Гиперсфера

Возможно использование и других аппроксимаций ОА, например областей с линеаризованными границами в виде участков гиперплоскостей, областей в форме гиперсфер и т. п. [c.150]

В конкретных задачах оптимального проектирования довольно часто зависимость критерия оптимальности F от параметров проектирования X получается слишком сложной. В этих случаях вместо вышеизложенных регулярных методов оптимизации используют методы случайного поиска. В этих методах направление поиска Р выбирают случайно, например, равновероятно в пределах гиперсферы с центром в точке X<, i. Существует огромное число алгоритмов случайного поиска. Следует отметить, что регулярные алгоритмы поиска являются частным (а точнее, вырожденным) случаем стохастических алгоритмов. [c.290]

Чтобы избежать нормирования векторов направления, присущего детерминированным методам, можно рассматривать в виде постоянных радиусов, исходящих из центра гиперсферы (рис. П.5,б). Анализируя равномерно распределенные случайные точки на гиперсфере, выбирают точку с наилучшим значением Но (точка Zk на рис. П.5, б). Направление, соединяющее центр окружности (исходную точку 2 ) с точкой 2 , принимается в качестве и в этом направлении совершается шаг Д2, максимизирующий по модулю ДЯо. В найденной точке 2)1+1 процедура повторяется. Сходимость такого процесса поиска существенно зависит от радиуса гиперсферы (окружности на рис. П.5,6), По аналогии со значением градиентного шага вдали от оптимума радиус можно взять достаточно большим и уменьшать его по мере приближения к оптимуму. [c.247]

Кроме гиперсфер и направляющих косинусов для построения случайных направлений используются также многогранники, например симплексы. В случае двух переменных регулярный симплекс представляет равносторонний тре- [c.247]

Прямые методы покоординатного поиска непригодны для решения задачи Д, за исключением частного случая, когда ограничения заданы в виде гиперплоскостей, ортогональных координатным осям (рис. П.6, г). Наоборот, прямые методы случайных направлений легко адаптируются к появлению ограничений на пути движения. Например, при выборе случайных направлений с помощью гиперсфер или направляющих косинусов достаточно дополнительно учесть линеаризацию поверхности ограничений (рис, П.6, d). При использовании многогранников для выбора случайных направлений вершины, принадлежащие недопустимой области, отбрасывают. Поэтому при решении задачи Д вместо симплексов применяют комплексы с числом вершин, значительна превышающим размерность-пространства поиска. Тогда, отбрасывая ряд вершин, удается сохранить многогранник достаточной размерности для определения направления движения. На основе направляющих конусов и комплексов построен ряд эффективных алгоритмов адаптируемого направленного поиска [80]. [c.251]

В пространстве вектора деформаций предельным поверхностям So, S соответствуют некоторые предельные поверхности Fo, F-В случае первоначально изотропного материала начальная предельная поверхность Fq является гиперсферой с центром в начале координат. В отличие от пространства вектора напряжений в пространстве деформаций в случае идеального упругопластического материала предельная поверхность F не совпадает с начальной поверхностью Fo- [c.253]

В пятимерном пространстве девиаторов это — уравнение гиперсферы таким образом, в этом пространстве поверхность текучести строго выпукла. В пространстве напряжений а , так же как в пространстве главных напряжений о<, поверхность текучести представляет собою цилиндр, она только не вогнута. В случае плоского напряженного состояния, когда одно из главных напряжений, скажем Оз, равно нулю, естественно вести рассмотрение не в октаэдрической плоскости, а в плоскости Оз = 0. На ркс. 15.6.2 представлен шестиугольник, получающийся в пересечении этой плоскости с призмой Треска — (]ен-Вена-на и описанный вокруг него эллипс Мизеса. В первом случае выполняется одно из следующих условий [c.496]

Далее, известно, что в гиперсферой с центром в q , q и радиусом г( 0) называется гиперповерхность (или многообразие 2я—1 измерений), определяемая уравнением [c.353]

Наоборот, состояние равновесия в С будет неустойчивым, если внутри всякой гиперсферы с центром в М к как угодно малым радиусом -Г) всегда будет существовать по крайней мере одна точка Р(1, отправляясь от которой точка Р в конце концов выйдет на концентрической гиперсферы с радиусом, не зависящим от itj. [c.356]

Если возьмем е достаточно малым для того, чтобы гиперсфера [c.356]

S, с центром в уИ и радиусом вся была внутри окрестности точки М, в которой чувствуется действительный минимум функции Н, то этому е можно в силу замечаний п. 3 поставить в соответствие такое число jj., что для всех точек Q, лежащих на гиперсфере будем иметь [c.356]

