ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Операторы в банаховых пространствах из "Неоднородные среды и теория колебаний " Пусть Х, - два банаховых пространства. Функция А из части О А) пространства Хв называется линейным оператором, если она сохраняет линейность. О А) называется областью определения Л. Если А линейно, то 0 Л) - линейное многообразие в X, Множество значений Д 4) определяется как множество элементов У вида Ах, где X е 0 А ). Если 0 А) цлотно в X, то говорят, что оператор А плотно определен. Обратный оператор определен тогда и только тогда, когда отображение А взаимно однозначно, т. е. если Аи = О = м = 0. При этом О (Л -1) = Д А). ЩА - ) = 0( А). [c.22] Оператор А называется непрерывным, если - х = Ах - Ах (в сильной топологии). Для непрерывности А необходима и достаточна его ограниченность, т. е. [c.22] Нижняя грань чисел М, обладающая этим свойством, называется нормой А и обозначается Л . Если оператор Л непрерывен и цлотно определен, его можно продолжить (по непрерывности) иа всё X. Пространство всех непрерывных операторов из X в У обозначается (Л У) это - баназюво пространство с только что введенной нормой Ц Л Ц. Полезное свойство линейных непрерывных операторов состоит в том, что они переводят слабо сходящуюся в X последовательность в последовательность, слабо сходящуюся в У. [c.22] У) можно определить несколько типов сходимости. [c.22] Предложение 2. 1. Цля равномерной сходимости последовог тельности Л,- к Л необходимо и достаточно, чтобы она сходилась сильно соответственно слабо) и сходимость (2. 1) соответственно (2. 3)) была равномерной яо х 1 соответственно по ЦжЦ 1, у] 1). [c.23] Оператор Л У) называется компактным или вполне непрерывным, если образ Ах ограниченной последовательности х содержит последовательность Коши. Такой оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. [c.23] Легко видеть, что это равносильно тому, чтобы график Л (т. е. множество пар (х, у) X х У, таких, что х О (Л), у - Ах) был замкнут в X X У. [c.23] Предложение 2. 2 (теорема о замкнутом графике). Замкнутый оператор, область определения которого есть все пространство X, ограничен. [c.23] Определение 2. 3. Оператор В называется расширением А, если 0(В)э0(Л) и Ви = Аи для любого и е О А). Расширение является собственным, если О В) содержит злемент, не входящий в 0(Л). [c.23] Вернуться к основной статье