Теорема Лагранжа — Гельмгольца

Это соотношение носит название теоремы Лагранжа — Гельмгольца. [c.177]

Как следует из теоремы Лагранжа — Гельмгольца, [c.178]

Поскольку в нашем приближении углы и lu малы, то исходя из теоремы Лагранжа— Гельмгольца имеем [c.178]

Теорема Лагранжа—Гельмгольца, а также формулы (7.17) и [c.184]

Теорема Лагранжа — Гельмгольца 285—287 [c.925]

Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и теорема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при предположениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. Вопрос о том, к чему приводит отказ от предположения об идеальности жидкости, будет рассмотрен в дальнейшем. В этом параграфе будет показано, что если жидкость не баротропна или массовые силы не консервативны, то вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничтожаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство (1.6). Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости [c.221]

В случае безвихревого движения справедлива теорема Лагранжа если некоторый объем жидкости находится в безвихревом движении, то он остается безвихревым и в последующие моменты времени. При этом по-прежнему полагается, что жидкость идеальная, движение баротропное, а объемные силы консервативны. Доказательство следует из уравнения Гельмгольца (1.14) и ус- [c.32]

Отношение фокусных расстояний системы, как Следует из теоремы Лагранжа — Гельмгольца [9], равно отношению показателей преломления крайних сред системы, т. е. [c.186]

Но по теореме Лагранжа — Гельмгольца пца = п г[ а, а потому [c.79]

После этого из теоремы Лагранжа — Гельмгольца (10.6) получаем а = а, что и требовалось доказать. [c.81]

Изложенные выше теоретические исследования исходили из предположения о наличии в жидкости сформировавшихся локализованных или распределенных вихревых образований. Дальнейшая их эволюция описывалась уравнениями Гельмгольца, что позволило получить хорошее количественное согласование с имеющимися экспериментальными данными. Однако при этом совершенно не затрагивался вопрос об образовании вихревых структур — вопрос, представляющийся и сегодня одним из самых сложных в вихревой динамике. Сложность здесь заключается, в первую очередь, в построении адекватной модели, позволяющей объяснить возникновение вихрей в первоначально покоящейся жидкости и в ее согласовании с требованиями теоремы Лагранжа для идеальной жидкости. [c.222]

К сожалению, применение теоремы Лагранжа-Гельмгольца для случая наклонных пучков вряд ли возможно. Однако эта теорема может быть полезной при определении приблизительного влияния деформации любой поверхности системы на положение фокусов бесконечно тонких сагиттальных илн меридиональных пучков. Для окончательного расчета необходимо применение точных формул Аббе со значениями радиусов кривизны (IX.44) и (IX.46) вычисление выполняется по формулам (IX.43). [c.539]

Изображение малого отрезка возникает аналогично тому, как это происходит на одной преломляющей поверхности. Также в центрированной системе имеет место наличие двух фокусов и двух фокальных плоскостей, установленное для одной преломляющей поверхности сохраняет силу теорема Лагранжа—Гельмгольца [c.60]

В данной главе были рассмотрены основные свойства аксиально-симметричных полей, формирующих изображения. Мы начали главу теоремой Буша (4.9), которая определяет азимутальную компоненту скорости заряженной частицы в аксиально-симметричном поле. Затем мы вывели основное траекторное уравнение (4.21) и перешли к гауссовской диоптрике, записав уравнение параксиальных лучей (4.31). Это уравнение можно упростить, написав его в комплексном виде (4.40) или (4.50). Затем была доказана способность аксиально-симметричных полей формировать изображения. Мы ввели кардинальные элементы и выяснили отличия действительных параметров линзы от асимптотических. Наиболее важными соотношениями являются уравнение изображения (4.58), формула Гельмгольца— Лагранжа (4.65) и (4.76), формулы увеличения (4.77) и [c.246]

