Операторы в банаховых пространствах

Ввиду того что детали метода имеют чисто технический характер, мы рассмотрим только случай симметричных плоских течений около выпуклых плоских препятствий. Следует, однако, отметить, что развиваемая теория не только допускает возможность широких обобщений, но и позволяет получить вариационные формулы, имеющие самостоятельный интерес. Эти формулы дают выражение для вариации формы каверны (или струи), вызванной заданным возмущением препятствия (или отверстия). Выраженные в виде функциональных уравнений типа (7.1) или (7.6), они содержат дифференциалы операторов в банаховых пространствах, определение которых мы сейчас дадим. [c.216]

ОПЕРАТОРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [c.19]

Операторы в банаховых пространствах [c.22]

Обратно, если А - оператор в банаховом пространстве В, удовлетворяющий а) и Ь).то он является производящим оператором для непрерывной полугруппы G t), удовлетворяющей неравенству (1.9). [c.48]

Можно показать, что совокупность всех линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве М сама образует банахово пространство, если некоторым естественным образом ввести норму оператора. [c.40]

ТОГО, результаты о суш,ествовании и единственности решений и о сходимости метода Ньютона — Рафсона решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений можно обобщить на случай нелинейных операторов в банаховых пространствах. [c.315]

Однопараметрическое семейство операторов F ,[X], в банаховом пространстве ё можно рассматривать как один оператор преобразования пространства t XR Я — действительная прямая)20) в пространство S, и поэтому можно говорить о его дифференциале dF[X, а, 5Х, 5а] в точке I с параметром а, если он существует. [В дальнейшем, для простоты, мы не будем указывать точку (X, а), в которой берется дифференциал, и будем писать просто dF[5X, 5а].] Обратимся теперь к следующему общему принципу [54, ч. И 55]. [c.217]

Определение 10. Пусть В и В — банаховы пространства и А В В. Множество D (Л) = х х В А (х) Ф 0 называется областью определения многозначного оператора. [c.91]

Здесь А X Y линейный оператор, действующий из банахова пространства X в банахово пространство У D (Л) — область определения, а R (А) — область значений оператора А. Уравнение (6.1) будем называть точным уравнением, а его решение — точным решением. Обозначим через 3" (X, У) множество линейных операторов, действующих из X в F. При некоторых ограничениях 3 X, Y) можно преобразовать в банахово пространство [372]. [c.137]

Оператор О, действующий из банахова пространства Б1 в банахово пространство Бг, называется линейным, если для двух любых элементов ф], фг Б1 и любых действительных чисел С], сг имеет место соотношение [c.63]

Теорема 9.5. Пусть оператор О действует усиленно непрерывно из банахова пространства Б1 в банахово пространство Бг. При этом шар в Б1 слабо компактен. В этом случае О действует вполне непрерывно. [c.65]

Существование и единственность решения задачи (Р, ) следуют из теории интегральных уравнений типа Вольтерры в банаховом пространстве. Пусть 5 — комплексное банахово пространство и К 1,х) — функция, значения которой являются линейными ограниченными операторами в 5. Пусть эта функция К (/, х) непрерывна в 7х и пусть о (О и Л (О — функции со значениями в 5, непрерывные в /. Тогда интегральное уравнение Вольтерры ) [c.61]

Теорема 3,3. Пусть А , - производящие операторы сжимающих полугрупп в банаховом пространстве В. Тогда [c.51]

Теорема 1.2. Пусть А , А - производящие операторы сжимающих полугрупп в банаховом пространстве В, такие что (1.1) справедливо для некоторого Л с КеЛ > 0. Кроме того, пусть / (О, /( ) " е-прерывные функции со значениями в В. Если [c.258]

Рассмотрим здесь замкнутый оператор А в банаховом пространстве fi. Резольвентное множество р(Л) есть множество (возможно пустое) комплексных чисел z, таких что оператор А - z/имеет ограниченный обратный, определенный на всем пространстве В. [c.271]

Определение ). Оператор отображающий банахово пространство Т в себя, называется сжимающим отображением (или отображением сжатия) в замкнутом шаре [c.298]

Пусть имеется оператор F, переводящий открытое множество О одного банахова пространства X в другое банахово пространство Y. Рассмотрим уравнение [c.236]

Пусть, как и ранее, оператор F переводит открытое множество О одного банахова пространства X в другое банахово пространство У, а — некоторая точка области О. Пусть существует такой непрерывный линейный оператор переводящий пространство X в пространство У, что для любого б > О [c.238]

