Энергия зонной структуры

В приложениях 4—6 будет дан вывод формулы для учета экранирования, выражений для энергии зонной структуры и энергии, зависящей только от объема. [c.117]

Приложение 5. Вывод выражения для энергии зонной структуры [c.119]

Суммирование вкладов второго порядка теории возмущений по всем к с учетом электрон-электронных взаимодействий приводит к выражению для энергии зонной структуры [c.119]

Ясно, что энергия зонной структуры может быть найдена как сумма значений bs(g). Вид характеристической функции для А1, приведенный на рис. 7.6, показывает, что характеристическая [c.169]

Основное обсуждение будет касаться симметрии кристаллической решетки и ее влияния на вид собственных значений и собственных функций уравнения Шредингера (3.20). Важнейший результат будет состоять в том, что энергетический спектр одноэлектронного состояния распадается на полосы, между которыми лежат области запрещенных энергий (зонная структура энергетического спектра). [c.70]

При этом мы не ставили вопроса о зависимости определяющих параметров от координат пространства. Зависимость плотности состояний от координат пространства означает неоднородность твердого тела. (Зависимость зонной структуры от положения в пространстве в (22.4).) В распределении Ферми энергия (зонная структура), температура и химический потенциал могут стать зависящими от пространственных координат. Если, как мы до сих пор делали, мы ограничимся рассмотрением однородных твердых тел, то Е к) не зависит от точки в пространстве. Внутренние макроскопические поля могут вызвать электростатический потенциал, зависящий от точки в пространстве, который мы, как в 27, можем прибавить к энергии зонной структуры Е = = Е (к)—еф. Тогда мы должны в как в (53.11), заменить химический потенциал электрохимический потенциал т] = —еф [c.218]

Третий член в полной энергии называется энергией зонной структуры. Его удобно записать в том же виде, что и член второго порядка (4.63) [c.483]

Мы уже вычислили в п. 1 4 структурные факторы в решетке с периодическими искажениями. Там же. мы установили, что члены в структурных факторах первого порядка по амплитудам смещений отличны от нуля в точках-сателлитах вблизи узлов обратной решетки. Эти члены дают дополнительный вклад в энергию зонной структуры (4.65), который имеет второй порядок малости по амплитудам смещений и, следовательно, соответствует гармоническому приближению. Прежде чем говорить, что мы нашли полное изменение энергии во втором порядке по смещениям, нужно быть уверенным, что учтены все вклады того же порядка. Разлагая структурные факторы по смещениям, как это мы делали в п. 1 4, мы найдем, что члены, отличные от нуля в узлах обратной решетки, содержат поправки второго порядка по смещениям. Легко видеть, что при возведении структурного фактора в квадрат эти поправки дают вклад в (4.65) второго порядка, а потому также должны быть учтены. Что касается структурных факторов, которые отличны от нуля в точках-сателлитах вблизи узлов обратной решетки, то их вклад в энергию зонной структуры пропорционален уже четвертой степени смещений. [c.484]

Собирая вместе все вклады второго порядка в энергию зонной структуры от структурных факторов в узлах обратной решетки и точках-сателлитах, мы получаем [c.484]

Можно также рассчитать зависимость энергии от смещения атома, когда он перемещается в соседний вакантный узел. Такое движение атома эквивалентно движению вакансии, а максимум энергии отвечает энергии активации движения вакансии. В этом расчете опять необходимо принимать во внимание релаксацию ионов. Любой из описанных расчетов можно выполнить непосредственно, если известна характеристическая функция. Однако в некоторых случаях оказывается проще выразить полную энергию через эффективный потенциал взаимодействия ионов. Вернемся снова к выражению (4.65) для энергии зонной структуры и запишем в явном виде структурные факторы. Тогда [c.494]

Энергию зонной структуры [c.513]

Таким образом, непосредственное использование i-оператора в качестве псевдопотенциала связано с трудностями в представлении стоячих волн возможна расходимость ряда теории возмущений из-за сингулярностей i-матрицы, а в представлении бегущих волн энергия зонной структуры (1.40) становится комплексной. [c.63]

Заметим, что формфактор рассеяния назад играет при вычислении энергии зонной структуры (1.36) более важную роДь, чем формфактор рассеяния вперед. Это связано с тем, что для рассеяния назад соответствующие знаменатели в дробях второго [c.140]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ 219 [c.219]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ 221 [c.221]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ 223 [c.223]

Из формулы (6.17) видно, что в выражение для энергии зонной структуры входит квадрат модуля W(q) при значениях q, соответствующих модулям векторов обратной решетки, для которых Siq) Ф 0. Поэтому для проблемы устойчивости кристаллической структуры таких кристаллов интересны главным образом значения lH (g )P, отвечающие первым векторам обратной решетки соответствующих кристаллических структур. [c.223]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ 225 [c.225]

