Общие свойства консервативных систем

Общие свойства консервативных систем [c.148]

ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 149 [c.149]

I 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 163 [c.163]

Однозначный аналитический интеграл и консервативность. До сих пор мы рассматривали такие консервативные системы, для которых справедливы уравнения Гамильтона. Между тем с точки зрения характера фазовой плоскости, или в более общем случае фазовой поверхности, а следовательно, и характера возможных движений в системе было бы естественно к числу консервативных отнести также и некоторые системы, для которых уравнения Гамильтона несправедливы. Мы дадим поэтому более общее определение консервативных систем и установим некоторые свойства консервативных систем, которые из этого определения вытекают. [c.151]

На перечисленные выше вопросы и ряд других теория консервативных колебательных систем принципиально не может дать ответа. Учитывая это, в каждом случае следует заранее оценить, пригодна ли в данной конкретной задаче консервативная идеализация. Совершенно естественно, что учет диссипации неизбежно серьезно усложняет анализ и если можно получить ответы на интересующие нас вопросы в рамках консервативной трактовки, то целесообразно этим воспользоваться. Что же касается ряда общих свойств системы, обладающей затуханием, то выводы, сделанные из анализа идеализированных консервативных систем, могут оказаться принципиально неверными, так как между консервативными и диссипативными системами имеется принципиальное физическое различие, вытекающее из различного поведения энергии в тех и других системах. И если на достаточно малом интервале времени эти различия могут проявляться весьма [c.41]

Н. д. п. в форме (2) справедлив только для консервативных и притом голономных систем. Н. д. п. в форме 1) является более общим и, в частности, может быть распространён на неконсервативные системы. Н. д. и. пользуются для составления ур-нип движения механич. систем и для исследования общих свойств этих движений. При соответствующем обобщении понятий Н. д. II. находит приложения в механике непрерывной среды, в электродинамике, квантовой механике и др. [c.238]

В наиболее общей форме устойчивость определяется как свойство системы мало отклоняться от исходного движения или равновесия при действии малых возмущений. Это понятие базируется на динамических свойствах системы. Впервые, по-видимому, динамический критерий использовался Лагранжем при исследовании консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Строгое математическое определение этого критерия для частного класса систем было дано А. М. Ляпуновым [4.8]. Впоследствии критерий был обобщен и расширен [4.12]. Согласно динамическому критерию исходная форма движения или равновесия системы устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы, которые могут быть сделаны как угодно малыми при уменьшении возмущений. Система будет неустойчивой, если даже сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы от ее исходной формы. [c.52]

Исходя из этой формулы, Лагранж получает все частные и общие свойства равновесия механических систем шесть уравнений равновесия твердого тела, условия равновесия систем, подчиненных связям (способ множителей Лагранжа), условие устойчивого равновесия консервативной системы, введение силовой функции (без какого-либо названия) — вот далеко не полный перечень важнейших оригинальных вкладов Лагранжа в развитие аналитической статики. Следует подчеркнуть, что метод неопределенных множителей Лагранжа является не просто формальной операцией вычислительного характера, а содержит в себе принцип освобождаемости от связей, впервые четко сформулированный и разработанный для различных случаев [4, с. 111] ...таким образом,, применяя эти силы, можно рассматривать тела как совершенно свободные и не подчиненные каким бы то ни было связям . [c.101]

Принципом в механике называют достаточно общую и широкую количественную закономерность механического движения, записанную в виде математического соотношения. Чем проще математическая формулировка принципа и чем большее число различных классов механических движений он охватывает, тем плодотворнее принцип и тем содержательнее его жизнь в современной науке, где методы теоретической механики получили широкое распространение. Можно отметить, что в наши дни понятие закон механики укоренилось за математическими формулировками, характеризующими некоторые свойства сравнительно узких классов механических движений. Понятие принцип механики является более широким, в идеале охватывающим в единой формуле всю классическую механику. В процессе исторического развития механики первооткрыватели ее основных количественных закономерностей часто называли принципами соотношения, за которыми теперь осталось название законов. Так, в современных курсах механики мы не называем принципом закон сохранения количества движения или закон сохранения механической энергии для консервативных систем, хотя при откры- [c.121]

Большинство окружающих нас в природе и технике нелинейных динамических систем в общем случае неконсервативно. Практически в любой системе имеются потери (трение, излучение, нагрев и т. д.), и обычно система не является энергетически изолированной на нее действуют различные внешние силы и поля, как статические, так и переменные. Какие принципиально новые (по сравнению с консервативными системами) явления возникают в диссипативных системах, в которых колебательная энергия может не только диссипировать из-за потерь, но и пополняться из-за неустойчивостей, связанных с не-равновесностью системы Самое важное и замечательное среди таких явлений — генерация незатухающих колебаний, свойства которых не зависят от того, когда и из какого начального состояния была запущена система, т. е. незатухающих колебаний, устойчивых как по отношению к внешним возмущениям, так и к изменению начальных условий. Системы, обладающие свойством генерировать такие колебания, А. А. Андронов [2] полвека назад назвал автоколебательными, впервые придав им четкое математическое содержание, связав автоколебания с предельными циклами Пуанкаре (см. также [1]). [c.296]

