Схемы высокого порядка

Чем выше порядок аппроксимации, тем меньше при той же сетке погрешность, обусловленная заменой дифференциального оператора разностным, или тем более крупная сетка может быть использована при обеспечении той же точности. Однако при этом существенно усложняется и разностная схема, поэтому разностные схемы высокого порядка (р>2) используют редко. [c.60]

Точность расчета параметров капель при использовании описанной выше схемы оценивалась путем сравнения с точными решениями и численными результатами, полученными с помощью схем высокого порядка точности в рамках одномерной теории, а также в результате анализа уровня и характера распределения ошибок при течении идеального газа в исследуемых решетках. [c.132]

Суш,ествуют методы Рунге—Кутта более высоких порядков. Однако повышение порядка метода приводит к быстрому возрастанию вычислительных операций, необходимых для их осуш,ествления. Проводя вычисления по схемам высоких порядков точности, всегда надо разумно сочетать выгоды от повышения порядка с потерями от увеличения числа вычислений. [c.122]

Таким образом, в классах линейных схем высоких порядков аппроксимации на фиксированном шаблоне невозможно построить монотонную схему. [c.69]

Ошибка округления может играть главную роль при нахождении высокоточных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку величина шага Ал может стать очень малой и поскольку используются схемы высокого порядка точности, чувствительные к ошибкам округления. Для дифференциальных уравнений в частных производных в одномерном случае величины Ах и М могут также оказаться столь малыми, что ошибка округления будет играть важную роль. Ошибка округления важна и в некоторых задачах обращения матрицы (см. разд. 3.2.8). Эта ошибка будет оказывать влияние на выбор критерия сходимости (см. разд. 3.4) и, очевидно, будет ограничивать наименьшую величину шага по времени А/, для которой вычисления имеют смысл. [c.169]

Другая причина, объясняющая получение часто не оправдывающих ожидания характеристик схем высокого порядка для дифференциальных уравнений в частных производных, заключается в том, что порядок точности схем имеет смысл только при Ах—>-0, А/- 0. Таким образом, порядок точности схем имеет большее значение в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, когда требуется меньший объем оперативной памяти и допустимое время расчетов позволяет брать значительно меньшие шаги Ах. [c.170]

Тем не менее в настоящее время проводится разработка схем более высокого порядка точности, и, по-видимому, они найдут более широкое применение в вычислительной гидродинамике. В первом издании этой книги (1972 г.) мы повторяли обычную благоразумную мысль при переходе к схемам высокого порядка точности из-за потери информации при дискретизации граничных условий для дифференциальных уравнений в частных производных практически следует ожидать только умеренного улучшения точности по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями теперь же у нас возникли серьезные сомнения в справедливости этого соображения. Правда, практические трудности, оказывающие влияние на точность схем второго порядка, — трудности, связанные с граничными условиями и со сложной формой границы, определение соответствующего решения уравнения Пуассона и проблема сеточного числа Рейнольдса, — все эти трудности становятся более щекотливыми при получении решений более высокого порядка точности к тому же скорость сходимости не всегда равномерно велика во всех точках двумерной сетки. Тем не [c.171]

Замечания разд. 3.1.10 по поводу ограничений на схемы высокого порядка аппроксимации еще в большей мере относятся к течениям сжимаемой жидкости. Как уже было указано в разд. 5.5.2, в сверхзвуковых течениях ири больших числах Рейнольдса искомые функции не обязательно непрерывны по пространственным переменным и в этих случаях ряды Тейлора, применяемые для оценки ошибок аппроксимации, непригодны. [c.423]

Корнеев В. Г., О построении вариационно-разностных схем высокого порядка точности. Вестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., 19 (1970). [c.335]

Для точности разностных решений при фиксированном шаге h или для увеличения шага h при фиксированной точности естественно использовать схемы высокого порядка аппроксимации. Однако для реального h увеличение к необязательно уменьшит правую часть (0.5), поскольку константа С сама может возрастать с ростом к как величина, ограничивающая высшие производные, входящие в погрешность аппроксимации. Например, для [c.5]

ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ СХЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА [c.9]

Большая точность схем высокого порядка аппроксимации, достигаемая на гладких и плавно меняющихся решениях исходной задачи, стимулировала разработку схем, порядок которых больше двух. Некоторые методы построения таких схем можно условно классифицировать следующим образом использование многоточечных шаблонов использование дифференциальных следствий исходных уравнений применение компактных аппроксимаций. [c.9]