Таблица показывает, что при учете одной лишь электростатической энергии наиболее устойчивой является ОЦК структура, а наименее устойчивыми — гексагональные структуры с неидеальным отношением осей с/а, не равным 1,633. Если учитывать только энергию зонной структуры и сравнивать только ОЦК, ГЦК и ГПУ структуры (с/а = 1,633), то самой устойчивой будет ГЦК структура (это вытекает и из анализа расположения векторов gn тех же структур по отношению к д ), а наименее стабильной — ОЦК структура. При этом различия между зонными энергиями этих структур больше, чем между электростатическими, вследствие чего именно вклад энергии зонной структуры определяет последовательность величин полных энергий. [c.225]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ 227 [c.227]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ-СТРУКТУРЫ, 229 [c.229]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ [c.231]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ. 233 [c.233]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ 235 [c.235]

ЭНЕРГИЯ ЗОННОЙ СТРУКТУРЫ 237 [c.237]

Су, мой но получить следующее выражение для энергии зонной структуры в третьем порядке, в котором разделены вклады среднего кристалла и разностного члена [c.251]

Ранее было показано, что энергия кристалла складывается из не зависящей от структуры части энергии С/о и зависящих от структуры энергии зонной структуры С/ьз и электростатической [c.286]

Рассмотрим сначала вклад тепловых колебаний атомов в энергию зонной структуры. Для этого следует учесть смещения атомов в выражениях для формфактора псевдопотенциала кристалла кр(ч). Чтобы сделать изложение более прозрачным, положим, что в ячейке содержится только один атом. Тогда в локальном (для простоты) приближении [c.287]

Подставляя полученные здесь вырая-сения (8.13) в (6.1), найдем для вклада Q волны в энергию зонной структуры колебаний [c.289]

Начнем, как и ранее, с выражения для энергии зонной структуры. Для его получения следует определить матричный элемент (ч) с учетом изменения формфакторов в дефектных узлах и смещений ионов, окружающих дефекты. Рассмотрим кристалл, содержащий Л с неупорядоченно расположенных дефектов (с — концентрация дефектов). Введем по аналогии со сплавами операторы заполнения v, равные единице, если в >-м узле есть дефект, и нулю, если его там пет. Тогда [c.300]

Энергия зонной структуры для этого случая может быть записана в виде [c.300]

Соответственно энергия зонной структуры, отвечающая этой части матричного элемента, будет иметь вид [c.303]

В [110] было рассмотрено с аналогичной точки зрения деформационное взаимодействие внедренных атомов. Исходными при выводе выражений для энергии зонной структуры принималась формулы (6.1) и (6.2), в которых псевдопотенциал кристалла записывался в впде [c.305]

До настоящего времени такого рода расчеты были относительно хспешными. Оказалось, что электростатическое взаимодействие дает положительный вклад в и поэтому способствует стабилизации решетки. Энергия зонной структуры обычно вносит в отрицательный вклад, что приводит к понижению частот. В щелочных металлах энергия зонной структуры, как правило, несущественна, и полная энергия определяется главным образом только электростатическим взаимодействием. Небольшие ошибки, возникающие в Р д) благодаря такой аппроксимации, несущественны, и согласие с экспериментом оказывается неплохим. В металлах более высокой валентности отрицательный вклад энергии зонной структуры сильно возрастает, и результаты становятся очень чувствительными к деталям расчета. В алюминии, например, рассчитанные частоты отличаются от соответствующих экспериментальных значений в 2 раза [131. Следует, однако, помнить, что речь идет все время о расчетах из первых принципов , поэтому указанные расхожде- [c.485]

Таким образом, когда при расчете колебательных спектров мы меняем Q в пределах зоны Бриллюэна, появляются, как легко видеть из (4.67), бесконечно быстрые изменения энергии зонной структуры каждый раз, когда величина 1 qo Q I (для любого вектора обратной решетки до) проходит через значение 2kр. Такие бесконечно быстрые изменения энергии зонной структуры в конечном итоге приводят к бесконечно быстрым изменениям частоты при изменении волнового вектора. Соответствующие аномалии в колебательном спектре получили назвашеконовскихособенностей. Физически они возникают из-за появления сингулярности в экранировании, когда одна из фурье-компонент проходит через значение волнового вектора д = 2kp и эффективность экранирования резко падает. [c.488]

