Полутраектория орбитно-неустойчивая

В рассмотренных выше примерах мы видели, что такие полутраектории могут быть как орбитно-устойчивыми (например, полутраектории, стремящиеся к узлу или фокусу), так и орбитно-не-устойчивыми (например, полутраектории, стремящиеся к седлу). В таких примерах состояние равновесия было простое узел, фокус или седло. Можно показать в общем виде, не делая никаких предположений относительно того состояния равновесия, к которому стремится рассматриваемая полутраектория (так что это состояние равновесия может быть как простым, так и сложным), что в случае, когда такая полутраектория орбитно-неустойчива, она непременно должна быть граничной для некоторой седловой области. Не проводя доказательства, остановимся все же на этом несколько подробнее. [c.418]

Полутраектория орбитно-неустойчивая (особая) 413 [c.914]

Теорема 38. Полутраектория L+, стремящаяся к состоянию равновесия О, орбитно-неустойчива в том и только в том случае, если существует окружность с центром в О, по отношению к которой она продолжаема по крайней мере с одной из своих сторон. [c.267]

I сколь угодно близко к точке Q, то это, очевидно, означает, что полутраектория Lq (а следовательно, в силу леммы 1 и +) орбитно-неустойчива. [c.267]

Обратно, пусть L+ — полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия О и орбитно-неустойчивая. Тогда существует ео > О такое, что сколь бы ма.яую окрестность любой точки R полутраектории L+ мы ни взяли,, среди пересекающих эту окрестность траекторий всегда найдется такая, которая выходит при возрастании t из U L )- [c.267]

О). В самом деле, тогда и вокруг каждой точки полутраектории L+ можно было бы указать такую окрестность, чтобы все пересекающие эту окрестность траектории не выходили бы из ео-окрестности L , что невозможно по самому выбору числа ео. А отсюда следует, что в случае, когда полутраектория L+ орбитно-неустойчива, все траектории, пересекающие либо часть дуги Я,, лежащую по положительную сторону L i, либо часть дуги Я,, лежащую по отрицательную сторону L i (либо и туи другую части дуги Я,), при возрастании t выходят из окружности С. Теорема доказана. [c.267]

Всякую орбитно-неустойчивую полутраекторию, стремящуюся к состоянию равновесия О, мы будем называть сепаратрисой этого состояния равновесия. При этом положительную полутраекторию будем называть ш-сепаратрисой состояния равновесия О, а отрицательную -сепаратрисой состояния равновесия О. Мы будем также называть сепаратрисой [c.277]

Лемма 6. Все точки угловой дуги и угловой траектории, а также все точки орбитно-неустойчивой полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта, могут быть граничными не более, чем для двух ячеек. [c.289]

Доказательство. Покажем сначала, что угловая дуга, угловая полутраектория и орбитно-неустойчивая полутраектория, пересекающая граничную дугу, не могут быть предельными для траектории, целиком лежащей в С, отличной от той, пз которой они выделены. Для угловой дуги и угловой полутраектории это непосредственно вытекает из определения нормальной границы (см. условие 3)). [c.289]

Далее, пусть, L . .., Lp (L) — все полутраектории, принадлежащие орбитно неустойчивым траекториям и стремящиеся к континууму а L[ L . . ., Lq (L) — все угловые полутраектории, стремящиеся к К [c.443]

Лемма 8. Орбитно-неустойчивая положительная полутраектория области С, конец которой лежит на границе области С, проходит [c.469]

Лемма 12. Пусть а — простая а-дуга, Ь — сопряженная с ней (о-дуга, простая или цик.шческая, и пусть один конец дуги а принадлежит лежащей в С орбитно-неустойчивой траектории о или совпадает с лежащим на границе С концом орбитно-неустойчивой полутраектории ), причем дуга а лежит по положительную сторону Ьо (или соответственно /уц). Тогда. 1) либо (Х ) проходит через конец сопряженной с а т-дуги Ь, лежащей по положительную сторону Ьо (Ь ) или являющейся циклической 2) либо существует начинающаяся с Ьо (Ь ) конечная цепочка отличных друг от друга орбитно-неустойчивых траекторий (последней в этой цепочке может быть полутраектория) [c.472]

