Сплайны интерполяционные

СПЛАЙН (сплайн-функция).Всегда можно подобрать такой многочлен, кривая которого проходит через п заданных точек. В общем случае характер изменения значений заданной им функции будет волнообразным. Такую кривую трудно признать сглаженной . Сглаживание можно осуществить с помощью сплайна. Дословно сплайн означает полосу из гибкого материала, которая проходит через заданные точки. Сплайном в вычислительной математике называют такую функцию, кривая которой состоит из отрезков полиномиальных кривых эти отрезки состыкованы так, что производные полученной функции непрерывны на всем рассматриваемом промежутке. Подобные функции удобны для интерполяции. Сплайн обеспечивает непрерывность производных интерполяционной функции до максимально высокого возможного порядка при выполнении условия, что степень многочленов, используемых для сглаживания исходных данных, ниже степени того единого многочлена, кривая которого проходит через все заданные точки. [c.70]

Задача кусочно-кубической интерполяции. Алгоритмы интерполяции функций по точным данным, определенным на дискретном множестве точек, как правило, основаны на использовании интерполяционных полиномов Лагранжа или теории сплайнов, интенсивно развиваемой в последние годы. При этом относительно интерполируемой функции / (х) вводится априорное предположение о том, что она обладает производными до некоторого порядка. Алгоритм кусочно-кубической интерполяции и его программная реализация рассмотрены в [1]. [c.157]

Переход от классических интерполяционных многочленов к сплайнам существенно повышает также качество приближения [c.189]

Пусть функция у= /(х) задана таблицей (5.18). Сплайн S, x) называется интерполяционным, если Sm Xi)= У1 для всех i = О, 1,..., п. [c.135]

На отрезке [х, , х,] интерполяционный кубический сплайн однозначно определяется заданием значений [c.135]

На рис. 37 изображены построенные fi-сплайны. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ. Подобно тому, как интерполяционный.многочлен Лагранжа явным образом выражается через фундаментальные многочлены, интерполяционный сплайн можно выразить через так называемые фундаментальные сплайны. [c.178]

Определение 1. Интерполяционным сплайном называется сплайн. -(л ) е5я,1(6), удовлетворяющий интерполяционным условиям [c.178]

Это означает, что интерполяционный сплайн такой, что S(Xi)=fi для л>геД, имеет вид [c.180]

Определение. Кубическим интерполяционным сплайном дефекта 2 (эрмитовым кубическим сплайном) называется функция 5з,2(/ х) 8з,2(х), удовлетворяющая условиям ". [c.180]

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН. Пусть- на отрезке [а, Ь] в, узлах сетки Д а=ха<х, <...<х = ь заданы значения некоторой функции/г=/(д г), t=0,...,Af. [c.181]

Определение. Интерполяционным кубическим сплайном S(f х.) называется сплайн степени 3 дефекта I, удовлетворяющий условиям [c.181]

Интерполяционные сплайны наряду с (V.57) удовлетворяют некоторым краевым условиям. [c.181]

Методику построения кубического интерполяционного сплайна рассмотрим на примере следующей задачи. [c.182]

Задача V.4. Построений кубического интерполяционного сплайна. [c.182]

Построить интерполяционный кубический сплайн, удовлетворяющий граничным условиям I—IV. , [c.182]

Таким образом, построение интерполяционного кубического сплайна сводится к вычислению величин т,, причем для граничных условий типов I и II их можно найти из уравнений (V.68) — (V.70), для условий типа IV — из уравнений (V.81), (V.82), (V.83) — (V.86), а в периодическом, случае — из уравнений (V.83) — (V.85) в предположении OTo=mw. [c.184]

Мы установили, что построение интерполяционного кубического сплайна связано с решением системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. В связи с этим рассмотрим следующую задачу. [c.185]

Применив интерполяционный и сглаживающий сплайны, восстановить функцию f x) и ее первую производную с точностью до пяти значащих цифр по табличным значениям функции г . В качестве табличных значений принять значения функции -ехр(л ), округленные до [c.193]

X Прибли- женные значения Z" Производная интерполяционного сплайна 5Чг , X) Значения г. восстановленные сглаживающим сплайном Производная сглаживающего сплайна З (г, ху Восстанавливаемая функция ехр (л ) и ее производная [c.193]

На рис. 40 изображены график, функции f x) и интерполяционных сплайнов. В масштабе рисунка график функции не отличается от графика сплайна 5н(->с). [c.195]

Какие методы построения кубического интерполяционного сплайна Вы знаете [c.195]

