Дивергенция поля тензора

Дивергенция поля тензора второго ранга Т Т (л, дс , л ) есть вектор [c.62]

Это, однако, несправедливо для неньютоновских жидкостей. Действительно, для произвольного уравнения состояния, отличного от ньютоновского, уравнение (7-1.11) уже не будет означать, что дивергенция тензора напряжений равна нулю для несжимаемых жидкостей, и, следовательно, безвихревые поля течения, удовлетворяющие уравнению (7-1.6), не будут решениями полных уравнений движения. Следовательно, результаты классической гидромеханики применимы к неньютоновским жидкостям только в рамках ограничений, налагаемых неравенством (7-1.7). [c.257]

Определение дивергенции и ротора (вихря). Дивергенцией тензорного поля Pt х) называется свертка вектора v с тензором Pt (х) [c.323]

Если тензор поля ранга п, то его дивергенция будет тен зор ранга ( — 1)- [c.406]

Из антисимметрии тензоров поля, индукции и М. у, в форме (17) — (18) следует равенство нулю 4-дивергенций 4-токов [c.37]

II. 3. Дифференциальные операции над тензорами. Сказанное в п, II.2 обобщается на тензорные поля любого ранга. Ранг тензора уменьшается на единицу при умножении его слева на набла-оператор — образовании дивергенции тензора [c.842]

Для получения уравнений газовой динамики в радиационном поле необходимо вычислить дивергенцию тензора радиационных напряжений. Для этого умножим уравнение (4.6) сначала на соз(/, х), а затем на os (/, у) и, соответственно, на os(/, z). Проинтегрировав каждое уравнение по всем направлениям, получим [c.653]

Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в соответствии с этими уравнениями будучи необходимыми условиями осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания, так как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех сред общие теоремы механики — количеств движения, моментов количеств движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены физическими закономерностями, определяющими поведение материалов различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые также определяющими уравнениями) — соотношения связи тензора напряжений с величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих закономерностей, но только в конечном счете . Неизбежно умозрительное рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь сведения [c.80]

Поскольку Fiu — тензор, потенциалы следует выбрать в различных инерциальных системах так, чтобы Ai преобразовывался как 4-вектор. В этом случае Л, есть 4-потенциал. В соответствии с (5.21) и (5.22) тензор электромагнитного поля равен ротору 4-потенциала, дивергенция которого равна нулю. Более того, из (4.187)—(4.189) следует, что первая пара уравнений Максвелла (5.13) является следствием (5.21). [c.111]

В случае скалярного поля выражение (6.165) для 0 1 сводится к (6.158) для Однако в общем случае тензор 9 ft несимметричен и отличается от действительного тензора энергии произвольным тензором дивергенция которого равна нулю, так что [c.144]

Дивергенция тензора в левой части уравнения (11.13) тождественно равна нулю, поэтому законы сохранения (10.223) оказываются следствиями уравнений гравитационного поля. Это замечательная особенность теории Эйнштейна. Как было показано в 10.8, законы сохранения (10.223) содержат в себе и уравнения движения материи. В простейшем случае некогерентной материи тензор Т определяется (10.234), а уравнения (10.223) переходят в (10.235) и (10.236). Эти последние уравнения являются уравнениями движения свободно падающих частиц, выведенными с помощью принципа эквивалентности. Однако теперь мы видим, что эти уравнения являются следствием уравнений гравитационного поля, откуда следует, что эйнштейновские полевые уравнения совместимы с принципом эквивалентности. [c.305]

Из теоремы о дивергенции тензорных полей ( 1.7), применённой к тензору Г , вытекает, что поверхностные интегралы, входящие в аксиому баланса сил, можно преобразовать в пространственные интегралы, а именно, для произвольно заданной подобласти Л с О имеем [c.98]

Применяемые обозначения. Дифференциальная диада, или дифференциальный тензор D = V = Grad а (условно — градиент вектора а) сопряженная с нею диада O = (V ) = daldr (условно — производная вектора а по вектор-радиусу г) деформация поля вектора а (г) — — def а дивергенция поля тензора Т (г) — Div Т. [c.27]

Нахождение дивергенции поля тензора второго ранга W(x,i) = = И гjej е - будем рассматривать как операцию вычисления внутреннего [c.37]

Если необходимо вычислить дивергенцию поля тензора Т(х, ) произвольного ранга, то результатом будет новый тензор, ранг которого на единицу меньще ранга тензора Т [c.37]

В гл. 5 мы рассматривали движение кекогерентной заряженной материи под действием электромагнитных сил. 4-Вектор описывающий эти силы, мы представляли в виде дивергенции тензора, который сам являлся функцией переменных электромагнитного поля. Принцип относительности требует, чтобы все сигналы распространялись со скоростью, меньшей или равной с. Поэтому мы не можем принять идею Ньютона о силах, действующих мгновенно на конечных расстояниях в пространстве. По-видимому, следует предположить, что все силы взаимодействия между материальными телами, как и электромагнитные силы, передаются посредством промежуточного поля. Таким образом, в общем случае гюлагаем по аналогии с (5.105), что все виды сил можно описать плотностью 4-силы /г, являющейся дивергенцией некоторого тензора 5,- , зависящего от переменных промежуточных полей. Тогда для замкнутых систем, состоящих из вещества и полей, способом, описанным в 5.10, получим законы сохранения энергии и импульса в форме [c.124]