Теорема 9. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области С, тождественны, т. е. существует топологическое отображение области в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустойчивые. [c.52]

Орбитно-неустойчивая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия (безразлично, простому или сложному), называется сепаратрисой. В случае, когда сепаратриса является положительной полутраекторией, она называется а-сепаратрисой в случае, когда она является отрицательной полутраекторией,— а-сепаратрисой. [c.53]

Приведенные теоремы позволяют сделать исчерпывающие заключения относительно того, какие полутраектории, а следовательно, и какие траектории орбитно-неустойчивы. Именно, всякая орбитно-неустойчивая (т. е. особая) траектория принадлежит к одному из следующих типов [c.53]

Если все полутраектории параболической области стремятся к состоянию равновесия при г +оо (1- — оо), то они, очевидно, являются (О-(а)-орбитно-устойчивыми. Однако среди них могут быть полутраектории особых траекторий, являющихся а-((о)-орбитно-неустойчивыми. [c.60]

Все сказанное относительно положительной полутраектории с очевидными изменениями может быть повторено и относительно отрицательной полутраектории. Таким образом, мы будем также говорить о траектории, орбитно-устойчивой при — со, или а-орбитно-устойчивой, и о траектории, орбитно-неустойчивой при [c.413]

Если полутраектория 1%, стремящаяся к состоянию равновесия О, орбитно-неустойчива, то можно указать е О такое, что среди траекторий, проходящих через сколь угодно близкие к L точки, всегда найдется траектория, выходящая при возрастании 1 из е -окрестности Ь. Рассмотрим е -окрестность состояния равновесия О. Мы всегда можем предполагать е столь малым, чтобы е -окрестность [c.418]

Рассмотрим теперь наряд5 с со- и а-сепаратрисами состояния равновесия О все стремящиеся к этому состоянию равновесия полутраектории орбитно-неустойчивых траекторий области G, не являющиеся его сепаратрисами, и неренумер5 ем все эти полутраектории (вместе с сепаратрисами) i [c.357]

Полутраектория (положительная или отрииательная), не являющаяся орбитно-устойчивой, называется орбитно-неустойчивой полутраекторией. [c.259]

В первом случае состояние равновеспя О, очевидно, и О)- и а-орбитно-устойчиво. Во втором случае в силу теоремы 37 состояние равповесия О орбитно-неустойчиво. Этим вопрос об орбитной устоГ1ЧЦвости и неустойчивости состояния равновеспя решается полностью. Мы перейдем теперь к рассмотрению орбитно-неустойчпвых полутраектори , стремящихся к изолированному состоянию равновесия. Докажем сначала некоторые вспомогательные предложения. [c.263]

Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию равиовесия. Преднодагая, что окружность С, дуга без контакта I, полутраектория и <2 — общая точка / и удовлетворяют тем же условиям, что II выше, введем следующее онределение [c.266]

Б этом случае к множеству особых траекторий, целиком лежащих в замкнутой области G (т. е. к множеству лежащих в G орбитно-неустойчивых траекторий с добавлением всех орбитно-устойчивых состояний равновесия), присоеднпяется еще конечное число дуг без к01ггакта, дуг траекторий и некоторых полутраекторий, характеризующих нормальную границу той области G, в которой рассматривается динамическая система. [c.285]

Лемма 4. Если какая-нибудь отличная от угловой точка особой полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта т. е. точка угловой полутраектории или орбитно-неустойчивой тыутраек-тории, пересекающей граничную дугу без контакта), является граничной точкой для какой-нибудь ячейки, то и все точки зтой дуги или этой полутраектории являются граничными для той же ячейки. [c.288]

