Лапласа — Пуассона формула

У е S. Так как одновременно эти векторы на границы заданы быть не могут, то формула (2.29) непосредственного практического применения не имеет. Но, как мы увидим далее, она может быть использована для получения многих важных результатов. Рассмотрим изотропную среду. Прежде чем получить явное выражение перемещений Кельвина, построим некоторые важные частные решения статической задачи упругости, т.е. решения, которые удовлетворяют уравнениям Ламе (1.72), но не обязательно удовлетворяют граничным условиям. Такие частные решения обычно разыскиваются с помощью вектора перемещения через не которые векторы, удовлетворяющие уравнениям более простым, чем уравнения Ламе, например уравнению Лапласа или Пуассона, однородному или неоднородному бигармоническому уравнению. Такое выражение принято называть представлением решения задачи теории упругости. Применим к уравнениям (1.72) один раз оператор div, а другой раз оператор Лапласа Д = Тогда получим соответственно [c.86]

Ван-дер-Ваальс получает член своей формулы немного более длинным путем, чем указанный нами в 7 он действует совершенно аналогично тому, как Лаплас и Пуассон выводили основные уравнения капиллярности. Так как эта связь с капиллярностью не лишена значения, я здесь вкратце напомню первоначальный ход рассуждений ван-дер-Ваальса. [c.310]

Дальнейший расчёт возможен, если известно распределение электрич. и магн. полей. При заданных краевых условиях поля вычисляются с помощью ур-ния Лапласа или с помощью ур-ния Пуассона при учёте влияния пространственного заряда. Аналитич. решение найдено лишь в нек-рых простейших случаях. Поэтому для аппроксимации экспериментально измеренных полей предложен ряд функций. Однако большинство задач решается численными методами с помощью ЭВМ. Широко используются методы сеток с прямоугольными (метод конечных разностей) и с треугольными (метод конечных элементов) ячейками. В обоих случаях вычисляют потенциалы при помощи сетки, наложенной на рассчитываемую область поля, включая границы, и формул, связывающих потенциал текущей точ- [c.546]

Отсюда следует, что функция ф, определенная формулой (9) в некоторой безграничной области, заключающей в себе заполненный источниками конечный объем т, является решением уравнения Пуассона (11) внутри объема в остальной области, где д = 0, функция ф представляет решение уравнения Лапласа [c.273]

Подставляя формулу (22) в уравнение Пуассона (8) и граничное условие (9), убеждаемся, что функция % удовлетворяет уравнению Лапласа [c.411]

Эти формулы станут значительно более громоздкими, если внести в них улучшение, которое Пуассон внес в теорию капиллярности Лапласа, учитывая изменения плотности при переходе от внутренних областей жидкости к ее поверхности. Все-таки вид получающихся уравнений остается тем же самым, изменяется только выражение постоянных через определенные интегралы. Так как теория капиллярности, как таковая, является здесь для нас второстепенной, мы не будем здесь на этом останавливаться и сошлемся только на относящуюся сюда работу Стефана ). [c.317]

В силу того, что граничные условия задачи и уравнение Лапласа линейны относительно потенциала и всех его производных, решение полной задачи Коши — Пуассона с соблюдением начальных условий (1) и (2) получится простым сложением формул (7), (10) и формул (8), (И). [c.287]

Уравнение (4.3) называют уравнением Лапласа. Как видно, нестационарные процессы распространения тепла описываются уравнением теплопроводности, стационарные — уравнением Лапласа или Пуассона. Огметим, что уравнения (4.1). .. (4.3) описывают и многие другие физические процессы, а не только связанные с переносом тепла (например, диффузию). Любые функции класса т. е. непрерывные вместе с производными до второго порядка включительно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями. Задачи, связанные с отысканием решений уравнения Лапласа, называют гармоническими задачами. При постановке и решении гармонических задач важное значение имеет следующее свойство гармонических функций интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной гармонической функции равен нулю. Пусть функция и (М) (D). Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса применительно к вектору grad и [c.120]

