Способ Канторовича

Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85]

В способе Л. Б. Канторовича краевая задача для уравнения в частных производных (Пуассона) заменена краевой задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Но можно вообще избегнуть решения дифференциальных уравнений, а свести задачу к линейной алгебраической системе уравнений, задавая целиком форму решения и распоряжаясь неизвестными введенными в него постоянными. Например, полагаем для прямоугольника [c.418]

Применение способа Л. В. Канторовича дало почти такую же точность уже в первом приближении. Этого можно было [c.418]

Трапецеидальное сечение. Конечно, успешная применимость способа Л. В. Канторовича связана с возможностью проинтегрировать получающееся дифференциальное уравнение. Еще одним таким примером может служить случай трапецеидального сечения. Оно ограничено прямыми [c.419]

Приближенные решения. Рассматривается задача изгиба силой с линией действия, проходящей через центр жесткости, симметричного профиля, ограниченного кривыми а = 0(г )= = ст1 и отрезками прямых ц = Ьи ц = Ьг. Решение вариационного уравнения (4.6.3), удовлетворяющего краевому условию (4.6.4), задается в соответствии со способом Л. В. Канторовича (п. 3.14) в виде [c.441]

К методу Л. В. Канторовича близко примыкают некоторые способы сведения задачи расчета оболочки как трехмерного тела к последовательности двумерных задач. Например, упомянутый в гл. 4 способ вывода функционала Лагранжа для оболочки из трехмерного функционала Лагранжа на основе гипотез Кирхгофа — Лява можно рассматривать как получение первого члена такой последовательности. [c.175]

Прежде чем анализировать результаты решения этой задачи, отметим следующее. Поскольку точное решение этой задачи неизвестно и сходимость метода не доказана, представляют интерес различные способы проверки полученных результатов. Один из таких способов состоит в сравнении результатов, полученных различными методами. В данной работе сравниваются результаты, полученные методами последовательных приближений и Ньютона-Канторовича. Другой способ проверки состоит в следующем. После того, как задача уже решена и определена форма отверстия в конечном состоянии, задача решается заново, но уже в координатах конечного состояния. Если при каких-то напряжениях на бесконечности решение задачи в координатах промежуточного состояния и результаты пересчета этой же задачи в координатах конечного состояния значительно различаются, это свидетельствует о том, что при таких напряжениях на бесконечности метод неприменим. [c.158]

Способ образования последовательности х по формуле (V.3) и называется методом Ньютона-Канторовича. [c.237]

Способ решения основных задач, изложенный в настоящем параграфе (это изложение воспроизведено без существенных изменений из предыдущих изданий книги), несколько более подробно и с некоторыми интересными добавлениями приведен в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [1], глава VL [c.230]

Таким образом, решение системы уравнений метода перемещений (метода сил) с использованием итерационного способа Ньютона — Канторовича состоит в том, что выбирается вспомогательная система и рассчитывается на заданные воздействия по методу перемещений (сил). В результате этого расчета получим значения неизвестных перемещений (неизвестных метода сил), а затем вычислим невязки, для чего узлам действительной нелинейной системы сообщают смещения (в разрезах приклады- [c.114]

Исходные данные для расчета приведены в табл. 5— 9. По этим данным можно составить соответствующие уравнения и решить их итерационным способом Ньютона — Канторовича. Такой расчет был проведен механизированным способом на ЭВМ М-20 по специально разработанной программе [6]. Результаты расчета представлены в табл. 10 (изгибающие моменты) и в табл. 11 (натяжения). Кроме того, на рис. 62 приведены эпюры моментов в стволе мачты для некоторых из исследуемых вариантов. [c.171]

Методы Рэлея (1877), см. уравнения (4.57)—(4.61), Ритца (1908) — Тимошенко (1910), Бубнова (1913) — Галеркина (1915) и Треффца (1933) предлагают различные способы приближения w к действительному значению на оснтзе приведенных выше вариационных принципов. По методу В. 3. Власова (1946) —Л. В. Канторовича (1942) решение задается в форме ряда [c.11]

