Каноническая окрестность со(а)-предельного

Рассмотрим циклы без контакта С) и (а), т. е. циклы без контакта, входящие в границы канонических окрестностей предельных континуумов как не являющихся состоянием равновесия, так и являющихся состоянием равновесия (узлом). Те из этих циклов без контакта, которые не имеют ни одной общей точки с особыми полутраекториями, будем называть свободными циклами без контакта (С) и (а). Очевидно, каждый свободный цикл без контакта (С) и (о) входит в границу канонической окрестности (уг) или gi) свободного континуума, не являющегося состоянием равновесия или свободного узла. Свободный цикл без контакта С) или (а) будем называть со- или а-циклом в зависимости от того, входит ли он в границу канонической окрестности со- или а-предельного континуума (и, в частности, устойчивого или неустойчивого узла). Если граничная кривая (Г) является циклом без контакта и при этом ни одна ее точка [c.458]

Локальная схема предельного континуума и каноническая окрестность [c.421]

Из леммы 2, очевидно, следует, что при любом е > О всегда можно указать каноническую окрестность . 0-предельного континуума, целиком лежащую в е-окрестности К . [c.426]

Доказательство. Пусть в случае а) существуют две входящие в состав континуума К - простые замкнутые кривые и 8 , из которых одна—5 , — лежит внутри другой — 8- . Так как по условию континуум лежит внутри канонической кривой С, то кривая 8 лежит внутри кривой С, а точки всякой канонической окрестности континуума К - очевидно, лежат вне кривой х- Но точки кривой 5 , лежащей внутри 5 ., не могут быть ни ю (ни соответственно а)-предельными для траекторий, лежащих вне кривой ни граничными для ячейки, заполненной замкнутыми траекториями, точки которой лежат вне кривой 8 . [c.439]

Рассмотрим канонические кривые С и С континуумов и K , т. е. либо циклы без контакта, либо замкнутые траектории в зависимости от того, являются ли Ю и К О)-, а- или О-предельными. Пусть у и у — канонические окрестности этих континуумов, ограниченные соответственно кривыми С и С. [c.446]

Настоящая глава состоит из трех параграфов. В 27 проводится вспомогательное рассмотрение выделяется система канонических окрестностей состоянии равновесия и предельных континуумов, удовлетворяющая некоторым естественным требованиям. Эта спстема канонических окрестностей названа правильной. [c.454]

Доказательство. Пусть Ь — траектория, удовлетворяющая условиям леммы. Заметим прежде всего, что у всякой такой траектории непременно существуют точки, лежащие вне всех канонических окрестностей у, со- и а-предельных континуумов и вне всех параболических секторов и областей g состояний равновесия. Действительно, всякая траектория Ь при 1 проходящая через точку одной из обла- [c.460]

Сопряженные свободные ю-, а-предельные и нуль-предельные континуумы и области между их каноническими окрестностями [c.463]

Как уже указывалось выше, один из двух сопряженных циклов или даже оба сопряженных цикла могут быть граничными кривыми. Рассмотрим случай, когда хотя бы один из двух сопряженных свободных циклов ие является граничной кривой Г. Тогда существует со- или а-предельный континуум, в частности, могущий быть узлом, которому этот цикл принадлежит (т. с. или К , в границу канонической окрестности которого входит зтот свободный цикл). Имеет место следующая [c.464]

Односторонняя каноническая окрестность предельного континуума. Рассмотрим отличный от состояния равновесия и-предельный континуум, причем для определенности предположим, что он является ю-предельным с положительной стороны. Пусть АГ+ — этот континуум. Проведем через какую-нибудь точку Р какой-нибудь отличной от состояния равновесия траектории входящей в состав конт1шуума АГ+, дугу без контакта I, содержащую точку Р внутри (кроме точки Р дуга без коптакта I не может иметь общих точек с континуумом К, см. лемму 2, следствие 1 3). [c.424]

