Группа двумерных вращений

Изотопическая инвариантность в теории SU (п)-групп описывается двумерной группой SU (2), которая эквивалентна спи-норным преобразованиям. Как известно, спинорные преобразования осуществляются при помощи двухрядных матриц Паули (см. 5, п. 7) и приводят к тем же результатам, что и операция вращения вектора изотопического спина Т в трехмерном изотопическом пространстве. Простейшим представлением SU (2)-группы после скаляра является дублетное (изотопический дублет). [c.306]

Отметим, что для строго эргодического потока все рассмотренные выше сходимости почти всюду являются равномерными сходимостями. Нетрудно видеть (см. упражнение 14.7.1), что вектор вращения потока без неподвижных точек на двумерном торе представляет собой просто координатное представление асимптотического цикла относительно стандартного базиса первой группы когомологий. [c.488]

Выше МЫ показали, что, зная представление, которому принадлежат собственные состояния, можно судить о степени их вырождения. Кроме того, если известны представления, то можно кое-что сказать и о свойствах симметрии волновых функций. Например, для гамильтониана, имеющего симметрию треугольника, мы знаем, что любое собственное состояние, принадлежащее представлению А1, под действием любых операций симметрии группы треугольника не изменяется. Отсюда следует, что волновая функция этого состояния обладает симметрией треугольника. Если состояние принадлежит представлению Аг, то оно не изменяется при вращениях, но меняет знак при отражении. Мы можем заключить, что волновая функция обращается в нуль вдоль высот треугольника. Упомянутые волновые функции схематически представлены на фиг. 13. Наконец, известно, что собственные состояния, принадлежащие представлению Аз, преобразуются так же, как р-состояния, т. е. как координаты. В двумерном случае такие состояния образуют пары, их конкретный вид будет найден после обсуждения колебаний молекул. В случае группы треугольника мы не ожидаем появления трехкратного вырождения, поскольку нет трехмерных неприводимых представлений группы. Ниже будет показано, каким образом можно убедиться, что мы нашли все неприводимые представления этой группы. [c.40]

Примеры свободное вращение твердого тела и задача трех тел. Рассмотрим сначала задачу Эйлера о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции (см. п. 2.4 гл. 1). Здесь Л1 = Г50(3) =50(3)X/ , группой симметрий О является группа вращений 50(3) ей соответствует пуассонов-ская алгебра первых интегралов, изоморфная алгебре Ли 50(3). Зафиксируем значение кинетического момента и рассмотрим интегральный уровень Мс=Рв<цз) Чс). Нетрудно показать, что при всех значениях с множество Мс является трехмерным многообразием, диффеоморфным пространству группы 50(3). Стационарной группой Ос является одномерная группа поворотов 50(2) твердого тела в неподвижном пространстве вокруг постоянного вектора кинетического момента. Приведенное фазовое пространство Л7е = 50(3)/50(2) диффеоморфно двумерной сфере. [c.110]

Изотопическая инвариантность в теории унитарных групп описывается двумерной унитарной группой SU (2), которая эквивалентна опинорным преобразованиям. Как известно, спинорные преобразования осуществляются при помощи двухрядных матриц и приводят к тем же результатам, что и операция вращения [c.682]

Если классификация калибровочных бозонов и лептонов не вызывает особых проблем, то большое число адронов уже в нач. 50-х гг. явилось основанием для поиска закономерностей в распределении масс и квантовых чисел барнонов и мезонов, к-рые могли бы составить основу их классификации. Выделение изотопич. мультиплетов адронов было первым шагом на этом пути. С матем, точки зрения группировка адронов в изотопич. мультиплеты отражает наличие у сильного взаимодействия симметрии, связанной с вращения группой, более формально, с унитарной группой 51/(2)—группой преобразований в комплексном двумерном пространстве [см. Симметрия SU(2)]. Предполагается, что эти преобразования действуют в нек-ром специфич. внутр. пространстве — т. н. изотопич. пространстве, отличном от обычного. Существование изотопич. пространства проявляется только в наблюдаемых свойствах симметрии. На матем. языке изотопич. мультиплеты суть неприводимые представления группы симметрии SU (2). [c.602]

В качестве примера рассмотрим задачу Эйлера о вращении по инерции твердого тела вокруг неподвижной точки. Пространством положений N служит группа 50(3). Кинетический момент твердого тела постоянен в неподвижном пространстве. Фиксируя его ненулевое постоянное значение, можно представить кинетический момент тела в подвижном пространстве в виде функции от положения твердого тела. В результате на группе 50(3) появляется стационарное трехмерное течение можно проверить, что оно вихревое. Функция В в нашей задаче постоянна на 50(3) лишь в том вырожденном случае, когда тензор инерции шаровой поэтому в типичной ситуации rot и х г> 0. Линии тока и вихревые линии лежат на поверхностях Бернулли Г = х В х) = с , которые при некритических значениях с диффеоморфпы двумерным торам. Отметим, что критических значений всего три они совпадают с энергией вращения твердого тела вокруг главных осей инерции (при фиксированном значении кинетического момента). [c.72]

