Стержни Деформации — Уравнения совместности

При расчете статически неопределимой системы на основании геометрического метода определения перемещений (см. 1.3) надо составить для нее р уравнений статики. Далее следует, рассмотрев совместную деформацию элементов системы (картину деформации или картину перемещений), составить зависимости между абсолютными удлинениями стержней, которые называются уравнениями совместности перемещений (уравнениями совместности или уравнениями перемещений) в геометрической форме. Число уравнений совместности должно равняться к системы. Затем надо выразить входящие в эти уравнения AI-, пользуясь (11.10) или (11.19), через (V, и АТ , где / — номер стержня или участка, в результате чего получим к уравнений совместности в физической форме. Уравнения статики в совокупности с уравнениями совместности в физической форме образуют систе- [c.57]

Для определения усилий необходимо установить зависимость между деформациями стержней. Для этого вычерчивают деформированную схему системы, из которой и устанавливают нужные зависимости. Полученная зависимость между деформациями называется уравнением совместности деформаций системы и представляет собой геометрическую сторону задачи. [c.103]

Одной из важнейших задач сопротивления материалов является оценка жесткости конструкции, т. е. степени ее искажения под действием нагрузки, смещения связей, изменения температуры. Для решения этой задачи необходимо определить перемещения (линейные и угловые) любым образом нагруженной упругой системы (балки, рамы, криволинейного стержня, фермы и т. д.). Та же задача возникает при расчете конструкций на динамические нагрузки и при раскрытии статической неопределимости системы. В последнем случае, как уже отмечалось, составляются так называемые уравнения совместности деформаций, содержащие перемещения определенных сечений. [c.359]

Чтобы составить уравнение совместности деформаций, необходимо представить систему в деформированном виде и непосредственно из чертежа (геометрически) установить зависимость между деформациями различных стержней (частей) системы. [c.70]

Для расчета статически неопределимых систем растяжения-сжатия по допускаемым напряжениям обычно используют способ сравнения деформаций. Систему изображают в предполагаемом деформированном состоянии и непосредственно из чертежа (геометрически) устанавливают зависимости между деформациями различных частей (стержней) системы, то есть составляют уравнения совместности деформаций (перемещений) в количестве, равном степени статической неопределимости системы. [c.7]

При решении статически неопределимых стержневых систем рассматриваются их статическая, геометрическая и физическая стороны. В первом случае составляются уравнения статики, необходимые для решения данной системы, т. е. система рассматривается неизменяемой. При рассмотрении геометрической стороны задачи систему представляют в деформированном состоянии и составляют уравнения совместности деформаций для этого случая. Физическая сторона задачи состоит в том, что деформации элементов конструкции на основании закона Гука выражаются через неизвестные усилия. Синтезируя эти три задачи, т. е. решая совместно все полученные уравнения, находят неизвестные усилия в стержнях и напряжения в них. [c.64]

Совершенно такой же результат будет получен, если система собрана без усилий при температуре и, а после этого средний стержень нагрет до температуры t > to. Действительно, безразлично в каком порядке осуществляются нагревание стержня и сборка системы. Можно представить себе, что сначала средний стержень нагрет, в результате чего он приобрел удлинение — a t — to)l, и после этого произведена сборка. Заменяя в полученных выше формулах величину б ее выражением через температуру (см. 2.9), получим решение задач о температурных напряжениях. Заметим, что для задач о температурных или монтажных напряжениях в статически неопределимых системах можно применять полностью указанную в начале этого параграфа схему, т. е. составлять уравнения совместности деформаций обьганым способом, но при выполнении пункта 2 учитывать, что полная деформация стержня состоит из упругой деформации и вынужденной несовместной деформации б, которая может происходить от температуры или от несоответствия действительного размера элемента проектному размеру. Поэтому вместо (2.3.1) нужно использовать следующие соотношения [c.54]

Если выбросить из системы р лишних стержней, то из уравнений (2.6.1) найдутся напряжения в каждом из оставшихся, по формулам закона Гука через них выразятся деформации, и мы сможем вычислить перемещения узлов деформации оставшихся п — р стержней будут совместными. Но если лишние стержни не выброшены, то деформации их должны быть определенным образом согласованы с деформациями тех, с которыми они связаны. Поэтому должны быть выполнены уравнения совместности деформаций [c.58]

