Уравнения Гамильтона для вихревых

Действительно, наши уравнения имеют форму канонических уравнений Гамильтона, которые интегрируются в квадратурах, когда они содержат 2п переменных, и известно п частных интегралов. В случае трех вихревых трубок уравнения содержат шесть переменных xi, у1, Х2, У2, хз, Уз И найдено три частных интеграла. [c.72]

С учетом явного вида гамильтониана уравнения движения вихревых частиц принимают вид [c.333]

Теорема Пуанкаре (теорема 12 7) дает критерий инвариантности потенциального и-мерного многообразия (и — число степеней свободы), однозначно проектирующегося на конфигурационное пространство потенциал соответствующего поля импульсов удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби. Мы укажем сейчас условия инвариантности и-мерных потенциальных (вихревых) многообразий. [c.83]

Из (6.15) и (6.17) получаем обобщенную теорему Бернулли при фиксированных значениях 1 функция ае постоянна на вихревых многообразиях. Следовательно, уравнения (6.16) представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающую канонические уравнения Гамильтона. Поскольку вихревые многообразия нумеруются координатами хх,..., Х2к, то отсюда снова получаем теорему Гельмгольца—Томсона. [c.145]

Вихревой метод интегрирования уравнений Гамильтона [c.183]

Вихревой метод интегрирования уравнений Гамильтона включает в себя проблему отыскания в явном виде полного интеграла уравнений Ламба. Как нам известно, поиск потенциальных решений сводится к интегрированию одного уравнения Гамильтона—Якоби. Для [c.203]

Основной результат вихревой теории интегрирования уравнений Гамильтона составляет [c.207]

Книга посвящена математическому изложению аналогий, существующих между гидродинамикой, геометрической оптикой и механикой. Оказывается, изучение семейств траекторий гамильтоновых систем по существу сводится к задачам многомерной гидродинамики идеальной жидкости. В частности, известный метод Гамильтона — Якоби отвечает случаю потенциальных течений. Рассказано о некоторых приложениях такого подхода, в частности, о вихревом методе точного интегрирования дифференциальных уравнений динамики. [c.2]

Говоря о различных формах уравнений вихревого движения жидкости, можно отметить полезные преобразования уравнений гидродинамики, рассмотренные в 50-х годах А. Клебшем и в 60-х годах Г. Вебером Уравнение Клебша представляет некоторое обобщение интеграла Бернулли, имеющее определенную аналогию с каноничсескими уравнениями Гамильтона, а преобразование Вебера дает видоизмененную форму уравнений движения в так называемых переменных Лагранжа. [c.75]

Подстановка содг в лагранжиан, переписанный в эйлеровых переменных, и применение вариационного принципа приводят к уравнениям Гамильтона для вихревых частиц [c.323]

Из (4.8) вытекает, что дЗ/дЬ + Н — функция лишь от координат Ж1,..., Х2к и времени Ь. Это соотношение обобщает уравнение Гамильтона—Якоби и переходит в него при к = О (когда поле и потенциально). Тогда (4.7) будет замкнутой канонической системой дифференциальных уравнений для потенциалов Клебша с гамильтонианом д8/дЬ + Н. Эти наблюдения обобщают известные результаты Клебша и Стюарта (см. [42]) о вихревых течениях идеальной жидкости (когда и = 3). [c.127]

Напомним, что ввиду кососимметричности матрицы rottt, ее ранг — четное число. Метод явного интегрирования дифференциальных уравнений Гамильтона, использующий полный интеграл уравнений Ламба, удовлетворяющий теореме 3, будем называть вихревым методом интегрирования. [c.196]

В качестве примера рассмотрим другой крайний случай, когда матрица ротора имеет максимально возможный ранг, равный п. Среди решений уравнения Ламба оно самое вихревое . В этом случае п = 2к и уравнения Гамильтона (3.1) допускают к инволютивных интегралов, удовлетворяющих условиям ( ) и (с) теоремы 3. Оказывается, тогда уравнения Гамильтона можно проинтегрировать в квадратурах. [c.198]

Рассмотрим стационарный случай поле и и функция Гамильтона Я не зависят явно от времени. Справедлива теорема Бернулли функция В постоянна на линиях тока (интегральных кривых векторного поля v x)) и на вихревых линиях. Действительно, в предположении стационарности уравнение (2.3) принимает вид rotu X г> = -дВ/дх. Если и> — вихревое поле, то dB/dx)w = = —(rotu X v)w = (rotu X w)v = 0. Аналогично, В — дВ/dx)v — = —(rot и X v)v = О ввиду кососимметричности матрицы rot и. [c.71]

Выводятся уравнения движения для бесконечных двоякопериодических конфигураций точечных вихрей. При выводе выражения для определения энергии произвольной вихревой решетки находится и используется функция Гамильтона, обобщающая функцию Кирхгофа для конечных конфигураций. Рассчитывается энергия решетки с периодическими дефектами. Доказывается существование некоторых отдельных неподвижньк решеток и приводятся интегральные кривые для движения некоторых двух- и трехвихревых решеток. [c.336]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...