Продольные колебания однородного стержня

Продольные колебания однородного стержня [c.480]

ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ [c.481]

Тому же уравнению подчиняются продольные колебания однородного стержня (или газа в трубе). Параметр v равен п = / /р, где —модуль упругости материала, р —объемная плот- [c.320]

Пример 1. Рассмотрим продольные колебания однородного стержня с одним жестко закрепленным (л = О) и другим свободным (л = I) концами. В этом случае краевые условия выражаются равенствами [c.254]

Хотя теоретически все три класса колебаний, зависящих соответственно от сопротивления удлинению, сопротивления кручению и сопротивления изгибу, совершенно различны и, поскольку можно пренебречь квадратами деформаций, независимы один от другого, все же в действительных опытах со стержнями, которые никогда не бывают ни строго однородными по материалу, ни точно цилиндрическими пэ форме, часто оказывается невозможным возбудить продольные или крутильные колебания без того, чтобы они не сопровождались в той или другой мере движением в поперечном направлении. В стержнях обычных размеров наиболее низкая частота поперечного колебания значительно ниже, чем самая низкая частота продольного или крутильного колебания и вследствие этого обычно случается, что основной тон какого-либо из последних видов колебаний совпадает по высоте более или менее точно с каким-нибудь обертоном колебания первого вида. При таких обстоятельствах правильные типы колебаний становятся неустойчивыми, и небольшая неправильность может вызвать большой эффект. Трудность возбуждения чисто продольных колебаний в стержне аналогична трудности получения колебаний струны в одной плоскости. [c.265]

В работе [42] рассмотрены колебания однородного стержня, один конец которого прижат к поверхности с силой а другой свободен (рис. 20). Предполагается, что стержень постоянного сечения совершает гармонические продольные колебания вплоть до момента соприкосновения с обрабатываемой поверхностью. Предполагалось также, что система абразив—обрабатываемая поверхность соответствует абсолютно жесткой поверхности. Решение этой задачи позволяет найти распределение смещений, скоростей и напряжений вдоль стержня. В частности, было найдено аналитическое выражение величины напряжений на конце стержня в любой момент времени, из которого можно получить зависимость максимума напряжений в процессе обработки от амплитуды колебаний и силы прижима х= (4/.5с) г — некоторая константа, [c.34]

Уравнения (6.55) и (6.56) могут быть использованы прежде всего для динамического расчета колеблющихся систем, т. е. для определения динамических деформаций и напряжений в сечениях стержня при продольных или крутильных колебаниях. Эти уравнения можно также использовать для определения собственных частот колебаний однородных стержней при заданных краевых условиях. Так, например, для стержня с грузом на конце (пример 2) можно записать, взяв за начало верхний закрепленный конец [c.269]

Н. В. Новиков Л. 26] исследовал рассеяние энергии колебаний в материале при однородном, неоднородном и сложно-напряженном состояниях. При этом изучались продольные колебания, крутильные колебания и совместные продольные и крутильные колебания стержней. Эти опыты также были выполнены с образцами стержней, представлявших собой тонкостенные трубки из стали марки Ст. 10. Средний диаметр трубки составлял 10 мм, толщина стенки 0,6 мм, длина рабочей части 50 мм. Частота продольных колебаний составляла 1 830 гц, крутильных 350 гц. [c.16]

Определение собственных частот и форм продольных колебаний. Подстановка (5) в краевые условия дает систему линейных однородных уравнений для определения С,. Из условия существования ненулевого решения этой системы (равенство нулю ее определителя) следует уравнение частот. Формы собственных колебаний определяются ненулевым решением j при ы = ы ., где — одна из собственных частот. Для различных случаев закрепления концов стержня собственные частоты или уравнения для их определения и выражения для форм собственных продольных колебаний стержней представлены в табл. 1. [c.191]

Импедансный метод и метод вибрации способны выявить дефекты при соединении не только однородных, но и разнородных материалов [25]. Импедансный метод [27] основан на сравнении жесткости отдельных участков соединений конструкции. Если стержень, совершающий продольные колебания, соприкасается с монолитным участком изделия, то вся конструкция колеблется как единое целое и механическое сопротивление (механический импеданс), оказываемое изделием стержню, определяется жесткостью всей конструкции. Нарушение сплошности материала вызывает изменение его жесткости. Сила реакции при этом резко уменьшается, что приводит к падению напряжения на пьезоэлементе датчика. Эти изменения импеданса материала шва фиксируются стрелочным индикатором или оповещаются световыми сигналами. Дефекты, расположенные параллельно поверхности, надежно выявляются, если жесткость прилегающего к дефекту поверхностного слоя меньше жесткости остальной части материала. Существенным достоинством метода служит точечный [c.567]

Рассматриваются способы определения частот изгибных колебаний однородного прямолинейного стержня, основанные на формулах Релея и Граммеля (см. [83]). С помощью принципа Гамильтона-Остроградского проведён анализ точности вычисления частот колебаний по принятой форме изгиба стержня. Получены аналоги формул Релея и Граммеля, учитывающие влияние продольных сил инерции. [c.165]