По крайней мере, мы должны показать при помощи априорного рассуждения, что для таких систем, как материальные тела, встречающиеся нам в природе, эти соотношения выполняются с таким приближением, что являются практически справедливыми с точки зрения человеческих возможностей ) наблюдения. В самом деле, это — все, что в действительности необходимо для того, чтобы установить термодинамическую науку на априорном основании. Тем не менее, мы, естественно, будем желать найти точное выражение тех принципов, приближенным выражением которых являются законы термодинамики. Достаточно очень краткого изучения статистических свойств консервативных систем с конечным числом степеней свободы, чтобы более или менее ясно показать, что общие законы термодинамики являются пределом, к которому приближаются точные законы таких систем, когда число их степеней свободы неограниченно возрастает. И эадача нахождения точных соотношений, в отличие от приближенных, для систем с большим числом степеней свободы практически одинакова с задачей нахождения соотношений, справедливых для любого числа степеней свободы, в отличие от соотношений, установленных на эмпирическом основании для систем с большим числом степеней свободы. [c.166]

Точное решение задачи о свободных колебаниях в нелинейных диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев наталкивается на весьма большие и очень часто неразрешимые трудности. Поэтому (как и в случае консервативных систем) приходится искать методы приближенного расчета, которые с заданной степенью точности позволили бы найти количественные соотношения, определяющие движения в исследуемой системе при заданных начальных условиях. Из ряда возможных приближенных методов рассмотрим в первую очередь метод поэтапного рассмотрения. Мы уже указывали, что этот метод заключается в том, что в соответствии со свойствами системы все движение в ней заранее разбивается на ряд этапов, каждый из которых соответствует такой области изменения переменных, где исследуемая система с достаточной точностью описывается или линейным дифференциальным уравнением, или нелинейным, но заведомо интегрируемым уравнением. Записав решения для всех выбранных этапов, мы для заданных начальных условий находим уравнение движения для первого этапа, начинающегося с заданных начальных значений. Значения переменных 1, х, у = х) конца первого этапа считаем начальными условиями для следующего этапа. Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу со сшиванием поэтапных решений на основе условия непрерывности переменных х и у = х, мы можем получить значения исследуемых величин в любой момент времени. Если разбиение всего движения системы на этапы основано на замене общей нелинейной характеристики ломаной линией с большим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением. Условие сшивания решений на смежных этапах — непрерывность х я у = х — необходимо и достаточно для системы с одной степенью свободы при наличии в ней двух резервуаров энергии и двух форм запасенной энергии (потенциальной и кинетической, электрической и магнитной). Существование двух видов резервуаров энергии является также необходимым условием для возможности осуществления в системе свободных колебательных движений, хотя для диссипативных систем оно недостаточно. При большом затухании система и с двумя резервуарами энергии может оказаться неколебательной — апериодической. [c.60]

Мы рассмотрели два класса систем во-первых, системы неконсервативные, но линейные, и убедились в том, что для этого класса систем периодические движения вообще невозможны во-вторых, мы рассмотрели системы консервативные (линейные и нелинейные) и убедились, что в этих системах возможны периодические движения, но что таких движений всегда возможно бесчисленное множество и амплитуда их целиком определяется начальными условиями. Между тем, как уже неоднократно указывалось, нас интересуют главным образом такие периодические движения, амплитуда которых определяется свойствами самой системы. Затем, нас в первую очередь интересуют такие системы, характер движений в которых не изменяется существенно при малых, достаточно общих изменениях самих систем консервативные системы, как только что было указано, не удовлетворяют и этому требованию. Мы увидим дальше, что лишь неконсервативные нелинейные системы являются адэкватными математическими моделями интересующих нас реальных физических систем, т. е. такими моделями, которые позволяют получать ответы на вопросы, интересующие физику колебаний. В настоящей главе мы познакомимся на примерах с двумя основными типами таких нелинейных и неконсервативных систем — с системами диссипативными и с системами автоколебательными. [c.168]

Устанавливаемое В. н. м. свойство движения сводится во многих случаях (но не всегда) к тому, что для истинного движения системы нек-рая физ. величина, являющаяся ф-цией кинематич. и динамич. характеристик зтой системы, имеет экстремум (минимум или максимум). При этом В. II. м, могут отличаться друг от друга видом той физ. величины (той ф-]1ии), к-рая для истинного движения является экстремальной, а также особенностями механич. систем и классами тех движений. для к-рых это экстремальное свойство имеет место. По форме В. н, м. можно разделить на дифференциальные, устанавливающие, чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных в каждый данны) момент времени, и интегральные, устанавливающие это различие для перемещений, совершаемых системой за конечный промежуток времени. В рамках механики дифференц. принципы имеют более общий характер, т. к. они приложимы к системам с любыми голономными и неголономными связями (см. Голочом-пая система Пеголопомная система). Интегральные принципы в их наиб, компактной форме приложимы только к голономным и даже только к консервативным системам. Однако выражение их через энергию и инвариантность по отношению к преобразованиям координат системы делает ати принципы приложимыми далеко за пределами классич. механики. [c.246]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...