Пользуясь предложением 1, укажем метрики на двумерной сфере, для которых уравнения геодезических допускают неприводимые интегралы 3-й и 4-й степени. С этой целью рассмотрим задачу о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Эта система с тремя степенями свободы инвариантна относительно группы вращений вокруг вертикали. Фиксируя нулевую постоянную соответствующего интеграла Нётер (интеграл площадей) и проводя факторизгщию по орбитам действия группы симметрий, сведем эту задачу к системе с двумя степенями свободы на фазовом пространстве 7 S . Гамильтониан имеет вид (6.1), где Г — гамильтониан приведенной задачи Эйлера, а V К — потенциальная энергия силы тяжести. Если выполнены условия Горячева — Чаплыгина или Ковалевской (см. 5 гл. П), то уравнения с гамильтонианом T+V допускают дополнительный интеграл соответственно третьей и четвертой степени по скоростям. Предложение 1 дает метрики на двумерной сфере с интегралами степени 3 и 4. При V = О эти интегралы приводимы. А. В. Болсинов и А. Т. Фоменко дали доказательство неприводимости интегралов Горячева — Чаплыгина и Ковалевской, основанное на глубоких идеях теории топологической эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем. [c.404]

Покажите, что вектор вращения потока без неподвижных точек на двумерном торе есть не что нное, как координатное представление асимптотического цикла относительно стандартного базнса первой группы когомологий. [c.491]

Здесь все преобразования, кроме единичного, являются вращениями, на что и указывает символ С. Индекс при букве С указывает на величину угла вращения так, преобразование С3 есть вращение на 120° (вращение вокруг оси третьего порядка). Восемь таких преобразований соответствуют вращениям куба вокруг его диагоналей, направленных по [1111 и т. д. Преобразования ЗС2 — это три вращения второго порядка (на угол 180°) вокруг осей [1001 и т. д. Преобразования 6С2 — это вращения второго порядка вокруг шести осей 11101 и т. д. Преобразования 6С4 — вращения четвертого порядка по часовой стрелке и против часовой стрелки вокруг трех осей [1001 и т. д. Символом Г обычно обозначают представления групп О и Он, причем индекс 1 обозначает единичное представление, а остальные индексы и штрихи соответствуют обозначениям Боукар-та, Смолуховского и Вигнера [41. Мы находим, что группа О имеет два одномерных, два трехмерных и одно двумерное представления. [c.47]

Имеется окрестность U единицы группы Еа эвклидовых движений пространства R , которая естественно действует па Жа,.е и представляется линейными (возможно,1 еогранн-ченными) онераторамп. Сосредоточим внимание на однопараметрической подгруппе HdE t вращений в двумерной плоскости, содержащей ось времени. Назовем Я группой мнимых бустов. [c.180]

Пример 3. Пусть W2 — свободная группа с двумя образующими. Рассмотрим два ее действия а) вращениями двумерной сферы 5 с мерой Лебега (W 2 =SO(3)) и б) бернуллиевское, т. е. действие левыми сдвигами в пространстве Z2(W 2)=Z2 % всех функций на W2 со значениями в Zj и рго-du t-мерой с сомножителем (V2, ,/2) Оба действия mod О свободны, но траекторно неизоморфны. Дело в том, что первое из них обладает свойством, описанным в следующей теореме. [c.103]

Таким образом, мы видим, что преобразования группы Лоренца получаются из четырехмерных вращений заменой вещественных параметров поворотов в двумерных плоскостях (жoЖi) ( = 1, 2, 3) на чисто мнимые величины и одновременно заменой координат Жо на гЖо. Поскольку матричные элементы матриц четырехмерных вращений являются периодическими функциями, то взаимно однозначное соответствие между преобразованиями из группы Лоренца и группы 0+(4) имеет место только в определенной окрестности единичного элемента. Если матрицу четырехмерного врашения обозначить через О(<рои У оа) оз V i2j V i3) М), то соответствующая матрица группы Лоренца может быть представлена в виде [c.245]

Если х(С, I/) > О и г > О, то возможны следующие значения индексов разветвления (и, п) или (2, 2, п) для некоторого и 2, либо (2, 3, 3), (2, 3, 4) или (2, 3, 5). Эти пять возможностей соответствуют пяти типам конечных групп вращения двумерной сферы, а именно циклической, диэдральной, тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдраль-ной группам соответственно. (Ср. Милнор 1975, стр. 179.) [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...