Эллиптические интегралы и эллиптические функции

Некоторые сведения из теории эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби. В этой главе и в некоторых других разделах книги будут использоваться так называемые эллиптические интегралы и эллиптические функции. Дадим здесь необходимые [c.184]

В предыдущей главе были найдены первые интегралы уравнений промежуточного движения, позволяющие записать общий интеграл задачи в квадратурах. Поскольку функции F (г ) и Ф (I), входящие в формулы (2.2.14), суть многочлены четвертой степени, то полученные квадратуры являются эллиптическими, вследствие чего общее решение задачи должно выражаться через эллиптические интегралы и эллиптические функции. Поэтому перед тем, как приступить к обращению квадратур, мы изложим основные сведения об эллиптических интегралах и функциях ). [c.68]

Эллиптические интегралы и эллиптические функции [c.359]

В настоящее время издано много таблиц, содержащих численные значения эллиптических интегралов и эллиптических функций [20] — [23]. [c.366]

Во всех этих расчетах придется пользоваться таблицами значений эллиптических интегралов и тригонометрических функций, что не представляет никаких трудностей. [c.41]

Функция и называется эллиптическим интегралом первого рода имеются подробные таблицы Лежандра (1752—1833), дающие значения и при О я/2 и О й < 1. При г з = л/2 приходим к полному эллиптическому интегралу первого рода К = = и л/2). Функция (ijj) непрерывна при всех значениях i 5 ее производная [c.501]

Нижний предел интегрирования г )о соответствует, очевидно, точке начала отсчета дуги s. Что же касается самого интеграла, то он в элементарных функциях не берется. Он относится к классу так называемых эллиптических интегралов. Это эллиптический интеграл первого рода. Наряду с ним часто встречается и интеграл второго рода [c.67]

Добавлена новая глава XII Теория импульсивных движений и 6 главы XI Переменные действие-угол , расширен п. 95, посвященный эллиптическим интегралам и функциям, в 4 главы XI добавлено несколько новых примеров канонических преобразований, а в 5 этой же главы — новый п. 178, в котором рассматривается характеристическая функция Гамильтона. [c.14]

Элементарные свойства эллиптических интегралов и функций. [c.216]

Прежде чем перейти к решению задачи о математическом маятнике, выведем элементарным путём некоторые простейшие свойства эллиптических интегралов и функций. Интеграл [c.216]

Эллиптические интегралы и функции. Эллиптический интеграл имеет вид [c.104]

Теория эллиптических интегралов и функций изложена, например, в монографиях [c.485]

Ветчин кин В. П., Новые формулы и таблицы эллиптических интегралов и функций. [c.623]

Таблицы эллиптических интегралов приводятся в справочниках специальных функций. См., например, Е. Я н к е и Ф. Эмде. Таблицы функций с формулами и кривыми, ОГИЗ, 1948. [c.419]

После подстановки в явной форме выражения для/(г , Т о, АГо) в левой части формулы (69) получается эллиптический интеграл, и таким образом, задача сводится к одной простой квадратуре — эллиптическому интегралу. Интегралы такого рода хорошо изучены, и для них составлены специальные таблицы. Вычислив этот интеграл, т. е. найдя t как функцию от л и трех произвольных постоянных S, Ко и То, определяемых начальными данными, а затем разрешив полученное соотношение относительно г, нужно вернуться к уравнениям (66) и подставить в их правые части найденное выражение г. Тогда р vi q тоже будут найдены как функции t и указанных трех произвольных постоянных. Уравнения (60) полностью проинтегрированы, причем были использованы два готовых первых интеграла, даваемых законами сохранения, и лишь один раз пришлось вычислить интеграл. [c.198]

Каждый из интегралов представляет собою функцию отношения осей эллиптической площадки контакта к, все они приводятся к эллиптическим интегралам и, следовательно, могут быть вычислены. Мы не будем здесь приводить это решение, ограничившись некоторыми качественными выводами и анализом простейших случаев. [c.381]

Согласно [15] решение первого интеграла выражается через иррациональные функции, а второго и третьего интегралов — через полные эллиптические интегралы первого и третьего рода. [c.120]

Надо отметить, что окончательные расчетные зависимости, полученные Н. Н. Павловским методом математической теории фильтрации, оказались настолько сложными, что пользоваться ими в практической обстановке, как правило, не представляется возможным (в эти з висимости входят различные специальные функции эллиптические интегралы, эллиптические синусы и т. п.). Громадное большинство практически важных задач вообще не может быть решено до конца методами математической гидромеханики, в связи со слишком большими трудностями, встречающимися при таком решении. [c.590]

Известны два непосредственных интеграла этих уравнений, выражающих постоянство кинетической энергии и кинетического момента этого тела. С помощью этих интегралов уравнения (5.36) можно проинтегрировать в эллиптических функциях, однако этот путь не очень интересен, так как можно дать изящное геометрическое описание рассматриваемого движения, не требующее полного решения задачи. Оно известно под названием геометрической интерпретации Пуансо. [c.181]