Чтобы получить уравнение совместности в физической форме, выражаем Д/, через N , сопоставляя для каждого стержня картины усилий и перемещений. Для стержней, у которых эти картины не совпадают (например, для стержня 2 — на картине усилий — растяжение, а на картине перемещений — сжатие), абсолютные удлинения, выраженные через усилия, будут отрицательны. Это означает, что для того, чтобы совместная деформация стержней фермы была возможна, либо усилие, либо удлинение должно переменить знак. Подчеркиваем, что пренебрежение этим правилом приведет к совершенно неверному решению задачи. По (II. 10) [c.62]

Выражают деформации стержней (в уравнении совместности деформаций) через усилия, возникающие от нагрузки, изменения температуры стержня или неточности его изготовления. Получают зависимость между усилиями в стержнях. Она является недостающим уравнением к уравнению статики. Эта зависимость отражает физическую сторону задачи, так как она связана со свойствами материалов, из которых выполнены стержни. [c.103]

При несоблюдении этой зависимости удлинения стержней были бы несогласованными, нижние концы их не могли бы оказаться в одной точке и была бы нарушена целостность конструкции. Итак, уравнение (3.3) следует рассматривать как уравнение совместности деформаций, составленное применительно к рассматриваемой задаче. Если учесть выражения для удлинений стержней при их растяжении постоянной вдоль оси продольной силой, то уравнение (3.3) получим в следующей форме [c.174]

Так как имеется три неизвестных усилия iVi, Л/j и Л/з в вертикальных стержнях, а для системы параллельно направленных сил в плоскости можно составить два независимых уравнения равновесия, конструкция один раз статически неопределима. Следовательно, к уравнениям равновесия необходимо присоединить одно уравнение совместности деформаций. [c.217]

Составляем уравнение совместности деформаций, для чего представляем характер деформации системы (рис. 3.28. й), учитывая, что горизонтальный брус бесконечно жесток и, следовательно, не изгибается. Существенным в рис. 3.28, в является тот факт, что удлинения всех стержней не могут быть какими угодно, они согласованы между собой — через концы трех отрезков, изображающих их, можно провести две прямые линии. При этом для составления уравнения совместности деформаций несущественно, в какую сторону наклонится брус, да мы заранее этого и не знаем. Уравнение совместности деформаций имеет вид [c.217]

В статически неопределимой системе (рис. 32) положение точки А после деформации связывает между собой удлинения всех трех стержней чтобы была соблюдена совместность деформаций, необходимо, чтобы эти удлинения находились между собой в определенном отношении это условие и дает добавочное уравнение (4.4) для определения неизвестного усилия. [c.68]

Совсем иначе поведет себя статически неопределимая конструкция, изображенная на рис. 32. Пусть средний стержень будет сделан короче, чем следует, на длину ЛЛо=б (рис. 35). Чтобы соединить конец среднего стержня А а с концами А крайних стержней где-то в точке Ai, необходимо средний стержень растянуть на длину Д/з= =Л Л1, а крайние сжать на длину Ali=ABi=A 2. Проводя в точках Сз и Ва перпендикуляры к первоначальным положениям крайних стержней, как описано в 18, получаем точку соединения концов всех трех стержней Ai. Из чертежа получаем уравнение совместности деформаций стержней [c.72]

Переменность сечения и различие в материалах необходимо учесть при подсчете А/, определяя его суммированием подсчетов, сделанных по каждому отдельному участку. Возможность для стержня несколько изменить свою длину отразится в уравнении совместности деформаций (4.22) разность деформаций, температурной и вызванной силами, в i [c.79]

Для такой схемы подкрепления при /п= 1, =/=1, Vj=0 из уравнения совместной деформации шпангоута и стержня (2.91) получим следующее выражение для реактивной радиальной силы в узлах сопряжения [c.67]

Для построения уравнения совместности деформаций изображаем предполагаемую схему деформаций. Она указана на рис. 2.6. Здесь пунктирными линиями изображено деформированное состояние стержней, А и В — положения узлов А и В после деформации. А А и В В" — перпендикулярны осям стерж- [c.55]

Уравнения совместности деформаций здесь строятся так же, как и в п. А. Изменяется лишь формула для удлинения стержня 1. Согласно формулам (2.5) и (2.6) имеем [c.57]