Случай динамической системы на сфере. Рассмотрим теперь динамическую систему на сфере. Будем так же, как и в случае динамической системы в плоской области, называть особой траекторией или особтлм элементом всякую орбитно-неустойчивую траекторию, а также всякое орбитно-устойчивое состояние равновесия. Траекторию, не являющуюся особой, т. е. орбитно-устойчивую, будем называть неособои. Будем также называть особой полутраекторией полутраекторию особой траектории. Пусть Е — множество точек, принадлежащих особым траекториям. Имеет место лемма, доказательство которой проводится так же, как и дока .а-тельство леммы 1. [c.290]

Доказательство. По условию рассматриваемая полутраектория лежит в Ь ео (О). Поэтому все ее ш (а)-предсльные точки должны лежать в О). Так как в силу выбора Ь пс может быть замкнутой траекторией, то множество ее ш (а)-продельных точек состоит из целых орбитно-неустойчивых траекторий, расположенных в (О), т. с. состоит из одного состояния равновесия О. А это и значит, что полутраектория стремится к состоянию равновесия О. Лемма доказана. [c.321]

Пусть / > т таково, что при всех i > i у полутраектории Lp ист общих точек с окружностью С. (Отметим, что последняя общая точка полутраектории Ьр с окружностью С может быть отлична от точки Р, так как полутраектория Ьр не имеет точек вне окружности С, но мо жст иметь общие точки с окружностыо С (рис. 195).) Пусть Р — точка этой полутраектории, соответствующая значению t=t. Очевидно, существует е > О такое, что е-окрестность части Р О полутраектории Ьр пе и.мест общих точек с окружностью С. Но сколько бы малую а-окрестность (а > О, а С е) точки Р мы ни взяли, все траектории bi, проходящие при / = т через точки Pi с достаточно большими номерами при значении I = t, пройдут через ог-окрестность точки Р. При дальнейшем возрастании t эти траектории непременно выйдут из Е-окрестности части Р О полутраектории Ь%>. Действительно, точка Qi каждой траектории b принадлежит кривой С и лежит вне е-окрестности части Р О полутраектории ZtJ.. А при сделанном выборе движения на траектории b точка Q соответствует значению = т-(- — / ), которое заведомо больше t для всех достаточно больших значений i. Это, очевидно, и означает, что полутраектория Ь% орбитно-неустойчива. [c.324]

Состояния равновееия типа центр. Предположим теперь, что рассматриваемое состояние равновесия О таково, что к нему не стремится ни одна полутраектория. Тогда в силу теоремы 18 4 в любой сколь угодно малой окрестности точки О есть залшнутая траектория, содержащая точку О внутри. В силу предположения о конечности числа орбитно-неустойчивых траекторий существует во > О такое, что в окрестности О) не лежит целиком ни одной особой траектории кроме точки О. Пусть L — замкнутая траектория, целиком лежащая в (( ) и содержащая точку О внутри (такая траектория, очевидно, всегда существует), а gj, — область. [c.360]

В силу предложений (п. 6 4) предельный континуум незамкнуто полутраектории, не являющейся состоянием равновесия, либо является замкнутой траекторией, либо состоит из состояния равновесия и целых орбитно-неустойчивых траекторий, стремящихся к состояниям равновесия и при -1-00 и при t-> —оо (т. е. сепаратрис, см. 15). Предельный континуум положительной полутраектории Ь или ю-предельны1 континуум будем обозначать через К . Предельный континуум отрицательной полутраекторип или а-предельный континуум будем обозначать через Ка- [c.412]

Свободные и песвободпые коитипуу.мы. Пусть К — ш (или а)-нре-дельный континуум. Среди траекторий, для кото])ых он является предельным континуумом, могут встретиться особые полутраектории (т. е. орбитно-неустойчивые полутраектории, сопаратрисгл п.дп угловые полутраектории). [c.441]