Если свободное твердое тело не является симметричным, то аналитическое решение уравнений Эйлера не может быть получено с помощью элементарных функций. Показать, что, используя теоремы о сохранении энергии и кинетического момента, можно выразить составляющие вектора (о по подвижным осям через эллиптические интегралы. [c.202]

Таким образом, t является эллиптическим интегралом первого рода отр (ср. стр. 133) отсюда следует, что (как доказывается в теории функций) р есть эллиптическая функция времени. То же самое, разумеется, относится и к слагающим qw г. [c.196]

Функция 1 выражается эллиптическим интегралом, причем точки разветвления подынтегральной функции суть — а , — Ь — и оо многозначность является следствием обхода вокруг этих точек на плоскости переменного и. [c.392]

Здесь (к) ш Е (к) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно А — поверхность, ограниченная фронтом трещины на плоскости хоу fn — поправочная функция, равная единице для внутренней трещины, и отличная от единицы для трещины, выходящей на поверхность. [c.234]

Уравнения (55.4) и (55.5) являются интегралами этих уравнений. Полагая тело несимметричным А, В и С все различны) и выбирая триэдр i,j, к) так, что 4 > Б > С, получим аналитическое решение проблемы следующим путем. Уравнения (55.4) и (55.5) нужно разрешить относительно (01 и 3 и подставить решения во второе уравнение (55.7). Таким образом получим дифференциальное уравнение для сог, решением которого является эллиптическая функция. Нужно различать два случая в зависимости от того, какое из соотношений имеет место < 25Г или > 2ВТ. [c.168]

E(k,эллиптического интеграла. При равенстве верхнего предела величине я/2 интеграл носит название полного эллиптического интеграла второго рода и обозначается E(k) (полный эллиптический интеграл не зависит от амплитуды ф). Для эллиптических интегралов имеются численные таблицы. См., например. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими табли-цами/Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана/Пер. с англ, под ред. В. А. Дит-кина и Л. Н. Карамзиной. — М. Наука, 1979. Глава 17. Эллиптические интегралы, Л. Милн-Томсон (библ. 27 источников). [c.362]

Интеграл (2.53) относится к классу эллиптических интегралов и, следовательно, приводится к сумме элементарных функций и трёх так называемых нормальных эллиптических интегралов [27]. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвёртой степени f u). Для реализации реального физического процесса два из четырёх корней многочлена (2.56) должны соответствовать минимальному и максимальному углам атаки и = osamin, Щ = osamax- Корни щ и U2 должны принадлежать интервалу [—1,+1]. Оставшиеся два корня г з, U4 в зависимости от значений параметров h, а, Ь, R и G могут быть либо действительными, либо комплексно-сопряжёнными. Введём следующее правило нумерации этих корней. Действительные корни при Ь < О — щ > щ, при b > О — щ < щ. [c.84]

Здесь Р ш Е, как и выше,— полные эллиптические интегралы первого и второго рода, я(х) — полный э.т1липтический интеграл третьего рода. Полученное выражение для ф(А) сложно, и его аналитическое исследование затруднительно. Мы приведем здесь лишь данные в [136] результаты просчета на ЭВМ функции ф,(/г) [c.272]

Выражение общего решения для большинства интегрируемых задач динамики твердого тела в однозначных эллиптических (в комплексном смысле) функциях времени обусловлено тем, что общий уровень первых интегралов, представляющий пересечение достаточно простых алгебраических поверхностей, типа квадрик, допускает продолжение в комплексную область до абелевых многообразий (абелевых торов), допускающих параметризацию с помощью тэта-функций. Она изучается в проективной и алгебраической геометрии, а сами системы называются алгебраически интегрируемыми. При этом общее решение может получиться однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее конечнолистном накрытии (см. случай Горячева - Чаплыгина, 5 гл. 2). [c.82]

Полученные интс ралы в элементарных функциях не берутся. Они носят название эллиптических интегралов первого рода. Для них "существуют таблицы, Е которых задаются значения интегралов в функции верхнего предела ф и модуля инте1 рала т ). [c.419]

Здесь К w. E — полные эллиптические интегралы первого и второго рода, а Кп обозначает модифицированную функцию Бесселя тг-го порядка второго рода. Аналогично из уравнения (53.14) не-известны11 коэффициент Со определяется в виде [c.420]

Расчет индукции магнитного поля рассеяния образца даже в простейших случаях [1,2] при учете функции распределения намагниченности по объему образца приводит к peuieHHio эллиптических интегралов первого и вто- [c.159]

К, Е — полные эллиптические интегралы первого и второго ряда JofJi - цилиндрические функции первого рода нулевого и перво-го порядков (функции Бесселя) [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...