Представление движения на фазовой прямой

Фазовая плоскость для уравнения (6.1) вырождается в фазовую прямую. Рассмотрим представление движения на этой фазовой прямой. Согласно теореме о единственности решения уравнения (6.1), начальное условие при i = to X = х однозначно определяет дальнейшее движение изображающей точки. Характер движения изображающей точки не будет зависеть от момента времени to, так как уравнение (6.1) явно от времени не зависит. Это значит, что каждая отдельная фазовая траектория на фазовой прямой соответствует не одному движению, а бесконечному множеству движений, соответствующим различным t . [c.215]

Об устойчивости этих состояний можно судить по направлению движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи данного стационарного состояния. Как видно из рис. 11.14 и уравнения (11.4.14), правее прямой / переменная X уменьшается со временем (Х< 0), а левее этой прямой X возрастает. Ниже прямой 2 переменная У возрастает (У>0), а выше — убывает. В соответствии с этими представлениями проведены фазовые траектории на рисунке. Видно, что положение равновесия и состояние X = о, К = з/Рз неустойчивы. Единственному устойчивому состоянию соответствует точка Х = ах/Рх, 1 = 0. [c.364]

Представление движения на фазовой прямой [c.244]

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ НА ФАЗОВОЙ ПРЯМОЙ 245 [c.245]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Область (АГо)7 равна по мере области ДГ и поэтому не может быть исключена на основании каких-либо требований, предъявляемых только к величине областей. Но вследствие размешивающегося характера движения, если область AFq имела простую форму, то область (АГо)7" будет иметь крайне сложную, паутинообразную форму. Поэтому ее можно исключить из числа возможных начальных областей, потребовав, чтобы все возможные начальные области были достаточно просты по форме (это можно, например, выразить в виде условия, чтобы отношение поверхности области к ее объему было не слишком велико). Мы не будем останавливаться здесь на количественной стороне дела, достаточно ясной, если учесть свойства размешивающегося движения и общие представления об описании релаксации в фазовом пространстве (см. 5 настоящей главы). Укажем прямо достаточно очевидный результат для систем размешивающегося типа можно получить гарантию монотонности процесса релаксации, т. е. того, что законы кинетики — Г-теорема и др.— будут выполняться с подавляющей вероятностью, если потребовать, чтобы начальные области были не слишком малы и обладали достаточно простой формой. Первая половина указанного требования — условие, что начальные области не должны быть слишком малы,— необходима потому, что всегда можно выбрать такую часть (ДГо)Г, что эта часть будет простой формы и будет приводить к нарушению законов кинетики с подавляющей вероятностью или даже с вероятностью, равной единице. Однако из-за крайне сложной формы (ДГо)Г, т. е., в конечном счете, вследствие размешивающегося типа движения, эта часть будет крайне мала. В то же время, совершенно очевидно, что если отказаться от указанного требования, то не будет никаких гарантий соблюдения Г-теоремы и других законов кинетики при соответствующих ДГо эти законы будут нарушаться с подавляющей вероятностью (если принять принцип равновероятности микросостояний), а при некоторых ДГо—с вероятностью, равной единице. [c.96]

Рассмотрим теперь представление исследуемых движений в одномерном пространстве, в частности на фазовой прямой. Метод отображения движения при этом ИзобраЛ. точиа Р ПрИМеНяетСЯ ТОТ же са- [c.244]

Нам кажется, что изложенные результаты имеют чрезвычайно важное значение, так как они устанавливают при помощи гипотезы, в сильной степени внушенной представлениями о квантах, связь между движением тела и распространием волны и предусматривают возможность объединения антагонистических теорий о природе излучения. Мы уже знаем теперь, что прямолинейное распространение фазовой волны связано с прямолинейным движением тела принцип Ферма, примененный к фазовой волне, определяет ее лучи как прямые, в то время как принцип Мопертюи, примененный к движущемуся телу, определяет его прямолинейную траекторию как один из лучей волны. В главе II мы попытаемся обобщить это совпадение. [c.648]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...