Дивергенция тензорного поля есть вектор, обозначаемый символом divA или V-A и имеющий довольно сложное определение. Рассмотрим поле транспонированного по отношению к А тензора и некоторый фиксированный вектор а. Поле А -а есть векторное поле, дивергенцию которого можно вычислить. Дивергенцией тензора А называется вектор, который удовлетворяет следующим равенствам [c.34]

Следует хорошо понять физический смысл того обстоятельства, что V-T = 0. В теории идеальной жидкости полагают х = О и, следовательно, т = О, так что равенство V-т = О тривиально. Для ньютоновской несжимаемой жидкости в случае безвихревого течения V т = О (т. е. результирующая сила вследствие действия напряжений па любую замкнутую поверхность равна нулю), но сами напряжения не равны нулю. То, что дивергенция тензора напряжений может быть равна нулю, хотя сами напряжения и не равны нулю, не неожиданно действительно, в гл.. 5, например, это было показано для течения удлинения. Заметим, что диссипацрш энергии т Vv всегда равна нулю в идеальной жидкости, но отлична от нуля в ньютоновской жидкости, даже если последняя участвует в изохорном безвихревом течении, где V - т = 0. Фактически эта интересная задача ньютоновской гидромеханики была первоначально решена в работах [2, 3] при помощи вычисления полной скорости диссипации в безвихревом поле течения, удовлетворяющем уравнению (7-1.6). [c.256]

Два первых члена соответствуют плотности силы, действующей на заряд плотности р и ток плотиостп j (как это вытекает из определения силы Лоренца). Третий член может быть интерпретирован как скорость изменения плотности импульса электромагнитного ноля. Поэтому тензор Т описывает напряжения, дивергенция которглх равна скорости изменения полного импульса (вещества и поля) единицы объема. [c.695]

Дивергенция тензорного поля представляе собой тензор, получае-ыьш свертыванием двух последних индексов у компонент градиента тензора поля. Так, для тензора второго ранга (а ) его дивергенция [c.406]

Если тензорное поле однородно, то пекгор дивергенции повсюду будет равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места из равенства нулю дивергенции тензора в некоторой области еще не следует постоянство тензора в этой области. [c.97]

Дивергенция векторного уравнения (5.16) вследствие антисимметричности тензора электромагнитного поля равна нулю [c.111]

Все рассмотренные здесь ковариантные операции можно применить также и к псевдотензор ным полям. В результате получаются псевдотензорные поля меньшего или большего ранга. Ротор антисимметрического тензора является тензором, дуальным к дивергенции псевдотензорного поля [c.241]

Аналогично для упругих тел, ТЧ которых определяется в (10.230), законы сохранения (10.223) приводят к уравнениям движения (10.245) для произвольно малой части вещества, для которой, помимо гравитационной силы, следует учитывать еще упругую 4-силу Уравнения движения для упругих тел оказываются следствием уравнений гравитационного поля. Можно ожидать, что это будет справедливо и при наличии других сил. Как было подчеркнуто в начале 6.1, конечная скорость распространения любых взаимодействий приводит к необходимости рассмотрения промежуточного поля для описания взаимодействия двух разделенных тел. Возникающая при этом соответствующая 4-сила должна быть равна дивергенции тензора энергип — импульса промежуточного поля. С другой стороны, этот тензор вносит вклад в полный тензор Г, стоящий в правой части уравнения гравитацрюнного поля. Например, в случае электромагнитных сил, действующих на заряженное упругое тело, тензор Г должен быть суммой выражений (10.230) и (10.305). Тогда закон сохранения (10.223), вытекающий из (11.13), снова приведет к уравнению движения для малой части тела в форме выражения (10.245). Однако теперь, как видим, в правой части уравнения должна стоять сумма упругой силы/ 6V и электромагнитной силы /сбУ из (10.304). [c.305]

В п. 15.2 мы видели, что в несжимаемой жидкости с достаточно быстро убывающими при г->со корреляционными связями между значениями гидродинамических полей в двух точках имеется еще один инвариант, а именно инвариант Лойцянского (15.16), который может быть выведен из физического закона сохранения момента количества движения (т. е. тензора тпц(х )=х 1 (х)— —XjUi (X) ) В сжимаемой жидкости последний закон сохранения, очевидно, также имеет место (поскольку из уравнений (20.1) в силу равенства П/у = Пу следует, что m/j X, t) совпадает с дивергенцией тензорного поля—дсгП/Щ ). [c.291]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...