Пространство координатное расширенное

Вместо расширенного координатного (яО мерного пространства возьмем расширенное фазовое (2я- -0 Мерное пространство, в котором координатами точки будут величины qi. Pi l=, п) и В этом пространстве возьмем произвольную замкнутую кривую Со с уравнениями [c.115]

Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых, определенных в (п- -1)-мерном расширенном координатном пространстве q , ( . [c.272]

Семейство функций (40) определяет в расширенном координатном пространстве семейство отрезков кривых i) (рис. VH 1). Возь- [c.272]

Рассмотрим теперь три разные задачи. Решая каждую из этих задач, мы воспользуемся формулой (60) для вариации действия, но в каждой задаче будем различным образом задавать пучок кривых, на которых осуществляется варьирование. Этот пучок иногда будет задаваться не в расширенном координатном, а в каком-либо ином пространстве ). В таких случаях потребуется [c.277]

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей ). [c.279]

Вариации б/ и б/ равны, поскольку 6f = 6F ]/=, =0 в силу того, что как при t = так и при t= ti все кривые рассматриваемого пучка (рис. VI 1.2) проходят через одну и ту же точку расширенного координатного пространства. Поэтому из того факта, что на прямом пути б/ = 0, следует, что на том же пути б/=0, а это значит, что одна и та же кривая является прямым путем для уравнений Лагранжа с лагранжианом L и с лагранжианом L. [c.283]

Доказательство. Рассмотрим два расширенных координатных пространства одно из них соответствует старым , а другое новым координатам и времени, полученным в результате преобразования (66). В первом из этих пространств (в пространстве q, t) выберем две произвольные точки (<7о, /ц) и q , t ) и проведем между этими точками какую-либо кривую q(t). Тогда однопараметрическое семейство преобразований (66) порождает во втором расширенном координатном пространстве q, t однопараметрическое семейство кривых q t, а) (рис. Vn.5). Оно получается, если из равенств (66) [c.287]

Помимо расширенного фазового пространства введем в рассмотрение для этой же системы (л + 1 )-мерное расширенное координатное пространство q, t. Так как задание любой точки в расширенном фазовом пространстве определяет, в частности, q и t, каждой точке расширенного фазового пространства соответствует точка в расширенном координатном пространстве. Разумеется, это преобразование не взаимно однозначно — различным точкам расширенного фазового пространства, которые отличаются лишь [c.294]

Vn.6). Построенный так контур перенесем в расширенное координатное пространство (рис. VI 1.7). [c.295]

В результате в расширенном координатном пространстве получится однопараметрическое семейство кривых, начала которых лежат на кривой q, а концы на кривой Сц причем значениям параметра сс = О и а = 1 будут заведомо соответствовать одни и те же кривые этого семейства (рис. VI 1.7). [c.295]

Прямой и все окольные пути проходят через фиксированные начальную и конечную точки в расширенном координатном пространстве. Поэтому при t = td и при t = ti вариации 8 = О и проинтегрированная часть обращается в нуль. [c.106]

Остановимся еще на одной форме вариационного принципа Гамильтона. Вместо (п 4-1)-мерного расширенного координатного пространства рассмотрим (2п 1)-мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины q , Pi (t= 1,. .., п) к t. В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки В р , t ) и (q, р, t ), а также [c.112]

Если задано конкретное движение жидкости, при котором поле скоростей известно, т. е. если известны функции u(t, х, у, г), V (t, X, у, г), W (t, X, у, г), то интеграл (2) можно рассматривать как интеграл в расширенном координатном пространстве, т. е. в четырехмерном пространстве t, х, у, г. Значение этого интеграла не меняется, если мы точки контура интегрирования произвольно сместим вдоль путей движения частиц, т. е. интеграл [c.123]

Путь в расширенном координатном пространстве 104 [c.299]

Для голономной системы прямые и окольные пути удобно представлять в расширенном координатном пространстве, где координатами являются обобщенные координаты 25 -, и время t. Пусть точка Ао этого пространства отвечает начальному положению системы, а Ai — ее конечному положению. Движениям системы из ее начального положения в конечное будут отвечать кривые, соединяющие точки Aq и Ai. На рис. 165 (для п = 2) сплошной линией показан прямой путь системы, а штриховыми линиями — окольные пути. В расширенном координатном пространстве за окольный путь может быть принята любая бесконечно близкая к прямому пути кривая, соединяющая точки Ао и Ai любая такая кривая представляет собой кинематически возможный путь, так как обобщенные координаты i, 25 5 Qn всегда выбираются именно так, что геометрические связи, наложенные на систему, удовлетворяются тождественно (п. 14), а других связей у голономной системы нет. [c.468]

При достаточном удалении точки A от точки Aq может оказаться, что краевая задача имеет решения, соответствующие бесконечно близким прямым путям, проходимым механической системой за одно и то же время — to. В этом случае точки Aq и Ai расширенного координатного пространства называют сопряженными кинетическими фокусами. [c.469]

Через точки (О, 0) и (О, тг) расширенного координатного пространства t проходят бесконечно близкие один к другому прямые пути, задаваемые равенством [c.469]

В сосуде, разделенном перегородкой на две одинаковые части, газ первоначально находится в одной половине. Мы удаляем перегородку и наблюдаем расширение газа в пустоту — релаксация в координатном пространстве. [c.545]