Оиределение XXVHI. Мы будем говорить, что задана полная хема предельного континуума Ю если. 1) указано, с какой стороны этот континуум яеляется предельным, с положительной или отрицательной т. е. указывается, какой знак, или —, таходится в скобке в обозначении Ю 2) задана локальная схема этого континуума, т. е. указано, яеляется ли он со-, а- или О-предельным, и задается (о-перечисление входящих в него траекторий, 3) указано, на каких из простых замкнутых кривых Si, входящих в состав континуума положительное направление обхода совпадает с направлением по t, а на каких противоположно этому направлению (кривые Si определены в силу задания локальной схемы, см. замечание к лемме 1 25) 4) в случае, когда есть со- или а-предельный континуум, указаны все стремящиеся к нему особые полутраектории и их циклический порядок, причем отмечено, какие из этих полутраекторий являются угловыми и какие принадлежат орбитно неустойчивым траекториям. [c.443]

Пусть Pj, Г,,. ..,Гг(Г) — все граничные. замкнутые кривые области G L Li К ( ( )) —угловые полутраектории систел1ы L[ L . .., Z/p (LS )) —орбитно-неустойчивые полутраектории системы D, концы которых лен ат на границе области С, [c.451]

Доказательство. Докажем сначала, что условие а) всегда может быть выполнено. По определенгпо нормальной гранщы входящие в нее дуги траекторий, а следовательно, и их продолн ения — угловые дуги не могут принадлежать орбитно-неустойчивым траекториям или полутраекториям, целиком лежащим в С. На границе не лежит, в частности, ни одно состояние равновесия. Множество Е, состоящее пз точек, принадлежащих граничным и угловым дугам, очевидно, является замкнутым множеством. Любое состояние равновесия 0 находится, следовательно, на ненулевом расстоянии от него, и всякая каноническая окрестность, содержащаяся в достаточно малой 11 (О,), очевидно, не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим теперь угловую полутраекторию. Отметим прежде всего, что угловая полутраектория не может проходить через конец какой-либо седловой дугп, так как тогда, очевидно, она должна была бы быть орбитно-неустойчивой, а это противоречит тому, что граница рассматриваемой области С нормальна. [c.471]

Цепочки ИЗ особых элементов, траекторий и граничных дуг, соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (илн со)-дуги может принадлежать 1) либо орбитно-неустойчивой траектории, целиком лежащей в области С, либо орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой лежит на границе области С в последнем случае дуга а может быть граничной элементарной дугой 2) либо граш1чни1г или угловой дуге траектории в этом случае дуга а является граничной дугой без контакта 3) либо угловой полутраектории в этом случае дуга а может быть как граничной, так и не граничной дуго11 без контакта 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец дуги а совпадает с концом эллиптической дуги). [c.472]

Замечание 1. Из самого доказательства настоящей леммы следует, что справедливо также утверждение, в извеглпом смысле обратное утверждению настоящей леммы. Пусть орбитно-неустойчивая траектория Ьо проходит через конец а-дуги а, лежащей от нее по положительную сторону, а) Если Ьо не является со-продолжаемой с положительной стороны, то существует со-дуга Ь, имеющая своим концом точку Ьо, либо лежащая по положительную сторону о, либо циклическая, и дуги а и Ь являются сопряженными, б) Если Ьо является со-продолжаемой с положительной стороны, то существует цепочка траекторий (1) и существует со-дуга Ъ, имеющая своим концом точку траектории Ьи (или полутраектории Ьи), либо лежащая по положительную сторону Ьп (Ьи), либо циклическая, причем дуги а и Ъ являются сопряженными дугами. [c.474]

Лемма 18. Множеспгво Пц(, есть область, граница которой состоит из точек сопряженных дуг а и Ь и точек цепочки, соединяющих концы этих дуг. При этом каждая цепочка, соединяющая концы рассматриваемых дуг а и Ь, может состоять либо из точек орбитно-неустойчивых траекторий или полутраекторий (е частности, одной орбитно-неустойчивой траектории) (см. лемму 12), либо из граничных и угловых дуг траекторий и угловых полутраекторий (см. леммы 13, 14 и 15), либо из дуги траектории, образующей петлю. [c.479]