Напомним, что (7 (0, оо) — банахово пространство, а интегральный оператор в формуле (19) есть непрерывный линейный оператор, действующий из С д (0, оо) в Q, оо). В силу того, что функция L u, у), п = 1, 2, 3, 4, не меняет знака при О и,у<оо, [c.154]

Определение. Оператор преобразования Р одного банахова пространства в другое называется дифференцируемым в точке ко, если найдется непрерывный линейный оператор Ь, такой, что [c.216]

Определение 13 [159, 372, 419]. Пусть Ка В — непустое замкнутое выпуклое множество банахова пространства В. Оператор Р В К называется оператором проектирования, если [c.91]

Показано, что разработанный алгоритм является сжимающим оператором в специальных банаховых пространствах. Этим доказана его сходимость и, следовательно, разрешимость поставленной задачи. [c.208]

Ниже нам понадобится определение голоморфной векторной (операторной) функции. Пусть О — некоторая область комплексной плоскости к к=к- -1Ь), и пусть Ч ( ) означает функцию, заданную на D из комплексного банахова пространства Г. Пусть /(й) — функция на О из банахова пространства линейных операторов на Г (из другого банахова пространства Г ). В нашем случае, конечно, подразумевается, что пространство Г=С, а пространство ограниченных линейных операторов переводит С в С. [c.152]

Пусть Bi и Вг — два банаховых пространства. Предположим, что определено правило, согласно которому каждому элементу / е Bi ставится в соответствие элемент g е Вг. Тогда говорят, что из Bi в Вг действует оператор А [c.20]

Теорема 9.6. Пусть линейный оператор О действует вполне непрерывно из рефлексивного банахова пространства Б) в рефлексивное банахово пространство Бг- В этом случае С является усиленно непрерывным оператором. Последнее означает, что из [c.65]

Доказательство существования волн конечной (не малой) амплитуды представляет собой не очень простую задачу, потому что она нелинейна и является не локальной, а глобальной задачей. Это доказательство было дано Р. Жербе методами теории операторов в банаховом пространстве (см. его работу в сборнике [9]). Однако Жербе рассматривает лишь гладкие решения, и поэтому волны Стокса в его теорию не включаются. В цитированной работе содержится также условие, обеспечивающее гладкость (аналитичность) волновой поверхности в окрестности точки 2о, — этим условием является необращение в нуль производной комплексного потенциала [c.181]

В литературе имеется также и ряд других определений устойчивости по двум мерам [Ьак5Ьт1кап111ат и др., 1989], в том числе и для процессов, описываемых системой вида (1.2.1) с неофаниченным разрывным оператором в банаховом пространстве [Матросов, 1989]. [c.50]

Теорема 2.5. Пусть А, Л (п= 1,2,.., ) - замкнуше операторы в банаховом пространстве В, такие что [c.277]

Слвдстви 2.1. Пусть Л , Л - замкнутые операторы в банаховом пространстве В и резольвенты (Л -А/) сходятся по норме к резольвенте (Л - А/) для л = Тогда они сходятся для любого Аер(Л). [c.278]

Теорема 4.1. Пусть 4(ц) - семейство замкнутых операторов в банаховом пространстве В, определенное в комплексной окрестности й = Цц, а пусть принадлежит р(Л (ц )) - резольвентному множеству оператора Тогда 4(й) голоморфно при й = тогда и только тогда, когда z ep A( x)) и резольвента (Л(ц) - 2 / )-1 ограниченно голоморфна для достточно малых ц - . Более того, если 4(й) голоморфна, (А ( х) - г/) ограниченно голоморфна по двум переменным й, 2 на множестве всех х, г, таких что гер(А ) а ц -йц дэстаючно мало в зависимости от г). [c.283]

Этот метод легко обобщается на уравнения в банаховых пространствах но в анализе чаще всего приходится иметь дело с полибанаховы-ми пространствами, и оператор f xo) отображает одно пространство в другое. Ситуацию иллюстрирует следующая лемма, которую можно рассматривать как характерный пример. Роль неравенства (П34.2) играет неравенство (П34.4). [c.246]

Теория Мезера. Динамическая система 5 на гладком компактном римановом многообразии М порождает группу непрерывных линейных операторов 51 , действующую в банаховом пространстве Т° М) непрерывных векторных полей и х) на М по формуле [c.138]

Основным СВОЙСТВОМ операторов и функционалов является их не-пр )ывнос гь, и поэтому мы начнем с краткого обсуждения понятия сходимости в банаховых пространствах. [c.20]

Опредепение 1.1. Пусть В - банахово пространство. Полугруппой на В называется семейство линейных непрерывных операторов G t), зависящих оп параметра t > О, такое, что [c.47]