Далее, поверхность есть как раз гиперсфера, фигурирующая в нашем динамическом критерии устойчивости действительно, если возмущенное начальное состояние представляется точкой не внешней для, благодаря чему вначале будет справедливо соотношение (4), то разность Нр — Нм, в силу интеграла живых сил, сохранит в течение всего движения свое начальное значение Отсюда следует, что изображающая точка Р не может уже уходить из гиперсферы Не, так как, для того чтобы точка Р могла уйти из этой гиперсферы, ей нужно было бы пересечь гиперсферу в некоторой точке Q, в которой разность Hq — Н/ в силу неравенства (3) сделалась бы больше fi. и, следовательно, больше fi. . [c.357]

I) Точка на гиперсфере (10.3) определяет конечную конфигурацию тела. [c.43]

II) Конечная конфигурация тела определяет пару диаметрально противоположных точек на гиперсфере (10.3). [c.44]

Таким образом, топология пространства Q для твердого тела, одна точка которого закреплена, такова же, как топология гиперсферы эллиптического типа, диаметрально противоположные точки которой отождествлены одна с другой (конгруэнтные точки). Это пространство — двухсвязное неприводимый контур соответствует полному вращению тела вокруг какой-нибудь оси. [c.209]

Отмеченные свойства спонтанного движения позволяют предложить для решения указанной задачи приближенный метод, который связан с геометрическими представлениями в пространстве обобщенных координат и может применяться в случае, когда область возможных положений точки К, зависящая от связей между звеньями механизма, столь большая, что вмещает в себя гиперсферу (С) (т. е. сферу при === 3, круг при N = 2) с центром в точке К и радиусом Я, равным расстоянию между точками А" II К. Такие случаи являются относительно простыми, но не маловероятными практически. [c.124]

Следует заметить, что для применения данного метода не всегда обязательно, чтобы область возможных положений точки К вмещала в себя гиперсферу С полностью. Если так или иначе представляется выясненным, что участки линий Ь, выражающие собой приближенные решения задачи, находятся в пределах некоторой части гиперсферы С, то для применения метода нужно только, чтобы область возможных положений точки К вмещала эту часть. [c.129]

Итак, рассматриваемая область заключена между гиперсферой радиуса л/2тЕ и концентрической гиперсферой радиуса л 2т Е + dE). Чтобы вычислить эту величину, нужно вычислить объем гиперсферы радиуса [c.26]

Действительно, поверхность Е в нашем случае в протяженности моментов 3/А измерений есть гиперсфера с центром в начале координат [c.38]

И с радиусом у/2тЕ. Она пересекается плоскостью, проходящей через начало по гиперсфере того же радиуса с числом измерений Зи — 1, подобно тому, как обычный шар в пересечении с диаметральной плоскостью дает круг того же радиуса. В случае, когда уравнения (8) удовлетворены одновременно, область протяженности моментов есть слой dE вокруг гиперсферы радиуса у/2тЕ в пространстве Зп — 3 измерений. Повторяя те же выкладки, что и в п. 5 предыдущей лекции, получаем для энтропии [c.39]

Предположим, что центр инерции газа имеет некоторую скорость, так что газ обладает количеством движения с составляющими а, Ь, г , и что полная энергия заключается между Е и Е dE. Область протяженности моментов есть слой dE вокруг гиперсферы, получающийся от пересечения в пространстве Зп измерений гиперсферы радиуса л/ЪпЕ с плоскостью [c.39]

Plx Р2х + + Рпх 5 затем от пересечения этой гиперсферы Зп — 1 измерения с плоскостью [c.39]

И, наконец, от пересечения гиперсферы Зп — 2 измерений, сейчас нами полученной, с плоскостью [c.39]

В результате получается снова гиперсфера Зп 3 измерений, радиус которой нам нужно определить. Умножая ее поверхность на толщину, соответствующую dE. мы получим объем области протяженности моментов. Таким образом, нам сперва следует определить радиус гиперсферы, получающейся от пересечения гиперсферы в пространст- [c.40]

С элементарным построением в пространстве трех измерений, квадрат этого радиуса получится, если вычесть из квадрата радиуса данной гиперсферы квадрат расстояния от ее центра до секущей плоскости. Это расстояние равно [c.40]

Если пересечь затем эту гиперсферу Зп — 1 измерения плоскостью [c.40]