Если значение вероятности в каждом испытании различно (схема теоремы Пуассона), то теорема Лапласа и приближённая формула [c.291]

Если же У Фо, о окажется равным 1, а не О, то изменение на —1 для обращения У Фо, о в О окажет остаточное влияние на величину Ф в точке л х = О, Xj = О, равное —20. При = = 1, Ха = О или Xi = О, 2 = 1 изменение Ф равно -j-8 и т. д. Эти изменения, очевидно, влияют на величину V% в точке Xi = 1, 2 = О, а также в каждом из других узлов, входящих в формулу У Ф. Метод был использован для расчета распределения напряжений в образцах с надрезами путем последовательной оценки Ф в каждой узловой точке и вывода соответствующих напряжений из каждого значения функции напряжений. Метод весьма полезен при пользовании уравнениями Лапласа или Пуассона (У Ф = onst), но малоэффективен для определения функции напряжений. Для получения напряжений на границах концентраторов должна использоваться специальная техника, так как обычно размер сетки настолько велик х = —2d до х = = - 2d, х = —2d до 2 = +2d), что значения функции не могут быть подсчитаны внутри интервала поверхности 2d. [c.78]

Это расхождение впервые было исчерпывающе разъяснено Лапласом и Пуассоном ). При разрежении илп сжатии газа температура стремится соответственно понизиться или повыситься, если только этому ие препятствует приток или отток тепла. В обычных звуковых волнах сжатие 5 изменяет знак так часто, а температура вследствие этого повышается и понижается так быстро, что тепло не успевает распространиться между смежными частицами газа в заметной степени. Тепло едва начнет распространяться от одного элемента к другому, как направление его распространения меняется на обратное, и, таким образодг, условия практически являются адиабатическими. Формула [c.209]

Пуассона при ползучести V t), податливость при растяжении D t), податливость при сдвиге 1 t) и податливость при всестороннем сжатии B t), уже были приведены выше (см. формулы (366) и (72)). Считая тело педеформированным при t < О, применим преобразование Лапласа к уравнению (33) и запишем результат в виде, сходном с тем, который используется в инженерной практике, т. е. в виде [c.138]

Первые исследования, связанные с приближенной теорией длинных волн на поверхности тяжелой жидкости, принадлежат Лагранжу и относятся к 1781 г. имя Лагранжа носит основное дифференциальное уравнение распространения волн и первая формула скорости их распространения. Классическим мемуаром, содержащим строгую гсорию волн малой амплитуды, является появившийся в ]815 г. мемуар Коши. Среди лиц, способствовавших развитию теории волн малой амплитуды, мы находим имена Лапласа, Пуассона, Эри, Стокса. Рэнкина и др. Теорию волнового сопротивления дал Митчелл и, независимо от него. нескол1>ко позднее — Н. Гг. Жуковский. [c.26]

В заключение заметим, что если пространство безгранично, а источники отсутствуют, то уравнение Пуассона (1.82) превращается в уравнение Лапласа, рещение которого для безграничного пространства есть ф = 0. Тогда ре-зультируюнщя формула (1.89) принимает вид [c.63]

Теория волнового движения развивалась главным образом в связи с вопросами качки, сопротивления корабля на волнении, а также теории приливных волн в каналах и реках. Первые исследования, связанные с приближенной теорией длинных волн на поверхности тяжелой жидкости, принадлежали еще Лагранжу и относились к 1781 г. имя Лагранжа носят основное дифференциальное уравнение распространения волн и формула скорости их распространения. Классическим мемуа-ром, содержащим строгую теорию волн малой амплитуды, служит появившийся в 1815 г. мемуар Кошн. Среди лиц, способствовавших развитию теории воли малой амплитуды, находим имена Лапласа, Пуассона, Остроградского, Эри, Стокса, Рэнкина и др. Теорию волнового сопротивления несколько схематизированной судовой формы дал Митчелл и независимо от него И. Е. Жуковский. [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...