Путь в расширенном координатном пространстве прямой

Для голономной системы прямые и окольные пути удобно представлять в расширенном координатном пространстве, где координатами являются обобщенные координаты 25 -, и время t. Пусть точка Ао этого пространства отвечает начальному положению системы, а Ai — ее конечному положению. Движениям системы из ее начального положения в конечное будут отвечать кривые, соединяющие точки Aq и Ai. На рис. 165 (для п = 2) сплошной линией показан прямой путь системы, а штриховыми линиями — окольные пути. В расширенном координатном пространстве за окольный путь может быть принята любая бесконечно близкая к прямому пути кривая, соединяющая точки Ао и Ai любая такая кривая представляет собой кинематически возможный путь, так как обобщенные координаты i, 25 5 Qn всегда выбираются именно так, что геометрические связи, наложенные на систему, удовлетворяются тождественно (п. 14), а других связей у голономной системы нет. [c.468]

Рассмотрим конкретный прямой путь в расширенном координатном пространстве, соответствующий начальным данным to, д°, д° Так как при i = 0 выполняется д 1о,1о,д°,д°) = д°, то для матриц Фх, Ф2 справедливо [c.102]

Прямой и все окольные пути проходят через фиксированные начальную и конечную точки в расширенном координатном пространстве. Поэтому при t = td и при t = ti вариации 8 = О и проинтегрированная часть обращается в нуль. [c.106]

В расширенном координатном пространстве q, t) линейного осциллятора L = q — со )/2 описать множество всех тех точек ( 1, qi), которые нельзя соединить прямым путем с начальной точкой [c.217]

Частота собственных колебаний линейного осциллятора равна со. В расширенном координатном пространстве q, t) осциллятора требуется провести прямой путь через точки о и q, t . Показать, что а) нри 1 — ф кп/[к = [c.217]

Используя условия предыдущей задачи, показать, что в расширенном координатном пространстве колечка на любом прямом пути, проходящем через две точки, действие но Гамильтону принимает минимальное значение но сравнению с действием на окольных путях, проходящих через эти же точки. [c.218]

Принцип Гамильтона являет собой пример вариационного подхода к исследованию вопроса возможно ли движение у конкретной механической системы или такое движение реализоваться не может. Далее график возможного движения в расширенном координатном пространстве будем для краткости называть прямым путем, а невозможного — окольным (рис. 21.1). [c.87]

Установленное выше утверждение о том, что прямой путь доставляет действию по Гамильтону стационарное значение, называется вариационным принципом (или началом) Гамильтона. Принцип Гамильтона замечателен тем, что он выделяет прямой путь среди всех окольных путей, которые могут быть проведены между двумя точками расширенного координатного пространства, устанавливает общее свойство прямого пути, его отличие от иных кинематически возможных, но не реализующихся в рассматриваемом потенциальном поле путей ). [c.279]

Вариации б/ и б/ равны, поскольку 6f = 6F ]/=, =0 в силу того, что как при t = так и при t= ti все кривые рассматриваемого пучка (рис. VI 1.2) проходят через одну и ту же точку расширенного координатного пространства. Поэтому из того факта, что на прямом пути б/ = 0, следует, что на том же пути б/=0, а это значит, что одна и та же кривая является прямым путем для уравнений Лагранжа с лагранжианом L и с лагранжианом L. [c.283]

Остановимся еще на одной форме вариационного принципа Гамильтона. Вместо (п 4-1)-мерного расширенного координатного пространства рассмотрим (2п 1)-мерное расширенное фазовое пространство, в котором координатами точки являются величины q , Pi (t= 1,. .., п) к t. В этом пространстве рассмотрим прямой путь, проходящий через две точки В р , t ) и (q, р, t ), а также [c.112]

При достаточном удалении точки A от точки Aq может оказаться, что краевая задача имеет решения, соответствующие бесконечно близким прямым путям, проходимым механической системой за одно и то же время — to. В этом случае точки Aq и Ai расширенного координатного пространства называют сопряженными кинетическими фокусами. [c.469]

Материальная точка движется но вертикали в однородном ноле тяжести. Непосредственным вычислением показать, что действие но Гамильтону на прямом пути /2 меньше действия на окольных путях вида z = ant (n 1). Рассматривая двумерное расширенное координатное пространство [z,t), нарисовать прямой и окольные пути системы. [c.218]

Функция Лагранжа L q, q,t) системы такова, что любые две точки а, to), b,ti) (n + 1)-мерного расширенного координатного пространства можно соединить единственным прямым путем. Показать, что в переменных q,p,t на прямом пути q t), проходящем [c.223]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

Материальная точка движется но инерции. Показать, что в расширенном координатном пространстве x,y,z,t) через любые две точки ZQ to) и Mi xi,yi, zi,ti), не лежаш ие в гиперплоскости t = onst, можно провести прямой путь и притом только один. Непосредственным вычислением показать, что па прямом пути действие но Гамильтону принимает минимальное значение но сравнению с действием на любых окольных путях И ок- [c.217]

Материальная точка движется в однородном ноле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Oz. Показать, что в расширенном координатном пространстве х, у, z,t) через любые две точки Mq xq, уо, zq, to) и Mi xi, yi, zi, ti), не лежаш ие в гиперплоскости t = onst, всегда можно провести прямой путь и притом только один. [c.217]

Частица массы т движется в однородном ноле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Оz. Показать, что действие но Гамильтону на прямом пути, который проходит через две произвольные точки А и В расширенного координатного пространства х, у, z,t),ne лежащие в гиперплоскости t = onst, имеет глобальный минимум но сравнению со значением действия на окольных путях, проходящих через эти же точки. [c.219]

Пусть точки Ао и А расширенного координатного пространства отвечают начальному и конечному положениям системы (рис. 165). Если точки и А достаточно близки, то действие S на прямом пути имеет минимум. Выясним, насколько близкими должны быть точки Ао и Ai, чтобы на прямом пути действие оста-валось минимальным . На прямом пути AqAi первая вариация 8S действия по Гамильтону всегда равна нулю. Если точка А близка к точке Aq, то в силу минимальности действия вторая вариация 8 S на прямом пути положительна . Будем удалять точку А от точки А . [c.479]

Плоский математический маятник длины I совершает малые колебания (в соотвествие с линеаризованными уравнениями). Рассматривая расширенное координатное пространство (ф, ), где Ф — угол отклонения маятника от вертикали, нарисовать прямой и окольный пути. Для различных начальных положений маятника (фо, о) указать кинетический фокус, сопряженный начальной точке. [c.218]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...