Любой из распространенных способов применения линейного программирования является целевой функцией в виде суммы дохода, экономии или затрат, решаемой математическим методом, с помощью которого отыскивается такая оптимальная комбинация использования ресурсов, при которой целевая функция достигает наиболее выгодного (максимального или минимального) значения. После того, как найден оптимальный план использования ресурсов — будь то единицы разнообразного оборудования на фанерном заводе, давшие повод Л. В. Канторовичу впервые в мире предложить и обосновать метод [11 ], будь-то маршруты перевозок в транспортной задаче или дефицитные материалы, оптимальное использование которых составляет вопрос народнохозяйственного значения — во всех случаях можно однозначно (детермини-рованно) предсказать материальный и экономический результат оптимального плана, а его осуществление, с другой стороны, не требует никаких дополнительных математических исследований. Примерно так же обстоит дело с методом оптимального управления Л, С. Понтрягина [21 ], когда с помощью вариационного исчисления выбирается оптимальная в заданном отношении программа последовательных изменений материальной системы — будь-то прокатный стан, выполняющий заданную операцию, агрегат на химическом заводе, метеорологическая ракета, самолет при посадке и пр. [c.8]

Остроградского. Приводятся соответствующие примеры. Далее рассматриваются методы точного и приближенного (включая методы Ритца, Галеркина, Канторовича) определения частот и форм собственных колебаний, а также даются способы нахождения вынужденных колебаний с учетом внепгних и внутренних потерь в материале. В заключение излагаются вопросы устойчивости упругих систем, включая неконсервативные задачи упругой устойчивости. Изложение этой части проводится на примерах стержня, нагруженного следящей силой, трубопровода с движущейся жидкостью и вращающего вала. [c.12]

В этот очерк не включены приближенные способы решения, основанные на применении вариационных принципов (методы Ритца — Тимошенко, Галеркина, Канторовича). Практика их применения развита в монографии Л. С. Лейбензона (1951). Большое число исследований посвящено изучению сходимости вариационных методов и оценкам погрешности (в ряде случаев двусторонним) приближенных решений (С, Г. Михлин, М. Г. Слободянский). [c.17]

Обширные исследования в области технологии поверхностного упрочнения методом термической и химико-термической обработки появились лишь за последние годы. К ним относятся работы Н. А. Минкевича и В. И. Просвирина по цементации, И. Е. Канторовича, С. В. Юрьева, Ю. М. Лахтина по азотированию, В. П. Вологдина по технологии поверхностной закалки нагревом токами высокой частоты. Упрочнение путём накатки во многом получило освещение в работах Н. П. Зоб-нина и М. М. Кобрина. Развитие и теоретическое обобщение различных способов упрочнения получило в работах С. В. Серенсена, [c.576]

Идея представления решений граничных задач рядами по ортогональным функциям есть одна из основных идей математической физики и различные ее реализации применялись неоднократно. Достаточно подробный обзор соответствующих результатов и их применений можно найти, например, в известной книге Л. В. Канторовича и В. Й. Крылова Приближенные методы высшего анализа (Гостехиздат, 1949, М.—Л.). Главное затруднение, с которым приходится иметь дело при пользовании этим способом, состоит в указании систем функции, по которым следует разлагать искомое решение, для того чтобы обеспечить сходимость к точному значению. Кроме того, во многих случаях необходимо иметь функцию Грина и ей подобные другие функции, чтобы завершить доказательство сходимости. Дополнительные трудности возникают при рассмотрении задач с многосвязными областями. Способ обобщенных рядов Фурье, который мы изложим ниже, как нам кажется, свободен от этих недостатков. В 21—38 он будет применен к граничным задачам для одного уравнения и для систем уравнений. Эти результаты (за исключением тех, которые относятся к смешанным задачам) получены в совместной работе автора и М. А. Алексидзе [15] и излагаются здесь с некоторыми изменениями и дополнениями. [c.395]

Описанные выше итерационные способы решения системы нелинейных алгебраических уравнений сходятся с удовлетворительной скоростью лишь в тех случаях, когда вантово-стержневая система не находится в окрестности критического состояния (в смысле потери устойчивости). Действительно из текста теоремы Л. В. Канторовича (см. 29) следует, что если детерминант якобиевой матрицы (203) равен нулю (система находится в критическом состоянии), то итерационный процесс расходится. Очевидно, что если система загружена силами, близкими к критическим, то сходимость итерационного процесса будет настолько медленной, что практически получить какие-либо результаты расчета не представится возможным. [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...