ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральная формулировка задач теплопроводности из "Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций (БР) " Использование (1.69) предполагает, что w (М) и Т (М) непрерывны во всех точках М V и N S объема тела и его поверхности (S = Si 4- Si) и, кроме того, имеют в точках М V непрерывные производные по веем пространственным координатам. [c.23] Для двумерной задачи (1.76) сохраняет силу, но вместо (1.71) W М, Мо) описывается (1.77) У и S соответствуют объему и поверхности цилиндра с образующей единичной длины и поперечным сечением, отвечающим плоской области. Параметр Я (Мо) = 2л, если Мо является внутренней точкой области (Мо V), (Мд) = л, если Мо находится на гладком участке S границы, и, наконец, Q (Мо) равен внутреннему углу (в радианах), если Мо является угловой точкой контура плоской области когда Мо находится вне области, (Мо) =0. [c.25] Таким образом, знание функции Грина открывает путь к получению явного решения задачи, относительно искомого распределения температуры. Однако найти эту функцию довольно сложно. Функции Грина известны лишь для некоторых областей достаточно простой конфигурации [49]. Вместе с тем для построения функции Грина можно использовать приближенные методы, что позволяет из (1.81) получить для одной и той же области приближенное решение серии задач при различных заданных функциях qv (М), М V h N), iV е и N), N е 2. [c.26] Решение вида (1.81) можно распространить и на случай неоднородной области, когда X = А, (М), т. е. коэффициент теплопроводности зависит от положения точки М V. Для нелинейных задач формула вида (1.81) приводит к нелинейному интегральному уравнению для,определения Т (Мо). Решение нестационарной задачи теплопроводности, описываемой (1.64), также допускает представление в интегральной форме [49]. [c.26] Слабая формулировка позволяет воспользоваться для поиска Т (М) или Т М, t) большой группой приближенных методов решения, которые отличаются друг от друга особенностями выбора функции W (М), называемой обычно весовой функцией [13]. [c.27] Условие (1.87) и свойство (1.89) функционала (1.88) позволяют использовать ряд эффективных методов приближенного определения температурного состояния тела, обладающих возможностью оценивать погрешность приближенного распределения температуры относительно ее истинного распределения. Если известны два приближенных решения Ti (М) и Тг (М) и они являются допустимыми распределениями для (1-88), то следует предпочесть как более близкое к истинному то из них, которое соответствует меньшему значению J (Т). В этом случае значение J (Т) играет роль интегрального критерия для сравнительной оценки двух и более приближенных решений задачи, дающего объективные основания для выбора наилучшего решения без количественной оценки погрешности по сравнению с истинным распределением температуры. [c.28] Однако при приближенном решении задачи значения А/ (Т) и jui неизвестны. Для достоверной оценки Z (Т) достаточно располагать приближенными значениями ДУ (Т) и [I l, причем должны выполняться условия AJ (Т) Д/ (Т) и III. Значение ц[ обычно нетрудно получить из общих свойств собственных значений [9], а AJ (Т) можно найти на основе дополнительного вариационного принципа для задачи стационарной теплопроводности (1.65)—(1.67). Этот принцип приводит к выражению для встречного функционала по отношению к основному (1.88), имеющего с ним совпадающие экстремальные значения, но достигающего на истинном решении задачи не минимума, как основной функционал (1.88), а максимума. [c.29] Следовательно, вместо неизвестного в (1.90) значения J (Т) для оценки сверху средней квадратической погрешности Z (Т) приближенного решения Т (М) можно использовать разность AJ (Т) = J (Т) — J (qi, Т) основного (1.88) и встречного (1.95) функционалов. Кроме количественной оценки погрешности приближенного решения задачи цепочка неравенств (1.96) позволяет установить верхнюю и нижнюю границы истинных значений некоторых важных интегральных характеристик, связанных с температурным состоянием тела. [c.30] Вернуться к основной статье