Наконец, радиус гиперсферы в приведенной протяженности моментов З д 3 измерений, который нам действительно нужен, дается формулой [c.40]

Объем шара (гиперсферы) радиуса г в пространстве п измерений. [c.100]

В табл. 6.1 приведены результаты численной реализации упрощенной модели вида (6.34), полученные методом ОСП с исполь-зование.м метода случайного поиска с направляющей гиперсферой. [c.256]

Если в процессе испытаний область U t выбирается в соответствии с некоторыми условиями (например, Uq zU t и L T имеет форму гиперсферы) и если выполнено достаточное количество шагов, то точка U может быть принята в качестве центра области Uo, а окончательная допусковая область 1]д устанавливается в соответствии с характером распределения точек Up на последнем шаге центрирования. [c.297]

Если мы теперь будем рассматривать гиперсферу с центром в точке М и радиусом г , достаточно малым для того, чтобы все ее точки Q (т. е. все точки Q, имеющие от М расстояние т) при надлежсли к только что определенной окрестности точки М, то разность Hq — Нм при изменении положения точки Q на гиперсфере будет иметь вследствие непрерывности функции Н некоторый минимум fj. и этот минимум (так как во всех точках Q чувствуется минимум) будет обязательно больше нуля. [c.354]

Докажем теперь, что оба определения устойчивости означают, по существу, одно и то же С-устойчивость означает / -устойчивость, а / -устойчивость означает С-устойчивость. Аналогичные утверждения справедливы и в отношении асимптотической устойчивости, а также неустойчивости. Доказательство этих утверждений основано на следующей лемме. Пусть х (t), как и ранее, обозначает траекторию, начинающуюся в точке ж (0). Если в момент t = О изображающая точка находится в положении ас (0), та в момент t она занимает положение x(t). За промежуток времени О i изображающая точка проходит отрезок траектории, который мы будем называть т-сегментом, начинающимся в эс (0). Возьмем положительное число г, и пусть S (г) будет множеством точек всех т-сегментов, начинающихся в точках х(0) внутри гиперсферы радиуса г, описанной вокруг точки О. Пусть г будет верхней гранью расстояний точек множества S (г) от точки О. При указанных условиях г будет непрерывной монотонно возрастающей функцией от г, обращающейся в нуль вместе с г. Положим г = f (г ) функция / (г ) непрерывна и монотонно возрастает, причем / (0) = О и О С / (г ) г, если г > 0. (В частном случае линейного приближения / (г ) = Кг, причем К = onst и О < < 1.) [c.421]

Неустойчивость. Тб, что D-неустойчивость означает С-неустой-чивость, очевидно. Остается доказать, что С-неустойчивость означает D-неустойчивость. Предположим, что имеет место С-неустойчивость. Тогда существует положительное число х такое, что, как бы мало ни было 8 > О, можно указать точку х (0) такую, что если 1 ж (0) < е, г = / (8), то для некоторого 0 из интервала О 0 т выполняется неравенство ас (0 -f- кх) > х, где к — целое положительное число, т-сегмент, начинающийся в точке X (0), расположен внутри гиперсферы радиуса 8 вокруг точки О, так что расстояние между точками ас (0) и О меньше заданного числа 8. Через к шагов точка X (0) oкaжe i я, однако, за пределами окружности радиуса х с центром в точке О, откуда и следует D-неустойчивость. [c.422]

Для решения задачи принимаем, что радиус-вектор (р) первого пересечения линии Ь с гиперсферой С является функцией только направления этой линии в точке т. е. р = р (Тц), где замена т,, любым вектором того же направления не изменяет век-тop-фyнкциIi р. Тогда принципиально возможно вести процесс последовательных приближений так, что предварительно принятое направление Тц, являющееся практически почти неизбежно неудовлетворительным, уточняется шаг за шагом в направлении, противоположном направлению градиента функции (р (то)) по изменению (повороту) направления т . [c.125]

В процессе ползучести происходиг анизотропное упрочнение материала, которое вызывает ряд явлений, аналогичных эффекту Баушингера при знакопеременных пластических деформациях. Примером может служить обратная ползучесть, когда после снятия нагрузки наблюдаются деформации противоположного знака. В теории пластичност1г для описания анизотропного упрочнения вводится тензор добавочного напряжения, определяющий смещение цегггра гиперсферы пластичности. В случае одноосной ползучести добавочное напряжение можно трактовать как имеющий размерность напряжения структурный параметр р. В уравнении механического состояния (2.6.30) положим, что скорость ползучесзи является функцией разности действующего напряжения и параметра р [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...