Основные результаты этого исследования, теоремы завихренности Гельмгольца, сегодня хорошо известны, и их можно найти в большинстве учебников. Для усвоения же этого материала вряд ли нужно обращаться к оригинальной статье. Однако интересно ознакомиться с мотивацией Гельмгольца к изучению, прежде всего, вихревого движения. Вот что он говорит (в переводе Тэта) До сих пор при интегрировании гидродинамических уравнений допускалось, что составляющие скорости каждого элемента жидкости в трех направлениях, перпендикулярных друг другу, являются дифференциальными коэффициентами (по отношению к координатам) определенной функции, которую мы назовем потенциалом скорости. Лагранж без сомнений показал, что это допущение законно, если движение жидкости вызвано силами, имеющими потенциал, и продолжается под их действием а также что влияние движущихся твердых тел, контактирующих с жидкостью, не влияет на законность такого допущения. И, поскольку многие природные силы, поддающиеся математически точному определению, можно выразить в виде дифференциальных коэффициентов потенциала, еще большее число математически исследуемых случаев движения жидкости принадлежит к тому классу, в котором существует потенциал скорости. [c.682]

Если апертура пучка так велика, что иараксиальносгь нарушается, тогда вместо теоремы Лагранжа — Гельмгольца пользуются условием синусов Аббе [c.177]

Выкоды из теоремы Лагранжа — Гельмгольца. Проанализировав теорему Лагранжа—Гельмгольца, можно получить из нее следующие выводы [c.177]

Подобным же образом, повторяя рассуждения 73, 74, можно показать, что небольшой участок плоскости, расположенный в первой среде перпендикулярно к оптической оси центрированной системы, изобразится в последней преломляющей среде сопряженной плоскостью, также перпендикулярной к оптической оси, причем изображение остается геометрически подобным объекту. Наличие двух ( юкусов и двух фокальных поверхностей, установленное для одной сферической поверхности, сохраняется также и для всякой центрированной системы поверхностей. Точно так же для центрированной системы поверхностей сохраняет силу и теорема Лагранжа — Гельмгольца, т. е. [c.288]

Теоремы Гельмгольца утверждают сохраняемость вихревого движения в идеальной жидкости. Однако они ничего не говорят о возможности и условиях его возникновения, скажем, в первоначально покоящейся жидкости. Более того, согласно теореме Лагранжа, в такой жидкости вообще невозможно появление завихренности. Обращаясь к теореме Б.То-мсоиа, можно утверждать, что завихренность может возникать лишь в том случае, когда условия теоремы нарушаются. Для идеальной жидкости это возможно, когда плотность неоднородна, хотя жидкость остается несжимаемой движение не баротропно внешние силы не потенциальны нарушается непрерывность поля скоростей. [c.222]

Теперь предстоит вычисление коэффициентов S S ,. . ., Sy для любой центрироваиной оптической системы со сферическими поверхностями. С этой целью вычисляется функция для одной поверхности и определяются коэффициенты аберраций третьего порядка для этого случая. Чтобы получить коэффициенты аберраций третьего порядка для всей системы, можио поступить следующим образом. Аберрации каждой поверхности с помощью теоремы Лагранжа—Гельмгольца переносятся в пространство изображений всей системы, и аберрация всей системы складывается из аберраций отдельных поверхностей. Такое сложение законно для аберраций третьего порядка, так как те пренебрежения, которые при этом делаются, сказываются только на аберрациях высшего (начиная с 5-го) порядка. [c.85]

Развитие г1]дрогазодннамики в XIX в. связано с именами крупнейших ученых-физиков и математиков, разрабатывавших теорию движения идеальной (невязкой) жидкости, достигшую во второй половине столетия высокого совершенства благодаря работам Лагранжа, Коши, Кирхгофа, Ренкина, Стокса, Пуассона, И. С. Громеки, В. Томсона (Кельв1ша), Гельмгольца, Релея, Мавье и др. Важные теоремы о вихревом движении идеальной жидкости были сформулированы Стоксом, Томсоном, Гельмгольцем. [c.10]

Уравнения гидродинамики и их интегралы. Уравнения гидродинамики в форме Эйлера. Теоремы Бернулли и Лагранжа. Сообщение движения жидкости импульсом. Теорема Томсона. Гельмгольцев принцип сохранения напряжения вихревой нити. Основные принципы динамики, отнесенные к жидкой массе. Определенность гидрокннетической задачи. [c.322]

Это уравнение эквивалентно теореме Гельмгольца — Лагранжа в обычной оптике, поэтому оно называется формулой Гельмгольца — Лагранжа. Заметим, что (4.65) остается справедливым и для непараксиальных лучей, если только заменить тангенсы на синусы в (4.61) соотношение Аббе). Очевидно, что для малых углов оба выражения дают один и тот же результат. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...