение типа (1.18). Последнее достигается путем объединений слагаемых в произведения вида Это есть с-число, характеризующее заполнение 1-то узла следовательно, его можно рассматривать как спин Изинга Ог. Однако наличие некоммутирующих операторов приводит к появлению и других недиаго-налъных взаимодействий, описываемых произведениями вида [c.35]

Этот переход ярко проявляется в модели решеточного газа. Если начать с малой плотности и увеличивать давление, то мы достигнем такого значения химического потенциала ц, при котором уравнение (6.19) будет иметь два различных корня для п, соответствующих двум различным фазам в равновесии. Переход между этими фазами математически эквивалентен изменению знака спонтанной намагниченности Г в ферромагнетике Изинга, когда внешнее магнитное поле Н проходит через нуль. Таким образом, конденсация пара в жидкость происходит за счет сил притяжения меяеду атомами или молекулами независимо от деталей расположения этих атомов в более плотной фазе. Эту точку зрения очень ясно выразил Уидом [8]. [c.257]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...