Первое из этих уравнений было выведено на основании равновесия сил, действующих в направлении оси стержня, а второе из уравнений совместности деформаций. Постоянную С, которая была написана в формуле указанного параграфа, можно, как показывает формула (5) предыдущего параграфа, положить равной 2G . [c.59]

Конечно, можно найти такие распределения температур по системе при ее нагреве, чтобы ее деформация не сопровождалась возникновениями усилий в стержнях. Например, для показанной на рис. 4.34 фермы нагрев 3-го стержня можно сопровождать таким охлаждением 1-го и 2-го стержней, чтобы их температурные удлинения и укорочения полностью компенсировались, т.е. удовлетворяли условию (4.6.17). Тогда в ферме никаких усилий не возникнет. При решении это обстоятельство выразится в том, что уравнение совместности деформаций после перехода к усилиям станет однородным. А это вместе с однородностью уравнений равновесия приведет к единственному нулевому решению. [c.98]

All так, чтобы нижние концы всех стержней расположились на одной горизонтали. Отсюда получим уравнение совместности деформаций [c.78]

Для учета деформации кручения при решении задачи о распределении давления на витки резьбы по высоте гайки необходимо уравнение совместности деформаций дополнить членами (слагаемыми) и Ад/2, представляющими собой некоторые приведенные осевые деформации стержня болта и тела гайки, эквивалентные деформации кручения соответствующих деталей. Знак этих членов определяется в зависимости от того, навинчивается ли виток на стержень болта (тело гайки) или развинчивается . [c.322]

Проверка показывает, что такое предположение не противоречит ни уравнениям равновесия, ни уравнениям совместности деформаций, ни граничным условиям на боковой поверхности стержня. Что же касается торцов стержня, то на них, с одной стороны, выполняется равенство (4.2) и, с другой стороны, [c.241]

Рассмотрим теперь совершенно произвольную стержневую систему самого общего вида пусть степень ее статической неопределимости равна р при числе стержней п. Занумеруем стержни цифрами от единицы до п, пусть длина стержня номер I есть напряжение в нем а,., удлинение А/,, относительная деформация Уравнения совместности деформаций в случае малых перемещений связывают удлинения стержней линейными соотношениями. Эти соотношения однородны, если не вводятся в рассмотрение натяги или зазоры, то есть не принимаются во внимание монтажные напряжения. Удлинения всегда можно заменить относительными деформациями, поэтому [c.55]

Предположим, что в стержне номер г напряжение наибольшее. При увеличении внешней нагрузки в этом стержне прежде всего наступает текучесть. Считая пластичность идеальной, рассмотрим следующую стадию работы конструкции. Напряжение в стержне номер г остается постоянным, а .=о , для этого стержня закон Гука становится несправедлив, так как на пределе текучести деформация может быть произвольной. В уравнениях (26.3) появляется лишняя, неопределенная величина Исключая из этих уравнений е,, получим уже р—1 уравнение совместности для деформаций оставшихся стержней в числе п—1. Так как число уравнений равновесия осталось прежним, система будет содержать всего п — 1 уравнение. Таким образом, переход в пластическое состояние одного из стержней как бы понижает на единицу степень статической неопределимости системы. Среди оставшихся упругими стержней [c.56]

ОДИН будет напряжен больше остальных, пусть это стержень номер 5. При дальнейшем увеличении нагрузки этот стержень перейдет в пластическое состояние в уравнениях (26.4) мы положим о =о , из уравнений (26.3) исключим удлинения 8, и получим р — 2 уравнения совместности и так далее, до тех пор, пока в пластическое состояние не перейдет р стержней. Появление пластической деформации в следующем стержне определяет предельную нагрузку, так как после этого система становится изменяемой. [c.57]

Для вычисления усилий в стержнях, как это указывалось ранее, следует иметь еще одно уравнение, называемое уравнением совместности деформаций. Это уравнение получают из геоме фических соотношений, существующих между деформациями элементов заданной конструкции. Запишем подобное уравнение для рассматриваемой задачи. [c.24]

Реакция фундамента Кд =-р f400-2.5 = 10 ООО кГ. Суммарное удлинение обеих частей стержня Д=10- /гл1. Уравнение совместности деформаций [c.258]