Действие в роли одноточечной и двухточечной характеристических функций, главной функции Гамильтона, производящей функции для канонических преобразований, описано в работах [25, 137]. Например Определим двухточечную характеристическую, или главную, функцию как лагранжево или гамильтоново действие (они равны) от точки В до точки В вдоль луча... (см. [137], с. 235). Эта функция двух точек расширенного координатного пространства (пространства [c.60]

Теперь введем понятие о расширенном фазовом пространстве, по координатным осям которого откладываются величины д, р, и выберем ансамбль механических систем с начальными состояниями д , ро и 4, образующими в указанном пространстве некоторый замкнутый контур Со этот контур зададим с помощью функций [c.421]

В расширенном координатном пространстве q, t) линейного осциллятора L = q — со )/2 описать множество всех тех точек ( 1, qi), которые нельзя соединить прямым путем с начальной точкой [c.217]

Частота собственных колебаний линейного осциллятора равна со. В расширенном координатном пространстве q, t) осциллятора требуется провести прямой путь через точки о и q, t . Показать, что а) нри 1 — ф кп/[к = [c.217]

По гладкому горизонтальному стержню А В (см. рисунок), враш аюш емуся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со( ), может скользить колечко массы т. Показать, что в расширенном координатном пространстве колечка, т. е. в плоскости х1, через любые две точки, не [c.217]

Используя условия предыдущей задачи, показать, что в расширенном координатном пространстве колечка на любом прямом пути, проходящем через две точки, действие но Гамильтону принимает минимальное значение но сравнению с действием на окольных путях, проходящих через эти же точки. [c.218]

Материальная точка движется но вертикали в однородном ноле тяжести. Непосредственным вычислением показать, что действие но Гамильтону на прямом пути /2 меньше действия на окольных путях вида z = ant (n 1). Рассматривая двумерное расширенное координатное пространство [z,t), нарисовать прямой и окольные пути системы. [c.218]

Используя условия предыдущей задачи, непосредственным вычислением показать, что па прямом пути, соединяющем любые две точки и расширенного координатного пространства, действие но Гамильтону будет минимальным но сравнению с действием на любых окольных путях, соединяющих эти точки. [c.219]

Показать, что в (п + 1)-мерном расширенном координатном пространстве (q, системы с лагранжианом L = L(q) через лю- [c.219]

Рассмотрим (rt-f 1)-мерное расширенное координатное пространство <7i,. .., qn, и выберем в этом пространстве две произвольные не совпадающие точки А и В, соответствующге моментам [c.278]

Если точка В достаточно близка к точке А, то эта краевая задача всегда имеет лишь когечное число решений ). При удалении точки В от точки А может, однако, оказаться, что существуют такие точки, что, выбрав их в качестве точки В, мы получим краевую задачу с бесконечным числом решений. Такого рода точки расширенного координатного пространства называются кинетическими фокусами, сопряженными с точкой А. [c.283]

Отметим в расширенном координатном пространстве точки ( 0. Фл. л), to + T, Ф.4, г злО- фл, г )л), ( о + ЗГ, ф , г1зл-) [c.284]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

Если мы произвольно зададим функции q = qi(t)(i= 1,. ... .., п), то получим некоторое ктематически возможное (т. е. допускаемое связями) движение. В расширенном (л- - 1)-мерном координатном пространстве, где координатами являются величины qi и время t, это движение изображается некоторой кривой. Мы будем рассматривать всевозможные такие кривые— [c.103]

Пусть точки Ао и А расширенного координатного пространства отвечают начальному и конечному положениям системы (рис. 165). Если точки и А достаточно близки, то действие S на прямом пути имеет минимум. Выясним, насколько близкими должны быть точки Ао и Ai, чтобы на прямом пути действие оста-валось минимальным . На прямом пути AqAi первая вариация 8S действия по Гамильтону всегда равна нулю. Если точка А близка к точке Aq, то в силу минимальности действия вторая вариация 8 S на прямом пути положительна . Будем удалять точку А от точки А . [c.479]

Материальная точка движется но инерции. Показать, что в расширенном координатном пространстве x,y,z,t) через любые две точки ZQ to) и Mi xi,yi, zi,ti), не лежаш ие в гиперплоскости t = onst, можно провести прямой путь и притом только один. Непосредственным вычислением показать, что па прямом пути действие но Гамильтону принимает минимальное значение но сравнению с действием на любых окольных путях И ок- [c.217]

Материальная точка движется в однородном ноле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Oz. Показать, что в расширенном координатном пространстве х, у, z,t) через любые две точки Mq xq, уо, zq, to) и Mi xi, yi, zi, ti), не лежаш ие в гиперплоскости t = onst, всегда можно провести прямой путь и притом только один. [c.217]

Плоский математический маятник длины I совершает малые колебания (в соотвествие с линеаризованными уравнениями). Рассматривая расширенное координатное пространство (ф, ), где Ф — угол отклонения маятника от вертикали, нарисовать прямой и окольный пути. Для различных начальных положений маятника (фо, о) указать кинетический фокус, сопряженный начальной точке. [c.218]

Частица массы т движется в однородном ноле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Оz. Показать, что действие но Гамильтону на прямом пути, который проходит через две произвольные точки А и В расширенного координатного пространства х, у, z,t),ne лежащие в гиперплоскости t = onst, имеет глобальный минимум но сравнению со значением действия на окольных путях, проходящих через эти же точки. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...