Электромагнитный динамический метод возбуждения и регистрации продольных волн, описанный выше, мало пригоден при изучении затухания волн и Д -эффекта в ферромагнитных металлах, так как намагниченные сердечники возбудителя и приёмника вносят искажения магнитного поля в стержне. Поэтому при исследовании упомянутых явлений предпочтительнее применять методы возбуждения и регистрации колебаний, не приводящие к изменению магнитного состояния образца. Можно, например, использовать кристаллы сегнетовой соли среза L, приклеив их на концы стержня из исследуемого ферромагнитного металла ). Соединив одну пластинку с генератором электрических колебаний, а другую — с усилителем и закрепив стержень в середине (так же, как на рис. 238), можно при помощи, например, электронного осциллографа измерить резонансную частоту стержня и ширину резонансной кривой. Полученные данные позволяют определить модуль Юнга и затухание продольных волн в стержне. Поместив стержень в продольное однородное магнитное поле и меняя напряженность поля, можно проследить за изменениями модуля Юнга исследуемого образца и изменением амплитуды колебаний стержня, откуда легко определить затухание продольных волн в образце. [c.376]

Пример 14. Концы однородного стержня длины I прикреплены при помощи пружин равной длины к двум неподвижным точкам, находящимся на расстоянии I одна от другой. Считая, что продольные колебания стержня определяются уравнением [c.495]

Уравнения продольных колебаний стержня постоянного сечения из однородного изотропного материала, подчиняющегося закону Гука, имеют вид [c.103]

Произвольные постоянные С и Сг определяются из условий закрепления стержня. При этом каковы бы ни были граничные условия, для постоянных интегрирования Сх и С2 всегда будем получать систему двух линейных однородных уравнений, решение которых, как известно, возможно при равенстве нулю определителя системы. Приравнивая нулю указанный определитель, получим трансцендентное уравнение для нахождения частот собственных продольных колебаний. [c.128]

Когда Q(x, t) = О и жесткости ЕА и GIp постоянны по всей длине стержня, уравнения свободных колебаний (продольных и крупных) однородного стержня имеют вид [c.251]

Пример 131. Тонкий однородный стержень ОА веса G, массы Л1 и длины / совершает колебания в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня О. Определить продольное усилие JV, поперечное усилие Т и изгибающий момент в любом сечении х стержня (рис. 370). [c.353]

С этой целью рассмотрим продольные собственные колебания, возникающие в однородном упругом стержне длиной I (рис. 432). Положим, что концы стержня свободны и на один из его торцов (для определенности — левый) в результате удара в момент t = О начинает действовать кратковременная сила /, направленная вдоль оси х вправо (мы не будем учитывать движения стержня как целого). Как было [c.659]

Принцип Вольтерра [1], который используется при решении статических упруго-наследственных задач, может быть с успехом распространен на динамические упруго-наследственные задачи, в частности, на задачу о свободных продольных колебаниях однородного стержня, возникших в результате снятия сжимающ,их нагрузок в начальный момент времени =0. Пусть длина недефор-мированного стержня была 21, а сжатого до момента t=0 — [c.128]

Пример 6. УРАВНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСОЛЬНОГО СТЕРЖНЯ, СОСТАВЛЕННОГО ИЗ ДВУХ ОДНОРОДНЫХ ОТРЕЗКОВ. Пусть на отрезке АВ жесткость равна 1Л1, а на отрезке ВС — Е2А2 (рис. 63, б). Гармонический коэффициент в В для левого отрезка составляет [c.267]

В рассмотренном случае обертоны струны (а также продольных колебаний стержня) оказались гармоиимсскими. Это обусловлеь о упомянутым в 146 обстоятельством — пропорциональностью между смещениями и возникающими силами — и однородностью сплощной системы плотность и упругие свойства струны во всех точках одни и те же. Поэтому и скорость распространения импульса вдоль всей струны одис и та же. Импульс отражается только от второго конца струны. [c.672]

В простейших случаях, например в однородной и одномерной ) сплошной колебательной системе, рассмотрение нормальных колебаний, вынужденных колебаний и резонанса не представляет трудностей (мы убедились в этом при рассмотрении продольных колебаний стержня). Однако полученные при этом результаты нельзя безогово- [c.693]

Потери в конструкциях. Выше говорилось о потерях в материалах и в отдельных однородных упругих элементах. Рассмотрим теперь потери в конструкциях, которые составлены из многих элементов, изготовленных из различных материалов. Очевидно, что общие потери в конструкции складываются из потерь в ее составных элементах. Однако вклад этих элементарных потерь в общие потери различен и существенным образом зависит от формы колебаний конструкции в целол1. Так, потери машины, установленной на амортизаторы, зависят от того, насколько близко к пучностям или узлам собственной формы колебаний машины расположены амортизаторы. Потери в простейшей конструкции — однородном стержне — зависят от того, совершает он из-гибные, продольные или крутильные колебания. На одной и той же частоте потери этих трех форм движения различны, так как обусловлены разными физическими механизмами демпфирования. Для расчета общих потерь в конструкции, таким образом, требуется знать не только потери в отдельных ее элементах, но и форму колебаний всей конструкции. Ниже приводятся примеры расчета потерь в двух типичных составных машинных конструкциях и обсуждаются полученные результаты. Такие расчеты необходимы при проектировании машинных конструкций с оптимальными демпфирующими свойствами. [c.218]

Виброизолнруемый объект— однородный стержень длиной L н площадью 5 (рис. П). Дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня [c.233]

Подавляющее большинство исследований рассеяния энергии колебаний было выполнено в условиях неоднородного напряженного состояния материала. Рассмотрим сначала более простой случай — рассеяние. энергии колебаний при однородном напряженном состоянии. В. П. Thmohi hko выполнил одн) из таких работ [79]. Исследованию были подвергнуты продольные и крутильные колебания трубчаты.ч стержней из стали Ст. 2. Длина стержней составляла 50 [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...