Существенным моментом при построении схем высокого порядка может стать тот факт, что сходимость разностного решения к точному для устойчивого алгоритма обеспечивается аппроксимацией на точном решении и не требует аппроксимации на произвольной гладкой функции. [c.10]

Компактные схемы. Альтернативный путь построения схем высокого порядка состоит в использовании так называемых компактных аппроксимаций. Их сущность удобно Проиллюстрировать на примере приближенного определения производной функции по ее значениям в узлах. Если традиционное представление производной [c.11]

Некоторые схемы высокого порядка точности были описаны в разд. 3.1.18—3.1,20. Отметим дополнительно следующие работы, в которых попользуются обычные схемы высокого порядка точности, Фейрвезер [1969] применил неявную схему метода чередующихся направлений для уравнения диффузии, имеющую порядок точности 0(А/2, Ах ). (Заметим, что некоторые схемы, приведенные в книге Рихтмайера и Мортона [1967] для уравнения диффузии, приобретают высокий порядок точности при определенных комбинащ1ях параметров, но эти условия обычно не характерны для задач гидродинамики.) [c.172]

Гунаратнам и Перкинс [1970] построили схемы высокого порядка с помощью метода взвещенных невязок. Даусон и Маркус [1970] использовали модифицированную схему Рунге — Кутта — Гилла только "для интегрирования по времени, Ломекс с соавторами [1970] применил схему Рунге — Кутта четвертого порядка точности для интегрирования по времени одномерного модельного уравнения, описывающего течение невязкой л<идкости. Фридман [1970] представлял выражениями четвертого порядка точности вторые производные по нормали к стенке (преобладающее направление диффузии) и выражениями второго порядка производные по направлению, параллельному стенке. [c.172]

Важно отметить, что даже правильные и равномерно точные во всех точках схемы высокого порядка не решают проблему сеточного числа Рейнольдса, описанную в разд. 3.1.8. В самом деле, колебания, возникающие при Re > 2 при использовании разностей высокого порядка, часто увеличиваются. По-видимому, неблагоприятные оценки схем высокого порядка точности, приведенные во многих ранних исследованиях, можно отнести за счет недостаточного понимания роли ограничения на Re , которое, возможно, является самой сложной проблемой вычислительной гидродинамики см. Роуч [1975]. [c.174]

Данная схема дает гораздо более резкие скачки (т. е. меньшие толщины скачков), чем другие схемы, однако дает и больший всплеск за скачком. Лаке и Вендрофф [1964] объясняют это тем, что все схемы высокого порядка аппроксимации по времени должны давать осцилляции за скачком см. также по этому поводу работу Фрёгденхила [1969], посвященную решению линейного модельного уравнения (5.47). (Представляется, что для многошаговых неявных схем это не имеет места см. разд. 5.5.7.) Для уменьшения всплеска и для получения удовлетворительных результатов при наличии в течении сильных скачков необходимо ввести явную искусственную вязкость в какой-либо форме (Лаке и Вендрофф [1960, 1964], Рихтмайер и Мортон [1967]). [c.370]

Для расчета течения в открытом канале Гуиаратпам и Перкинс [1970] разработали неявные схемы высокого порядка для решения уравнений Сен-Венана. [c.455]

Вместе с тем разумное использование многоточечного шаблона позволило создать целый ряд удачных явлений схем высокого порядка (третьего или четвертого) дпя уравнений гиперболического типа, и в частности для уравнений Эйлера невязкого газа [16—19]. Все они могут быть объединены в многонараметрическое семейство схем, основанных на идеях метода Рунге—Кутта. Можно отметить также схему третьего порядка [19], совпадающую в линейном случае со схемой максимального порядка на четырехточечном шаблоне [20]. [c.10]

Что касается аппроксимации уравнений для энергии и диссипации турбулентности вида (1.14), то может возникнуть вопрос есть ли необходимость в аппроксимации их схемами высокого порядка в условиях приближенности самой модели и некоторой неопределенности в ее константах Такой же вопрос возникает относительно членов с турбулентной вязкостью в исходных уравнениях. Ответы на эти вопросы, по-видимому, мож1ю получить в результате сравнения численных решений с экспериментальными данными. [c.131]

Само собой разумеется, что при решении уравнений для функции F необходимо поставить граничное условие для первой производной аналогично надо ставить граничное условие и для S. Такая трудность присуща всем схемам высокого порядка. Однако Хёрщ [1975] показал, что для объединенной системы уравнений для F и S граничные значения четвертого [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...