Периодические системы первого и второго порядков

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ 9. Уравнение первого порядка [c.120]

Во-первых, резонанс силового происхождения представляет собой вынужденные колебания устойчивой системы, которые, в частности, могут иметь место и при нулевых начальных условиях. Параметрический резонанс — это проявление неустойчивости равновесного состояния, в силу чего система при нулевых начальных условиях остается в положении равновесия и только неизбежные начальные возмущения приводят к раскачке. Так, для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, при параметрическом резонансе общее решение без учета диссипации имеет вид [c.245]

Однако для разыскания периодических решений по изложенному выше способу такое приведение к системе первого порядка вовсе не является необходимым, и мы можем применить способ Ляпунова непосредственно к первоначальной системе уравнений второго порядка. Ниже, во второй части книги, это замечание будет нами использовано. [c.157]

Во II гл. изучаются периодические системы первого и второго порядков. Здесь в основном приводятся теоремы, доказательство которых, по существу, использует тот факт, что мы имеем дело именно с такими системами. Большинство 9ТИХ теорем пе может быть обобщено на системы более высокого порядка. [c.6]

В 1773 г. Лаплас опубликовал теорему, впоследствии уточненную Пуассоном (до второго порядка по возмущающим массам), из которой следовало, что Солнечная система устойчива в том смысле, что движение каждой планеты постоянно ограничено собственным сферическим слоем, причем слои разных планет никогда не пересекаются друг с другом. Другими словами, изменения больших полуосей являются чисто периодическими. Зате.м (в 1784 г.) Лаплас, воспользовавшись уравнениями движения планет в форме Лагранжа, пришел к выводу, что наклонения и эксцентриситеты планетных орбит должны все время оставаться малыми. Свои результаты он получил, учитывая лишь первые и вторые порядки этих малых величин. Американский астроном Саймон Ньюком [23] показал, что если массы всех тел, кроме одного, малы (по сравнению с массой единственного большого тела) и орбиты малых тел имеют малые эксцентриситеты и наклонения, то такая задача п тел имеет решение в виде бесконечных многократных периодических тригонометрических рядов. При этом, однако, оставался решающий вопрос о том, сходятся илн расходятся ряды Ньюкома. Если ряды сходятся, то реальные движения планет должны быть ква-зипериодическпми если они расходятся, то о поведении планетных орбит на больших интервалах времени ничего сказать нельзя. [c.278]

Сравнение спектров элементов можно производить двумя способами либо сравнивая их у нейтральных атомов, либо у атомов и сходных с ними ионов. В первом случае элементы можно объединять в группы по признаку их принадлежности к одному столбцу или к одному периоду таблицы Менделеева. Во втором случае сравнивают атомы и ионы, образующие изоэлек-тронные ряды и, следовательно, занимающие в таблице Менделеева места по порядку их зарядовых номеров Z. Сравнение спектров по всем этим признакам нами уже проводилось в предыдущих параграфах здесь мы лишь обобщим отмеченные закономерности, иллюстрируя их материалом, относящимся ко всем периодам и столбцам периодической системы Менделеева. [c.309]

Теперь мы рассмотрим возмущение, создаваемое в звуковой волне твердым препятствием, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Рассеянные волны, наблюдаемые на большом расстоянии, обусловлены главным образом двумя причинами. Если бы препятствие отсутствовало, то в пространстве, которое оно занимало, происходили бы попеременные сжатия и разрежения. На большом расстоянии влияние преиятствия, заключающееся в отсутствии соответственных расширений и сжатий его объема, приблизительно таково, как если бы в среде, находящейся в покое, этот объем испытывал бы периодические изменения в точности противоположного характера. Результат эквивалентен действию простого источника. На создаваемое таким образом возмущение накладывается вторая система волн, вызванная неподвижностью препятствия. Если бы препятствие могло колебаться свободно и, кроме того, имело ту же плотность, что и окружающий воздух, то оно колебалось бы вместе с частицами воздуха и второй системы воля не было бы. Эта вторая система волн такова же, как если бы препятствие совершало колебания, в точности равные и противоположные по фазе колебаниям в исходной невозмущепной волне. Как мы видели в 79, этот эффект эквивалентен действию двойного источника. На первый взгляд может показаться, что первый из рассмотренных эффектов много меньше, чем второй, однако вдали от препятствия оба эффекта оказываются сравнимыми по порядку, ввиду того, что волны от двойного источника сильно ослабляются наличием бокового обтекания. [c.304]

В 9 мы показали (теорема 9.1), что если уравнение первого порядка имеет ограниченное решение, то оно имеет и (о-периодическое, т. е. в случае уравнения первого порядка условие теоремы 12.1 о продолжимости всех решений на периоде является излишним. Массера [53] показал, что для системы второго порядка это условие существенно. Приведем пример Массера. [c.192]

Метод Линдштедта очень эффективен, так как дает простой способ приближенного интегрирования возмущенной гамильтоновой системы. Этот метод сыграл большую роль в развитии теории, так как позволил построить разложение общего решения возмущенной гамильтоновой системы в формальный ряд, содержащий только периодические по времени члены. Методы, дающие такие разложения, Пуанкаре назвал новыми в противовес старым методам, в которых появлялись вековые члены вида и sin It, eos It (34]. Открытие новых методов совершенно изменило постановку вопроса об устойчивости возмущенных гамильтоновых систем (и в том числе Солнечной системы). Появление вековых членов в старых методах, обусловленное в действительности способом разложения, (подобно тому как возникает вековой член в разложении sin (l + e)i==sin<-be< osi-b. ..), считалось признаком неустойчивости движения . Усилия были направлены на доказательство отсутствия таких членов для конкретных возмущений в главных порядках разложения. Для Солнечной системы Лаплас доказал отсутствие вековых членов в первом порядке по возмущению. Пуассон нашел, что во втором порядке по возмуще- [c.191]

Первый И. п.— И. п., соответствующий удалению наиб, слабо связанного эл-на из нейтрального невоз-буждённого атома удалению из ионизованного атома следующих эл-нов соответствуют второй, третий и т. д. И. п. Первые И. п. составляют от 3,89 В для Сз до 24,58 В для Не и периодически изменяются в зависимости от ат. номера 2, увеличиваясь с ростом г в пределах одного периода периодич. системы элементов, В пределах одной группы элементов И. п. уменьшается с ростом X (рис.). Первые И. п. молекул — того же порядка величины, что и для атомов, и обычно составляют от 5 до 15 В. И. п. возрастает при повышении степени ионизации атома. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...