Доказательство. Пусть С и С — два сопряженных цикла без контакта, и пусть внешний цикл С не является граничной криво Г. Для доказательства предположим противное, т. е. что континуум К - которому принадлежит цикл С, лежит внутри этого цикла. Но цикл С тоже лежит внутри цикла С. В кольцевой области между циклами С и С не может лежать ни одпой особой траектории (см. замечание к лемме 1). Отсюда очевидно, что К , которому принадлежит цикл С, лежит и внутри цикла С. Но это означает, что цикл С лежит в канонической окрестности у континуума Ю , ограниченной кривой С. В случае, когда цикл С является граничной кривой Г, это невозможно, так как но самому определению канонической окрестности предельного континуума в ней но может лежать граничная кривая Г. Но это невозможно также и в случае, когда цикл С не является граничной кривой Г в силу того, что выбранная система канонических окрестиостси правильная. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы, касающееся внешнего из двух соиряжепных циклов. Совершенно аналогично проводится доказательство и при рассмотрении внутреннего сопряженного цикла. Лемма доказана. [c.464]

В первом случае в силу леммы 7 траектория д непременно проходит через конец ш-дуги, и тогда, очевидно, траектория входит в цепочку, соединяющую концы сопряженных дуг. Во втором случае, повторяя неоднократно проводившееся рассуждение, нетрудно видет)>, что мы дойдем до траектории Ьц такой, что все траектории , Ьц различны, а 0 является ш-продолжеиием д с положительной стороны. Но тогда в силу теоремы 71 траектория входит в некоторый ш-, а- или О-предельный континуум и все ее точки принадлежат границе некоторой канонической окрестности предельного континуума, что противоречит условию. теммы. Лемма доказана. [c.481]

Всякую область, граница которой состоит из цикла без контакта С и континуума через все точки которой проходят траектории, нмею-щие К своим со-предельным континуумом (с положительной стороны), будем называть канонической окрестностью континуума и обозначать через Ус или просто у. Цикл без коптакта С, входящий в грашщу канопш1е-ско окрестности континуума К, будем называть циклом без контакта континуума 7 + [c.425]

В дальнейшем мы преимущественно будем рассматривать замкнутую каноническую окрестность уг,- Будем в дальнейшем называть канонической кривой со-, а- или 0-предельного континуума Ю простую замкнутую кривую С, входящую в грашщу канонической окрестностп этого континуума и являющуюся циклом без контакта — в случае, когда [c.426]

Теорема 72. Если локальная схема двух со (а или 0)-предельных континуумов и Кдвух динамических систем различных или совпадающих) тождественна, то топологическая структура разбиения на траектории всяких двух замкнутых канонических окрестностей этих континуумов тюждестеенна. [c.426]

Пусть теперь К и К 0-предельные коитипуу.мьг, в состав которых не входят угловые и граничные дуги, а у и у их канонические окрестности, в границы которых входят соответственно замкнутые траектории Ь а Ь. [c.431]

Полная (глобальная) схема предельного континуума. Напомним прежде всего понятие локальной схемы предельного континуума. Мы говорим (см. 24, и. 3), что задана локальная схема предельного континуума или К , если задано перечисление его траекторий и указано, каким именно континуумом он является ю-, а- или О-иредельным. Из теоремы 72 следует, что локальная схема однозначно определяет топологическую структуру разбиения на траектории замкнутой канонической окрестности континуума Далее (см. лемму 1), локальная [c.442]

Теорема 74. Пусть Ю и К — два предельных континуума, С и С — их канонические кривые и у и у — канонические окрестности, ограниченные каноническими кривыми С и С. Если полные схемы континуумов Ю и тождественны, то 1) континуумы К и К одинаково расположены относительно своих канонических кривых С и С 2) существует топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у друг в друга, переводящее траектории в траектории, при котором особые траектории и особые полут,раектории в случае несвободных континуумов), соответствующие друг другу по схеме, отображаются друг в друга. [c.446]