Теорема 3.1. Пусть А - производящий оператор сжимающей полугруппы в банаховом пространстве В. Если вдобавок к условиям теоремы 2Л резольвента XI -Л)- определена в секторе argA.] < [c.51]

Предложение 6.2. Пусть В и В - банаховы пространства и пусть F(p) - голоморфная функция комплексной переменной р со эна-чениями из (Bj, в ). Если длярш-р имеем р- р ) В2, В )(т.е. F (Pq) обратим и F UPo) является непрерывным оператором аз [c.59]

В конечномерном случае А есть матрица, а ст(Л) - множество таких точек, что матрица А - zl необратима эти точки суть корни полинома, и поэтому ст - конечное множество. В банаховом пространстве имеются операторы (например, операторы с компактной резольвентой), спектр которых представляет собой счетное множество точек (дискретный спектр) многие свойства таких операторов аналогичны свойствакт матриц. Эта глава главным образом имеет дело с зависимостью дискретного спектра от параметра. [c.272]

Теорема 7.1. Пусть D - открытая связная область комплексной плоскост и T(ii) есть ограниченно-голоморфное семейство хомпактных операторов из банахова пространства X в себя. Далее, пусть найдется точка х вВ, ткая что (/ - Т(ц ))-1 ( JI, Х),Тог-да ( / - T ii)) - есть ограниченная мероморфная функция в D ео значениями в X, X), [c.380]

Спектр компактного оператора А описывается классической теоремой Фредгольма, Именно, при А Е воо множество о А) состоит из собственных чисел, накапливающихся разве лишь к точке нуль. Кроме того, ненулевые собственные числа имеют конечные алгебраические кратности.Анг логичный результат справедлив для компактных операторов, действующих в произвольном банаховом пространстве, а также для операторов, лишь некоторая степень которых компактна (подробнее см. 8). Поясним, что в банаховом пространстве оператор называется компактным, если он переводит любое ограниченное множество в компактное. Класс компактных операторов, вообше говоря, шире замыкания конечномерных операторов по норме. Будем считать, что собственные числа А = Ап( ) оператора А Е боо (или такого, что А Е оо при каком-либо натуральном /) пронумерованы с учетом алгебраических кратностей в порядке невозрастания их модулей. [c.59]

В бесконечномерном случае речь идёт об операторах А, действующих в нормированном линейном пространстве (банаховом пространстве) и появляется третья возможность (III) ур-ние Ах = кх имеет лишь нулевые решения в но резольвента (X/ — М) не определена на всём Объединяя вторую (точечный, или дискретный, спектр) и третью (непрерывный и остаточный спект-р ы) возможности, С. о. называют множество таких Я, для к-рых резольвента не является ограниченным оператором на всём При этом Я принадлежит непрерывному спектру, если область значений оператора X/ — А плотна в Я, и остаточному — в противном случае. У ограннчевшых самосопряжённых операторов остаточный спектр отсутствует. [c.605]

Здесь X, Y — банаховы пространства, / — числовой интервал, содержаш,ий нуль. Операторы f, g считаются, вообш,е говоря, нелинейными, непрерывными в некоторой области, а также несколько раз дифференцируемыми или аналитическими — в зависимости от решаемой задачи. [c.406]

Поясним сказанное на нескольких примерах. Тривиальными примерами алгебр фон Неймана служат множества Я/ и Ъ Ж). Заметим, что оба эти множества являются в то же время С -алгебрами. Естественно возникает вопрос, всякая ли алгебра фон Неймана является некоторой С -алгеброй, т. е. С -под-алгеброй алгебры 33 (Ж) гильбертова пространства, на котором определена алгебра фон Неймана. Мы увидим, что ответ на этот вопрос положителен, а поэтому алгебры фон Неймана можно рассматривать как частные типы С -алгебр и переносить на них все теоремы, ранее доказанные для С -алгебр. Обратное утверждение неверно. Рассмотрим, например, С -подалгебру 21 алгебры 33(Ж), состоящую из всех компактных операторов. Ее бикоммутант 21" совпадает с 33 (Ж), вследствие чего 21 содержится как собственное подмножество в 21", если пространство Ж бесконечномерно. В этой связи мы хотели бы отметить [75, 350, 440], что объект 51 , двойственный двойственному объекту алгебры 21, изоморфен как банахово пространство множеству 33(Ж). Это обстоятельство не случайно и в действительности служит лищь иллюстрацией к весьма общей теореме, которая, как мы увидим в дальнейшем, позволяет нам каноническим образом сопоставлять всякой абстрактной С -алгебре некоторую алгебру фон Неймана, [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...