Преобразование координат механических величин

То же самое можно сказать относительно механических величин одни изменяются при преобразовании Галилея — вариантные величины, другие остаются неизменными инварианты. Например, координаты, скорость, импульс, кинетическая энергия и т. д. — вариантные величины. [c.513]

Эти функции, как и функции (5.28), обращают в тождество уравнения связей (см. (5.30)), и, следовательно, величины д также являются обобщенными координатами механической . системы. Преобразование (5.97), т. е. преобразование от одной системы обобщенных координат к другой системе, называется точечным преобразованием. [c.248]

В главе И подчеркивалось, что сохранение у механической системы той или иной физической величины всегда является следствием ее симметрии, под которой в общем случае принято понимать инвариантность уравнений движения системы относительно некоторой совокупности преобразований координат и времени. Симметрия произвольного центрально-симметрического поля конкретно проявляется в том, что уравнения движения частицы в таком поле инвариантны относительно преобразования сдвига во времени и некоторой совокупности преобразований вращения в обычном трехмерном пространстве. Указанная симметрия поля и (г), приводящая к [c.126]

В механике деформируемого тела рассматривают физические величины (векторы и тензоры), не зависящие от выбора системы координат, но иногда их удобнее изучать в некоторых специально выбранных системах координат. Векторы и тензоры в каждой из систем координат задаются совокупностью величин, называемых компонентами вектора или тензора. Если эти компоненты заданы в одной системе координат, то они определены и в любой другой системе, ибо определение вектора и тензора включает и закон преобразования их компонент при переходе от одной системы координат (базиса) к другой. Одним из важнейших достоинств векторного исчисления является.то, что уравнения, характеризующие состояние механической системы (уравнения равновесия или движения,) можно формулировать в инвариантной форме по отношению к координатным системам. [c.7]

В этой главе установлена тесная связь закона сохранения энергии консервативных систем с однородностью времени, законов сохранения импульса и механического момента замкнутых систем— с однородностью и изотропностью пространства и законов сохранения отдельных составляющих векторов Р и I для незамкнутых систем — с симметрией внешних силовых полей. Но тем самым, по существу, была доказана справедливость теоремы Нетер, играющей важную роль в развитии современной физики Указанная теорема в своей простейшей формулировке утверждает, что сохранение различных динамических параметров механических систем вытекает из инвариантности их механических свойств относительно тех или иных непрерывных и обратимых преобразований пространственных и временных координат (таких, как преобразования сдвига во времени, трансляций и поворотов системы как единого целого в пространстве и т. д.). При этом было показано, что в качестве основной физической величины, способной адекватно характеризовать инвариантные свойства свободных механических систем (как замкнутых, так и находящихся во внешних потенциальных силовых полях), можно использовать полную потенциальную энергию системы. [c.84]

Таким образом, преобразование (35.10) сводится к взаимному переименованию координат и импульсов (новые координаты совпадают со старыми импульсами, а новые импульсы отличаются от старых координат только знаком). Этот пример наглядно указывает на равноправие координат и импульсов в методе Гамильтона, в силу чего переменные VI п называют канонически сопряженными величинами. Вместе с тем это указывает на условность наших представлений о переменных как о пространственных координатах и о р как динамических переменных, измеряемых произведением массы на скорость. Различие между ними практически состоит только в названии, и поэтому при рассмотрении любого механического процесса нельзя противопоставлять его кинематику динамике и наоборот, ибо кинематическое и динамическое в движении любой механической системы составляют единое целое. [c.200]

Так как несвободные координаты являются однозначными функциями свободных координат, то несвободные координаты являются однозначными функциями тех же параметров Таким образом, все декартовы координаты могут быть выражены по формулам преобразования через 5 параметров дк и времени I. При этом уравнения связи (19.1) удовлетворяются тождественно. Определенные таким образом параметры дк называют обобщенными координатами несвободной механической системы. В качестве обобщенных координат могут выступать различные величины. Заметим, что время будет входить в формулы преобразования (19.3) только тогда, когда связи, выражаемые уравнениями (19.1), нестационарны. Если связи стационарны, то декартовы координаты будут функциями только обобщенных координат. Выбор обобщенных координат для данной конкретной задачи не является определенным, он может быть осуществлен различными способами. [c.169]

Для составления дифференциальных уравнений движения конкретной механической системы с помощью (20.10) необходимо иметь выражение кинетической энергии в выбранных координатах и значение обобщенных сил. Тогда составление дифференциальных уравнений сводится к выполнению операций дифференцирования, указанных в общей форме уравнений (20.10). Способ нахождения обобщенных сил рассмотрен ранее ( 19) как переход от декартовых координат к обобщенным. Аналогичное преобразование может быть выполнено и для кинетической энергии (см. пример 20.8). Однако эти преобразования имеют скорее теоретический, а не практический смысл. На практике необходимые величины определяют, минуя указанные преобразования. [c.183]

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47]

Однако более фундаментальным, чем все эти особенности, является наличие в аналитической механике объединяющего принципа, который является кульминационным пунктом аналитического подхода. Движение достаточно сложной механической системы описывается больщим числом — иногда даже бесконечным числом — отдельных дифференциальных уравнений. Вариационные принципы аналитической механики образуют единую основу, из которой следуют все эти уравнения. За всеми этими уравнениями скрывается общий принцип, заключающий в себе смысл всей этой совокупности уравнений. Вводится одна фундаментальная величина действие принцип, согласно которому эта величина должна иметь стационарное значение, приводит к полной системе дифференциальных уравнений. Более того, установление этого принципа не связано с какой-либо специальной системой координат. Поэтому и аналитические уравнения движения также инвариантны относительно любых преобразований координат. [c.27]

Принцип подобия. Новые технические объекты создаются посредством обобщенного преобразования подобия некоторой, заранее сформированной стругауры. Обобщенное преобразование подобия выполняется в и-мерном координатном пространстве, причем в качестве координат могут выступать физические величины любой природы геометрические, механические, элегарические и т.д. Параметры нового объекта определяются расчетным путем в зависимости от его конкретного назначения и технических требований. [c.340]

Итак, эксплуатируя только требование инвариантности описания механической системы относительно преобразований Галилея в широком смысле (т. е. — принцип относительности) и условие асимптотической аддитивности и не используя специальное допущение (7) относительно вида функции Лагранжа, удалось привести все формулы для сохраняющихся величин к виду, полученному ранее в рамках этого специального допущения. Поэтому все отличие настоящего более общего рассмотрения сосредоточилось в свободе выбрать для зависимости радиус-вектора центра инерции от координат, К (г,.....Гге), выражение, более общее, чем следовавшая из (7) простая формула (16) ). Чтобы разобраться в том, какие дополнительные возможности при этом открываются, посмотрим, как происходит тепеоь отделение трансляционного движения от внутренних. [c.48]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...