Пусть, далее, К . . ., АУ (К) — все (односторонние) предельные континуумы динамической системы D, отличные от состояний равновесия, расположенные в G, Yj, Ysi > (y) — их канонические окрестности, i, С2, - - -, jf (С) — соответствующие канонические кривые континуумов (К) каждая кривая Сг является либо циклом без контакта, либо замкнутой траекторией и вместе с предельным континуу-мом Ki составляет границу канонической окрестности уг- [c.454]

Правильные системы канонических окрестностей. В дальнейшем мы будем по преимуществу рассматривать замкнутые канонические окрестностп gi и Yi- При произвольном выборе канонических окрестностей канонические окрестности различных состояний равновесия, а также канонические окрестности состояний равновесия и предельных континуумов. [c.454]

Лемма 1. Канонические окрестности состояний раеновесия и предельных континуумов, от.личных от состояний равновесия, всегда могут быть выбраны так, чтобы одновременно выполнялись следующие условия [c.455]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Рассмотрим случай 1). Пусть для определенности оба континуума ку и ку являются со-предельными. Предположим сначала, что не все точки этих континуумов общие, так что континуумы КУ и Ку различны как точечные множества. Так как все траектории, проходящие через точки любой канонической окрестнос П К и ограничивающего ее цикла без контакта С , имеют КУ своим со-предельным континуумом, а псе траектории, проходящие через точки канонической окрестности /Г и ограничивающего ее цикла без контакта, имеют Ку своим предельным континуумом, то очевидно, что в рассматриваемом случае эти канонические окрестности и ограничивающие их циклы без контакта не могут иметь общих точек. Предположим теперь, что континуумы КУ и Юу совпадают как точечные множества, так что один пз этих континуумов является континуумом КТ, а другой К1. Пусть — какая-нибудь отличная от состояния равновесия траектория, входящая в состав зтих континуумов. Если канонические окрестности континуумов К и К имеют общие точки, то траектория Ьа для всякой траектории Ь, проходящей через такую общую точку, является предельной как с положительной, так и с отрицательной стороны. Но это невозможно (см. следствие 2 леммы 2 4). Таким образом, канонические окрестности двух различных со (а также двух различных а)-предельных континуумов не имеют общих точек. [c.456]

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только правильные системы канонических окрестностей. Во всякой правильной систсмс канонических окрестностей канонические окрестности со-прсдсльных континуумов и устойчивых узлов, а также ы-параболические сектора будем также иногда называть областями притяжения. Канонические окрестности а-предельных континуумов и неустойчивых узлов, а также а-парабо-лические секторы будем называть областями отталкивания. [c.458]

Канонические окрестности у i и YI и канонические кривые t и С соответствующих друг другу по схеме предельных континуумов КУ и А" соответствуют друг другу. При этом а) если континуум КУ лежит вне внутри) канонической кривой i, то и континуум К У лежит ене внутри) канонической кривой С б) если канонические кривые j и i свободных а- и а-предельных или О-предельных континуумов являются сепряженными, то соответствующие им канонические кривые С] и С тоже являются сопряженными. [c.487]

Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри "о и содержащая внутри себя, то точки области С существуют как внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая входящая в состав какого-нибудь предельного континуума лежащая внутри кривой "ц и содержащая внутри себя. Предположим для определенности, что есть со- или а-предельный континуум, состоящий из кривой 8 и расположенных внутри нее и вне друг друга простых замкнутых кривых "а,. . . , 8р, а соответственно а- или со-предельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга простых замкнутых кривых "1, 5 2, -, "д. Пусть С и у и соответственно С ш у — каноническая кривая и окрестность континуума К - и Кривая 5 не может лежать внутри какой-нибудь из кривых 8, . . ., 8 р или 8г,. . . , 8д, так как тогда и континуум лежал бы внутри тако11 кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая не может также иметь общих точек с окрестностями у и у, так как внутри этих окрестностей нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая 5 должна быть целиком расположена в области i , ограниченной кривыми С и С. Но это невозможно (см. лемму 16 3). Аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда и являются соиряженными 0-нредель-ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными циклами без контакта. Лемма доказана. [c.467]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...