Решение уравнений с логарифмическими ядрами

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ ЯДРАМИ [c.299]

В разд. 7.5 дано решение уравнений (7.47) и (7.48) с логарифмическими ядрами вида [c.285]

Введением вспомогательной функции, пропорциональной неизвестной плотности заряда на электроде, решение системы (32) сводится к интегральному уравнению первого рода с логарифмическим ядром относительно введенной функции. Решение последнего строится с использованием некоторого разрывного интеграла и позволяет получить простое выражение для плотности зарядов Q(x) на электроде [c.593]

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ [c.289]

Решение методом больших Л интегрального уравнения первого рода с логарифмической главной частью ядра. Многие плоские смешанные задачи механики сплошной среды сводятся к решению интегрального уравнения [88 [c.39]

Для решения уравнения (24.11) в его ядре следует отделить логарифмическую особенность от слагаемых, содержащих резонансы изолированных областей V+ и V . С этой целью каждое из слагаемых ядра, т. е. G+ и G", удобно разложить по собственным функциям [c.251]

Все работы [19, 37, 42, 130, 239], посвященные изучению случая тонкого кольцевого штампа (большие Я, е ,1) так или иначе основаны на точном обращении интегрального оператора, соответствующего логарифмической части ядра (2.5), с последующим приближенным решением получаемого уравнения Фредгольма второго рода. [c.201]

В работе [82] путем точного обращения интегрального оператора, соответствующего логарифмической части ядра M t), уравнение (2.21) приведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Затем регулярная часть ядра M(t) аппроксимируется полиномом, и задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Заметим, что использованный метод решения эффективен лишь при достаточно больших значениях параметра б/а, что входит в противоречие с начальным предположением [c.205]

Таким образом, контактная задача о вдавливании шара заданной-нагрузкой в жесткое основание сведена к определению функции р(х) из интегрального уравнения (6.10) при условиях (6.11) и (6.12). Можно показать, что ядро 1(х, I) имеет логарифмическую особенность прй х=1. Это связано с тем, что функция 5 (л , 1) имеет излом при х=1. Решение р(х) ограничено всюду в области контакта 0 д 1, если, как обычно, штамп задан функцией р(0), имеющей непрерывную первую и> вторую производную. Условия (6.11) и (6.12) служат для определения величины сближения и множителя при корневой особенности в контактном давлении. Для разрешимости уравнения (6.8) в классе ограниченных функций необходимо принять с=0. Тогда условие (6.12) определит заранее неизвестную величину области контакта 8=tg /2. [c.236]

В другой работе Я. С. Уфлянда [257] рассматривается задача о кручении упругого слоя двумя соосными штампами различных радиусов. Методом парных уравнений решение этой задачи сводится к системе из двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода, ядра которых снова выражаются через логарифмическую производную гамма-функции. [c.250]

В разд. 8.2 рассмотрено взаимодействие жестких штампов с тонкой круговой цилиндрической оболочкой по дугам окружности поперечного сечения. Дается подробное решение названной задачи от вывода исходного интегрального уравнения до численного расчета. Так как путь решения данной задачи является характерным для всех других контактных задач, следует на нем остановиться. На основе результатов гл. 6 записывается изгнбная поперечная деформация срединной поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности поперечного сечения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в некоторой другой точке той же окружности. Иными словами, строится функция влияния, которая выполняет роль функции Грина при записи интегрального представления для из-гибиой деформации от произвольной нормальной погонной нагрузки, приложенной по дуге окружности поперечного сечения. П-ри записи такого представления существенную роль играет то, что главнаи часть функции Грина (логарифмическое ядро) записывается в явном замкнутом виде, остальная регулярная часть (регулярное ядро) записана в виде тригонометрического ряда. Сходимость такого ряда весьма хорошая (как 1/п при больших п), она исследована в гл. 6. Найденная нагибная деформация оболочки приравнивается разнице между исходной кривизной оболочки на линии контакта и кривизной основания штампа, которая предполагается несколько меньшей, чем кривизна оболочки. Так получается исходное интегральное уравнение с логарифмическим разностным ядром вида а — ар [c.319]

Чтобы существовало нетривиальное решение системы (4.22), приравняем нулю ее определитель придем к уравнению для нахождения первых I характеристических чисел с интегрального оператора в (4.14) с логарифмическим ядром. Определпв с , найдем затем выразив их через [c.362]

Примененный здесь способ решения названных уравнений тот же, который использован при решении уравнения (7.17) с разностным логарифмическим ядром вида In х—у. Способ состоит в том, что путем интегрирования по частям интеграла с искомой функцией исходные уравнения приводятся к сингулярным интегральным уравнениям с ядрами типа tg и th. Затем из разд. 7.4 берется готовое решение последних, ограниченное на концах. Решение исходных уравнений получается дифференцированием полученных решений, при этом используются формулы дифференцирования си-нгулярных интегралов, выведенные в разд. 7.4. Данный способ решения описан в работах [13, 40]. Уравнение (7.47) с ядром [c.285]

Эти спектральные соотношения содержатся- в работе П. И. Клубина [17], в статье Г. Я. Попова [351. В исследовании [37] показывается, что применеине ортогональных многочленов для решения интегральных уравнений контактных задач тесно связано с наличием специальногв класса так называемых полиноминаль-ных ядер (к которым должны относиться ядра интегральных уравнений). Автор дает способ построения таких яд зр, на основе которого получаются как известные ранее, так и более общие ядра. В качестве примера приведено спектральное соотношение для логарифмического ядра [c.287]

Как видно, проблема сводится к решению уравнения (20.188), представляющего собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром, содержащим функцию —Ю- обладающую ъ h = l бесконечностью логарифмического характера. Рассмотрим, для простоты, решение (20.188) применительно к случаю, когда граничные поверхности являются абсолютно черньгми. Уравнение (20.188) в этом случае имеет вид [c.543]

В работе Хантера [71] решена двумерная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству, причем рассмотрен случай, когда можно пренебречь инерционными силами. Исследование выполнено в рамках линейной теории, деформации считаются малыми, и граничные условия на поверхности относятся к недеформированному состоянию среды. Подход, примененный в работе, заключался в представлений нормальной составляющей поверхностного смещения в виде интеграла от существующего решения задачи о движении распределенной линейной нагрузки, что привело к сингулярному интегральному уравнению отцосительно искомой функции поверхностного давления (вязкоупругий аналог формулы Буссинеска). Решение задачи осуществлялось путем эквивалентного преобразования интегрального уравнения в уравнение с обычным логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления. Замкнутый вид решения был получен для материала, физические свойства которого описываются одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространении их на более общий случай вязкоупругого тела, у которого ползучесть характеризуется конечным числом времен релаксации, метод при- [c.401]

Возбуждение волн Рэлея в пьезополупространстве системой 2Л симметрично расположенных на свободной поверхности электродов рассмотрено в [4]. Авторы, используя результаты работы [41], сводят решение задачи к N системам интегральных уравнений, ядра которых имеют логарифмические особенности. Представляя решения этих уравнений в виде рядов по полиномам Чебышева первого рода с неизвестными коэффициентами, получают бесконечную систему уравнений для их определения. [c.598]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...