Доказательство. Пусть Р — точка рассматриваемого особого элемента, не лежащая ни в какой из канонических окрестностей или на ее грашще (т. е. не лежащая и на канонической кривой). Если у этого особого элемента (т. е. у орбитно-неустойчивой траектории, иолу-траектории, угловой полутраектории или угловой дуги) существует точка, являющаяся концом а- или ш-дуги (в частности, граничной), то в С1глу непрерывной зависимости решения от начальных условии нетрудно убедиться в справедливости утверждения леммы. В частност1г, утверждение леммы всегда справедливо в случае, когда точка Р лс/югт на угловой дуге, угловой полутраекторпи или орбитно-неустойчивой полутраектории, конец которой принадлежит границе области G. (Во всех этих случаях на особом элементе есть точка, принадлежащая границе области G, являющаяся концом граничной элементарной дуги.) [c.480]

Полностью аналогичное утверждение справедливо также и относительно других соответствующих друг другу по схеме особых элементов, точки которых являются концами элементарных и седловых дуг, т. е. относительно орбитно-неустойчивых полутраекторий 1 и = 0 (W), с концом на границе областей G и G . угловых иолутраек-торий W и — 0 (L - ), граничных и угловых дуг траекторий / и Z = 0 (I), I и = в (2), а также относительно соответствующих друг другу по схеме эллиптических дуг. В сплу леммы 17 28 один конец всякой эллиптической дуги всегда является концом а-дуги, а другой концом м-дуги. [c.488]

Полутраектории илп траектории, не являющиеся орбитноустойчивыми прп + оо называются орбитно-неустойчивыми при 4 + оо или а>-орбитно-неустойчивыми. [c.51]

Если траектория Ь орбитно-неустойчива при i Н- оо и М — какая-нибудь ее точка, то всегда можно указать такое ео > О, что при любом сколь угодно малом б > О найдется траектория Ь, проходящая при i = о через точку б-окрестности точки М и заведомо выходящая при некоторо.м i = Г из Ео-окрестности полутраектории Ь. [c.51]

Полутраектории или траектории, не являющиеся орбитно-устойчивыми при называются орбитно-неустойчивыми при /сх), или (о-орбитно-неустойчивыми. Очевидно, если траектория Ь орбитнонеустойчива при и М — какая-нибудь ее точка, то всегда можно указать такое е О, что при любом сколь угодно малом 8 0 найдется траектория И, проходящая при t = через точку 8-окрестности точки М и заведомо выходящая при некотором из е -окрестности полутраектории Ь. Отметим, что наличи орбитнонеустойчивых траекторий ни в коей мере не противоречит теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лишь конечный промежуток значений t. [c.413]

Мы будем называть орбитно-неустойчивые полутраектории, стре мящиеся к состоянию равновесия (безразлично, к простому, т. е к седлу, или сложному), сепаратрисами этого состояния равновесия Отметим при этом, что всякая полутраектория, выделенная из не замкнутой предельной траектории, заведомо является сепаратрисой Однако очевидно, что сепаратриса может и не быть предельной В этом случае она является траекторией, отделяющей друг от дру га траектории различного поведения. Простой пример представлен на рис. 299. [c.419]

Докажем это утверждение. Для этого заметим прежде всего, что вокруг каждой точки очевидно, всегда можно взять столь малую окрестность, чтобы все точки этой окрестности принадлежали той же ячейке, что и ), и, следовательно, являлись бы точками орбитноустойчивых траекторий. Кроме того, всегда можно взять столь малым s O, чтобы Е-окрестность полутраектории кроме состояния равновесия О, к которому стремится полутраектория не содержала бы целиком ни одной орбитно-неустойчивой траектории. Но тогда все полутраектории, проходящие через достаточно малую окрестность любой точки в силу орбитной устойчивости Z.+ при i 4 выходят из Ё-окрестности L , а следовательно, предельное множество этих полутраекторий также лежит целиком в Е-окрестности L . Но это предельное множество должно состоять из целых особых траекторий, а так как в Е-окрестности лежит целиком только одна особая целая траектория — состояние равновесия О, то, значит, это предельное множество состоит из одного только состояния равновесия О, что и доказывает утверждение I. [c.422]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...