Оговорив некоторые граничные условия (например, обращение в нуль на границе вторых производных), интерполяционный сплайн можно определить следующим образом [c.331]

Мы рассмотрим кусочно-полиномиальную аппроксимацию по времени с помощью интерполяционных сплайнов, широко используемых в численном анализе. [c.240]

З.З.5.4. Кубический сплайн. Бесспорно лучшим является принципиально другой способ замены дискретного набора данных гладкой функцией. Механические сплайны (гибкие полоски эластичного материала) используются чертежниками с давних пор. Если расположить сплайн так, чтобы он проходил через все точки, соответствующие данным, в интервалах он примет форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Его форма может быть задана кусочной кубической кривой с непрерывными первой и второй производными. Нетрудно показать, что если кривизна сплайна равна нулю на обоих концах (естественный сплайн), то он имеет наименьшую возможную кривизну на всем своем протяжении. Таким образом, естественный сплайн — наиболее гладкая интерполяционная функция. Если, как и раньше, имеется л+1 точка, сплайн будет состоять из п кубических выражений по одному на каждый из п интервалов, между соседними узлами. Для -го интервала (рис. 41) имеем [c.174]

Преимущества метода сплайнов над интерполяцией многочленами очевидны. Второй метод удовлетворительно работает лишь для малого числа узлов, тогда как сплайн легко построить на огромном количестве интервалов, и при этом он будет оставаться очень гладкой функцией с непрерывными первой и второй производными. Его недостатками являются разрывность третьей производной и неопределенность высших производных. Однако как мы увидим в следующих главах, эти производные обычно вообще не нужны. Поэтому можно считать кубический сплайн лучшей интерполяционной функцией, имеющейся в нашем распоряжении. Он будет использоваться в гл. 9 как инстру- [c.176]

Наиболее удачным подходом к численным расчетам полей является метод зарядовой плотности. Его основное уравнение — уравнение (3.360). Поверхностная плотность заряда может быть определена в аксиально-симметричном случае из (3.370). Кроме того, обсуждались наиболее важные прямые и итерационные методы решения систем уравнений, фигурирующих во всех трех основных методах. Наконец, были рассмотрены методы численной интерполяции и дифференцирования. Формула (3.385) является достаточно точным выражением для численного дифференцирования. Интерполяция может осуществляться при помощи полиномов Лагранжа (3.389), интерполяционного импульса (3.393) или кубического сплайна [c.178]

Как мы видели в разд. 3.3.5.4, кубический сплайн является наиболее гладкой из возможных интерполяционных функций. Следовательно, совершенно естественно использовать ее как [c.380]

С этих позиций более эффективным методом для анализа процесса адвекции пассивных жидких контуров в известном двухмерном поле скорости является метод кусочной сплайн-интерполяции [2]. Этот метод тоже относится к параметрическим. В качестве параметра кривой используется ее длина для текущего момента времени от произвольно выбранного первого маркера. Для каждого момента времени все координаты используемых маркеров описываются интерполяционной формулой. Интерполяция по небольшому количеству узловых точек (значения координат используемых маркеров) на текущем интервале и объединение их в общую интерполяционную функцию позволяет в точках сопряжения избавиться от разрывов функции [9]. Понятно, что в этих точках испытывают разрыв только высшие производные. [c.450]

В процессе перемешивания линии могут испытывать значительные изломы и изгибы, в результате которых на непрерывной линии появляются фрагменты с большой кривизной. Интерполяция таких участков сплайн-функциями приводит к появлению больших интерполяционных ошибок, поскольку функции Х 1) и 1) (или обе вместе) в областях излома претерпевают излом. В этой связи в предлагаемом методе предусмотрен анализ кривой на изломы. Дальнейшей интерполяции подвергаются только гладкие отрезки от первого излома до следующего за ним и т.д. вплоть до конца интерполируемой линии. [c.451]

В случае неполных граничных условий дополнительные соотношения могут быть получены из условий непрерывности третьей производной на границе. Этот метод, хорошо работающий в случае интерполяционных сплайнов, приводит к появлению коротковолновых осцилляций в случае сглаживающих сплайнов, о которых речь пойдет ниже. В работе [7] предложен метод нахождения ф Ч г) и ф (Ь) из условий минимума среднеквадратичного разрыва третьей производной во всех внутренних узлах сплайна. [c.35]

Обычно значения функций известны с некоторой погрешностью, поэтому строят функцию, которая проходит вблизи заданных значений более плавно , чем интерполяционная. В этом случае сплайн называется не интерполяционным, а сглаживающим. [c.37]

