Лагранжиан (см. функция Лагранжа

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Если ввести функцию Лагранжа, или лагранжиан, по формуле [c.397]

Функция L называется функцией Лагранжа лагранжианом, кинетическим потенциалом). [c.274]

Выражение, стоящее под знаком интеграла, называют функцией Лагранжа или лагранжианом-, [c.37]

Из принципа Гамильтона — Остроградского следует, что действие и лагранжиан данной механической системы определяются неоднозначно к действию можно прибавить любую постоянную, а к лагранжиану — полную производную по времени от любой функции координат н времени. Действительно, вычисляя действие с помощью функции Лагранжа [c.452]

Лагранжиан ож. функция Лагранжа) 234 [c.569]

Функция Ь д, д), зависящая только от ЗЛ координат и ЗЛГ скоростей, называется лагранжианом или функцией Лагранжа, а интеграл (7.1) — действием. Согласно определению, действие является функционалом [8, [c.52]

Введем функцию Лагранжа (или лагранжиан) системы [c.120]

С использованием условия задачи 21.31 для системы с лагранжианом Ь х) = шж /2 (свободная одномерная частица) вычислить функцию Лагранжа, соответствующую новым переменным у = = же , т = Убедиться в справедливости равенства [c.224]

Здесь и tв определяю интервал времени — а, в течение которого происходит движение, а — функция Лагранжа (лагранжиан). Ее выражение для заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле, будет дано в разд. 2.1. Вариацию можно представить следующим образом. Рассмотрим движение частицы из точки А в точку В (рис. 1) вдоль траектории (1), начавшееся в момент времени tA и закончившееся в момент времени в- В произвольной точке вектор iiR направлен по касательной к траектории. Введем небольшое отклонение от истинной траектории, т. е. представим, что частица движется из точки А в точку В вдоль траектории (2). Эта траектория определяется в произвольной точке вектором бR (вариация радиуса-вектора). Так как лагранжиан зависит как от К, так и от V, его вариация дается выражением [c.15]

Из уравнения (2.14) следует, что функция Лагранжа имеет размерность энергии. Следовательно, ее частная производная по скорости V имеет размерность импульса (p = mv). Легко получить векторную производную требуемого типа, если лагранжиан содержит скалярный квадрат вектора v (u =v-v) и его скалярное произведение с вектором А. Поскольку А и зависят только от координат, но не от скорости, лагранжиан должен содержать член QA>v и другой член, частная производная которого по V даст mv. Легко видеть, что последний член равен [c.24]

Определение. В механике приняты следующие наименования Ь д, д,1) = Т — и — функция Лагранжа, лагранжиан, — [c.57]

При потенциальных силах можно ввести функцию Лагранжа (или лагранжиан) Г - П и записать (5.6) как [c.37]

Чтобы уравнения Лагранжа, составленные с этим лагранжианом, совпадали с уравнениями (43.24), необходимо принять Ка =. Поэтому функцию Лагранжа (43.9) в нормальных координатах можно окончательно записать в виде [c.242]

С функцией Лагранжа (лагранжианом) Ь — Т—У. Они допускают интеграл энергии [c.15]

Уравнения (0.2) могут определять движение не только таких систем, для которых выполняется L = Т —П. Папример, движения одномерного линейного осциллятора с диссипацией удовлетворяют системе (0.2), заданной лагранжианом L = (Т —Я)е . Далее изучаются произвольные системы (0.2) с единственным условием на функцию Лагранжа L(t,q,q) [c.5]

Таким образом, если путь является решением системы (19.3) с лагранжианом , то он же в силу принципа Гамильтона есть решение системы с функцией Лагранжа (21.13). [c.95]

Малые массы. В заключение обсудим корректность обобщенного гамильтонова формализма Дирака. Как уже отмечалось (см. 5), связи в фазовом пространстве появляются, например, в том случае, когда лагранжиан вырожден по скоростям. В связи с этим мы рассмотрим голономную систему с функцией Лагранжа [c.60]

Функция Ь называется функцией Лагранжа или лагранжианом. [c.56]

Найдем соответствующее этому сдвигу бесконечно малое изменение функции Лагранжа системы. Это можно сделать, варьируя лагранжиан по координатам [c.200]