ЗОННОЙ структуры. Оказывается, что электростатические энергии наиболее часто встречающихся металлических структур — гранецентрированной кубической, объемиоцентрированной кубической и гексагональной плотно упакованной (с идеальным отношением осей) — почти одинаковы. В любом случае электростатическая энергия непосредственно вычисляется. Расчет энергии зонной структуры для каждой заданной кристаллической структуры также довольно несложен. Нужно только построить обратную решетку, а затем вычислить сумму (4.65) по ее узлам. Функция Р (д) убывает с ростом д довольно быстро, поэтому для получения хорошего результата достаточно просуммировать с помощью вычислительной машины по нескольким сотням узлов. При ручном счете, когда суммирование обрывается раньше, бывает важно улучшить сходимость [13]. Этого достигают, заменяя на больших расстояниях суммирование интегрированием. [c.491]

Член Uo описывает свободный электронный газ с взаимодействием между электронами, член 17 обусловлен зонными характеристиками и называется поэтому энергией зонной структуры (иногда зонной энергией). В выражении (1.36) учтено, что при расчете "(к) взаимодействие каждой нары электронов между собой давало вклад в энергию каждого электрона, т. е. нри суммировании одноэлектронных энергий в (1.34) энергия электрон-элек-тронного взаимодействия будет ошибочно учтена дважды. Этот лишний вклад исключается вторым членом в (1.36) i/Г- [c.19]

В 11.2 мы ввели квазилокальное нрибдижение сферы Ферми, чтобы иметь возможность оперировать с нелокальным формфактором, как с локальным. При этом мы аргументировали тем, что в случае q > 2кр более существен формфактор рассеяния назад. Но мы можем рассуждать и по-другому при расчете энергии зонной структуры в (1.40) проводится суммирование по всем векторам д, т. е. учитываются все направления вектора д. Возникает естественная идея не прибегать к приближению сферы Ферми, а усреднить формфактор по всем направлениям д. Это приведет к новому квазилокальному выражению. Можио, казалось бы, рассуждать и наоборот коль скоро нам в расчете мешает то, что формфактор зависит от углов вектора к, то нельзя ли усреднять но углам вектора к Вид ФС-формфактора (4.68) показывает, что эти два усреднения полностью эквивалентны, вид усредненного формфактора в обоих случаях будет одинаков. [c.170]

Наконец, в-третьих, полученный в [12] результат указывает на допустимость во многих случаях использования второго порядка теории возмущений (6.22) в ириближенпи ферми-сферы для вычисления энергии зонной структуры. Причина этого, согласно [17], обусловлена тем, что в этих расчетах суммирование [c.232]

Таким образом, энергия зонной структуры упорядоченных по типу uZIl сплавов имеет впд [c.237]

Интересно, что с результатами 48] оказалась в согласии выполненная примерно в то же время работа [49]. В ней псевдо-потенциальная теория сплавов была применена для исследования границ фаз и стабильности некоторых структур сплавов 1п — Мд и А1 — Mg, все компоненты которых являются непереходными металлами, и это само по себе несколько повышает корректность работы [49] по сравнению с [48], где изучались в основном сплавы на основе благородных металлов. В то же время авторы [49] пренебрегли не только флуктуационным членом, но и различиями в электростатической энергии соседних фаз, считая их структуры заведомо простыми. При этом в формулах для энергии зонной структуры, как и в [49], отсутствуют поправки на обмен и корреляцию в диэлектрической проницаемости. Таким образом, в [49] численный анализ проводился аналогично однокомпонентным кристаллам, но учитывались изменения 2 и 2 при изменении концентрации компонент. Это позволило свести качественную сторону анализа в определенной мере к сопоставлению положения до с положениями первых узлов обратной решетки. [c.260]

Принятые в этих работах приближения были следующими атомные объемы и валентности компонент можно считать одинаковыми допустимо использовапие локального псевдопотенциала и второго порядка теории возмущений. В указанных предположениях энергия зонной структуры имела вид [c.262]

Так, выражение для энергии зонной структуры в [53] приводится для сплава, в котором существуют ближнпй и дальний порядок. Это приводит к замене в (6.39) параметра ближнего порядка а(р,) на величину [c.266]

Первый из этих членов отвечает электростатической энергии, второй обязан погенцпалу отгалкпваппя Борна — Майера, а третий — энергии зонной структуры. Соответственно можно записать для частот колебапий [c.293]

Подстановка этого выражения в формулы для энергии зонной структуры позволяет найти добавку к этой энергии, знак которой будет совпадать со знаком Ubs- Поэтому и величина, н знак изменения полной энергии (к (8.58) при этом следует добавить электростатическую энергию, для чего нужно воспользоваться заменой (8.57)) могут быть получены лишь строгпхМ расчетом. [c.303]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...