Поскольку для определения двух неизвестных реакций имеется только одно уравнение, необходимо составить дополнительное уравнение совместности деформаций. Удлинение среднего стержня А/з в связи с си лметрией системы будет связано с удлинением стержня I уравнением [c.135]

Обсуждение статической неопределимости закона распределения напряжений по поперечному сечению стержня показало, что при наличии в стержне отверстий, выточек и тому подобных нерегулярностей формы возникает резкая неравномерность распределения напряжений со значительными пиками вблизи указанных нерегулярностей. Это явление носит па. атптконцгнтрации напряжений. Оно обнаруживается не только при осевой, но и при всех других видах деформации стержня, а-также при деформации элементов любой формы (не только стержневых). С этим явлением приходится считаться как при конструировании элементов конструкций и деталей машин, так и при расчете их. Выявить распределение напряжений с учетом их концентрации можно двумя путями теоретическим и экспериментальным. Теоретический путь основан на применении теории сплошных сред (теории упругости, теории пластичности, теории ползучести — в зависимости от свойств материала), в которой вместо гипотез геометрического характера используются дифференциальные уравнения совместности деформаций, а равновесие соблюдается для любого бесконечного малого элемента тела, а не в интегральном (по поперечному сечению) смысле, как это делается в сопротивлении материалов. [c.99]

Рис, 3,28. К примеру 3.4 а) вид статически неопределимой системы б) система с рассеченными вертик 1льным стержнями (к составлению уравиегций равновесия) в) вид деформации системы (к составлению уравнения совместности дефор маци fi). [c.217]

Уравнения совместности перемещений точек оси стержня, углов поворота триедра осей и параметров деформации (шесть уравнений в проекциях на оси) [c.368]

Алгоритм решения СН задач отличается от указанного 2.1 так же, как и соответствующие методики для стержней (см. 1.1, 1.2),аименно, только усложнением п. 1. Уравнения совместности деформаций при этом также являются следствием аксиомы 1 и находятся из условия совпадения перемещений концов стержней, сходящихся в одном узле. Они должны быть независимыми, и их число обязано совпадать со степенью статической неопределимости системы. [c.53]

Итак, из самого условия задачи ясно, что г будем искать из условия прочности собранной конструкции (см. п. 4.9.2), для чего падо знать напряжения, а значит, — продольные силы в стержнях конструкции. Последние определим, составив уравнения равновесия для узлов А и С собранной конструкции и уравнение совместности деформаций, которое получим, связав деформацию стержня АС с деформациями стержней АВ и СВ (см. рисунок). [c.491]

Здесь равно 1. Найдем реакции R опор (см. рисунок), воз-никаюш,ие при нагреве стержня на АТ градусов. Задача, как видим, статически неопределимая. Запишем уравнение совместности деформаций суммарное удлинение стержня RI [c.515]

На боковую поверхность в плоскости поперечного сечения действует распределенная нагрузка, постоянная по длине стержня. Так как по торцам стержня отсутствуют перерезывающие силы и крутящие моменты, то распределенные усилия предполагаются самоурав-ньвешенными. При указанных условиях можно считать, что деформации (и напряжения) не изменяются вдоль оси стержня (оси г) и из уравнений совместности деформаций следует, что [c.319]

Если фер>1а статически неопределима, принципиальная схема расчета остается той же, какая была сформулирована в начале этого параграфа составляются геометрические уравнения, связывающие возможные удлинения стержней при произвольных перемещениях узлов фермы, после чего мысленно вырезаются узлы и для каждого узла составляются уравнения равновесия. Технически выполнение этого расчета оказывается довольно сложным, основная трудность состоит в составлении уравнений совместности деформаций. Разлнч- [c.52]

Во многих инженерных задачах расчета конструкций внутренние силы в стержнях не могут быть определены с помощью одних уравнений статики лишь потому, что число неи звестных сил а яих конструкциях больше числа уравнений равновесия. Такие задачи называют статически неопределимыми. Для их решения систему уравнений равновесия дополняют недостающим и уравнениями совместности деформаций, отражаюшнмл осо-г енносги работы конструкции, и соотношениями, выражающими ззаисимость перемещений - лементов конструкций от сил. [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...