Производные скалярного и векторного полей

IV. ПРОИЗВОДНЫЕ СКАЛЯРНОГО И ВЕКТОРНОГО ПОЛЕЙ [c.445]

Подобно тому как количественной мерой изменчивости (быстроты изменения) функции одной переменной при данном значении ее аргумента является производная этой функции по аргументу, точно так и в случае скалярного или векторного поля за меру неоднородности поля или изменчивости величин поля в данном направлении [c.43]

Интеграл по объему V от дивергенции векторного поля Л равен скалярному потоку поля через поверхность 2, ограничивающую этот объем, если компоненты поля вместе с их частными производными непрерывны в объеме и на поверхности, т. е. [c.63]

В качестве примера контравариантного векторного поля рассмотрим градиент скалярного поля. На двух картах градиент состоит из частных производных функций /(g) и / (д), а именно [c.126]

Гладкие потоки. Пусть на многообразии Лi задано гладкое векторное поле V (т. е. каждой точке х М сопоставлен вектор у(.х)еГ И, в понятном смысле гладко зависящий от х). Рассмотрим дифференциальное уравнение (3). Для гладкой функции х(0 скалярного аргумента 1 со значениями в М определена производная х( )еГ ,)Л1. Такая функция является решением (3), если x(t) =v(x(t)) при всех t из интервала определения x t). Как и в случае Л1=К , с этим связывается наглядное представление о фазовой точке, движущейся в М (как бы среди неподвижных фазовых точек). Движение происходит таким образом, что в каждый момент времени t вектор скорости х () равен вектору у(х( )), который в нашем поле сопоставлен той точке фазового пространства, где в этот момент находится дви- [c.167]

Разложение ускорения на локальную и конвективную части может быть обобщено и на определение индивидуальной (субстанциональной) производной от некоторой скалярной, векторной или тензорной величины, связанной с индивидуальным движением жидкой частицы. Пусть, например, каждому положению частицы жидкости или газа в пространстве в определенный момент времени приписывается некоторая величина э (например, температура частицы, плотность), тогда совокупность значений величины ( образует некоторое поле, и при движении жидкой частицы величина будет изменяться как в силу нестационарности поля локальное изменение ), так и вследствие перемещения частицы с течением времени из одного пункта поля в другой конвективное изменение ). Полная индивидуальная производная по времени от величины <р будет складываться из локальной производной dконвективной производной, равной [ср. с (37)] [c.55]

Напомним, что переход от векторной задачи к скалярной возможен, если задача двумерная, а тело и поле не зависят от координаты 2. Поле и пропорционально так что производная ди/дМ з может быть названа электрическим полем, касательным к металлу. На поверхности тела и пропорционально току на металле. [c.122]

СЖИМАЕМАЯ СРЕДА. ТЕОРЕМЫ. Зафиксируем время t, рассматривая мгновенную картину течения и соответствующую ей мгновенную конфигурацию области 2). Будем исследовать в области D некоторые векторные и тензорные поля. Предположим, что соответствуюпхие скалярные функции непрерывны и дифференцируемы в /> и имеют в D необходимое число непрерывных и дифференцируемых производных по независимым переменным. Введем следующие определения. [c.147]

Для любого значения imodx второй дифференциал функции Лагранжа по скорости является положительно определенной квадратичной формой и определяет скалярное произведение (,) на касательном пространстве Т- щМ. Пусть — ковариантная производная вектощото поля вдоль 7, согласованная с метрикой ( , + "п)- Вторая вариация функционала S в критической точке т является квадратичной формой на множестве гладких т-периодических векторных полей I вдоль у [c.158]

Поле скорости жидкости. Скорость является важнейшим понятием, которое наряду с законом движения характеризует течение жидкости. В лагранжевых координатах при наличии закона движения (1.12) скорость 1> Х,0 жидкой частицы по определению V = Ьх/Ы. Она вычисляется для фиксированной частицы и численно равна расстоянию, прдходимому за единицу времени, поэтому здесь берется частная производная от х по Однако задание скорости в лагранжевых координатах при описании движения жидкости встречается крайне редко. Кроме того, такое задание не позволяет просто определить пространственные градиенты скорости в точках жидкости. Поэтому при анализе течения основной независимой переменной выступает векторная функция и(х, 1) — скорость жидкости в точке х в момент времени /. В эйлеровых координатах она определяется как объем жидкости, проходящей за единицу времени через единичную площадку, которая перпендикулярна направлению потока. Отыскание векторного поля скоростей к(х, 1) наряду со скалярными полями давления р(х,0 и плотности р(х, /) является основной задачей гидромеханики. [c.16]

Ui = onst, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных можпо использовать классический способ разделения переменных. Таким ь1етодом фактически и воспользовался Мн для решения упоминавшейся выше задачи о сфере, обладающей конечной проводимостью. В этом случае решение краевой задачи имеет вид бесконечного ряда и его ценность зависит от легкости вычисления необходимых функций, а также от скорости, с которой ряд сходится. Этот метод применялся в различных случаях (помимо задачи со сферой) особенно надо отметить его использование в случае дифракции на круглом диске или отверстии [5]. Следует, однако, замерить, что ли1иь некоторые из этих работ относятся к чисто скалярным задачам типа задач, встречающихся в теории звуковых волн малой амплитуды дальше будет показано, что двумерные задачи в электромагнитной теории принадлежат в основно.м к этому типу, но в других случаях векторная природа электромагнитного поля приводит к дополнительным осложнениям. [c.514]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...