В этой записи содержатся, с одной стороны, условия интерполяции заданных значений, с другой — условие минимальности изгибания функции. Значения коэффициентов характеризуют степень влияния отдельных табличных значений на интерполяционный сплайн. Чем больше значения коэффициентов тем ближе к заданным значениям проходит сглаживающая функция. [c.37]

Результаты вычислений приведены-в табл. 2. Здесь 5 (го,. х) н S (z, л ) — производные соответственно интерполяциониого и сглаживающего сплайнов. Легко видеть, что сглаживающий сплайн дает значительно более точные результаты (последняя колонка дает как значения вос-станавливаемой функции, так и значения ее производной, поскольку [ехр(л )] = ехр(л ). [c.194]

Решение [13]. Восцользуемся двумя интерполяционными сплайнами кубическим 5з(л) и рациональным Sr x), удовлетворяющим граничным условиям типа I 5з(0)=0, Sg(l)=—100 S J(0)=0, 5 (1) = 100 При построении рационального срлайна примем = [c.195]

Каким, условиям удовлетвдряет интерполяционный кубический сплайн [c.195]

В чем преимуш ества интерполяционных кубических сплайнов В чем их недостатки Как избежать осцилляции сплайна при резком изменении аппрбксимируемой функции [c.195]

Определение. Интерполяционным эрмитовым кубическим сплайном двух переменных назовем функцию з,з(х, У)=5з,з(/ X, у), которая в каждом из прямоугольников Q,j= [Xi, X +i]X[y>-, г/i+i] t MeeT вид [c.197]

Как правило, в прикладных задачах известны лишь узловые значения Как и при построении эрмито вого интерполяционного сплайна одной переменной, вместо точных значений производных можнсТ воспользоваться некоторыми аппроксимациями. [c.198]

Р е ш е н и е. Результаты расчетов приведены на рис. 41. Анализ И30.ДИНИЙ показывает, что для кубического не-эрмитового сплайна в области больших градиентов функции z(x, у) характерны осцилляции с локальными экстра-мумами (рис. 41,6). Эрмитов сплайн обладает хорошими интерполяционными характеристиками (рис. i, 6,d). [c.200]

Каковы интерполяционные свойства двумерного эрмитова сплайна [c.200]

СПЛАЙН-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. При вычислении произ1ВОДных функции /(л ), заданной таблично, можно поступить следующим образом. Построить интерполяционный сплайн по значениям fi-f(Xi), i=Q,...,N, заданным на сетке А a=Xo Xi<....кубические сплайны, позволяющие начислять производные до третьей включительно. [c.200]

При исследовании процесса прессования в сигмоидальную матрицу конформное отображение криволинейной полосы D на прямолинейную полосу Е осуществлялось посредством склейки конформных отображений. На рис. 125 изображены зоны влияния отдельных участков границы и соответствующие им прямоугольники на плоскости W, склеиваемые с применением кубического двухмерного эрмитова интерполяционного сплайна (по X. Акима). Далее, на рис. 126 приводится сопоставление расчетной И- экспериментальной деформированных координатных сеток при прессовании труб ы из алю-миниевобернллиевого сплава в сигмоидальную матрицу. [c.323]

Предположим, что в узлах сетки Л заданы значения некоторой функции fijh- Интерполяционным кубическим сплайном трех переменных будем называть кубический сплайн дефекта 1, принимающий на сетке А значения [c.331]

Сплайны 169, 171, 173, 330 В-снлайны 173, 175, 176, 177 Сплайны двумерные кубические 195 дифференцирование 200 интерполяционные 178, 179 интегрирование 201 кубические (эрмитовы) 180, 197 [c.350]

Па практике бывает достаточно выбрать порядок интерполяции, равный трем, и применить так называемую кубическую сплайн-интерполяцию. При этом независимо на каждом временном шаге интегрирования строятся интерполяционные формулы для дискретньк функций Xj lj) и где [c.450]

Полезным оказалось применение сплайнов [6—7]. Сплайнами называются функции, склеенные из кусков многочленов. Применение сплайновых интерполяций связано с тем, что интерпо-ляция сплайнами малочувствительна к погрешностям в исходных данных. Интерполяционный сплайн хорошо приближает функции и ее производную. Кроме того, интерполяционные сплайны обеспечивают минимально возможную погрешность приближения на классе функций. [c.35]

Интерполяционные кубические сплайны обладают важными экстремальными свойствами. Интерполяционные кубическиё сплайны минимизируют норму в классе 1 2 , состоящем из функций, имеющих суммируемые с квадратом вторые производные. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...