Как мы увидим дальше, функция Лагранжа чрезвычайно удобна для описания движения механических систем с голономными связями при условии потенциальности активных сил, — удобна тем, что доставляет основную информацию о характере движения системы. Но не только в этом состоит значение функции Лагранжа. Благодаря тому месту, которое функция Лагранжа и ее обобщения занимают в теории интегральных вариационных принципов, функция Лагранжа широко используется во многих,— уже немеханических, — разделах теоретической физики. В квантовой теории на основе функции Лагранжа строится оператор, называемый лагранжианом ). [c.221]

Понятие Л. ф. распространяется также на системы с бесконечным числом степеней свободы — классические поля физические, при этом обобщёнными координатами и импульсами явл. значения ф-ции поля и их производные по времени в каждой точке пространства-времени. Как и в классич. механике, посредством принципа наименьшего действия Л. ф. определяет для поля ур-ния движения. Важным св-вом Л. ф. явл. релятивистская инвариантность её плотности (величины Л. ф. в ед. объёма поля) и др. св-ва её симметрии. Каждой из симметрий соответствует закон сохранения нек-рой физ. хар-ки. Так, неизменности относительно калибровочной симметрии соответствует сохранение заряда и т. д. (см. Сохранения законы). ЛАГРАНЖИАН, аналог Лагранжа функции классич. физ. поля в квант, теории поля (КТП). Ф-ции, описывающие поле, в КТП заменяются соответствующими операторами, так что Л. явл. оператором. Его вид связан с ф-цией Лагранжа для классич. поля соответствия принципом. Л. полностью определяет теорию, т. е. позволяет найти ур-ние для взаимодействующих квант, полей и, в прин- [c.337]

Таким образом, в случае движения в потенциальных полях уравнения Лагранжа имеют более простой вид (29) и содержат только одну функцию-лагранжиан системы, вид которой зависит от выбора снстемы координат. [c.133]

Читатель легко обнаружит идентичность уравнений Эйлера (47) и уравнений Лагранжа достаточно в качестве функции (Ц —ядра рассматриваемого функционала (41) —взять лагранжиан L. Отсюда сразу следует естественность введения в рассмотрение функционала следующего вида [c.275]

Разумеется, как в том случае, когда время не преобразуется и L может быть вычислен по формуле (65), так и в том случае, когда время преобразуется и L вычисляется по формуле (64), новый лагранжиан (как функция новых переменных), вообще говоря, отличается от старого лагранжиана (как функции старых переменных). Именно поэтому мы говорим о ковариантности (а не об инвариантности) уравнений Лагранжа по отношению к любым преобразованиям вида (62). Но, разумеется, среди преобразований (62) содержатся и преобразования специального вида, такие, что для них L как функция новых переменных имеет совершенно такой же вид, что и L как функция старых переменных, т. е. [c.282]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Таким образом, х т t являются здесь равноправными параметрами удельного лагранжиана. В общем случае 8 будет, конечно, функцией не только этих производных, но и самого т], t а X. Если же рассматриваемая непрерывная система является трехмерной, то ее удельный лагранжиан будет иметь вид [c.380]

С использованием условия задачи 21.31 для системы с лагранжианом Ь(г, г, ф) = ш(г + г ф )/2 + а/г (кенлеровазадача) вычислить функцию Лагранжа, соответствующую новым переменным [c.224]

Чтобы получить функцию Лагранжа для малых колебаний маятника, разложим лагранжиан (48.6) в ряд по степеням малого параметра р/1. Ограничиваясь в этом разложении членами второго порядка малости по р и р, получим L = (р + р ф ) — тсор ф sin ф — [c.274]

Вариации и экстремали. Лагранжева система на гладком многообразии М задается одной единственной функцией L TMxA- -R, где Д —интервал оси времени R = i - Точку еЛ будем называть положением системы, а касательный вектор v TqM — скоростью В положении q. Пара q, v называется еще состоянием системы. В лагранжевой механике многообразие М принято называть пространством положений, касательное расслоение ТМ — пространством состояний, L — функцией Лагранжа или лагранжианом, а dim М — числом степеней свободы. [c.20]

Непосредственно видно, что преобразование (78) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Лагранжиан (так же как и гамильтониан) консервативной системы не зависит явно от времени, а dt = dt, т. е. функция d jdt в данном случае равна единице. Поэтому преобразование (66) заведомо не меняет вид лагранжиана (и, разумеется, гамильтониана) и из теоремы Нётер следует, что консервативная система должна иметь первый интеграл вида (69). Но в данном случае все функции qiy в силу преобразования (78) тождественно равны qj, т. е. не зависят от а, и, следовательно, производные от них по параметру а равны нулю, а д- 1да= и формула (69) принимает вид [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...